柯西不等式习题.doc

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新课标数学选修4-5柯西不等式教学题库大全

一、二维形式的柯西不等式

二、二维形式的柯西不等式的变式

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

借用一句革命口号说：

有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2+b^2+c^2，并不是不等式的形状，但变成（1/3）*（1^2+1^2+1^2）*（a^2+b^2+c^2）就可以用柯西不等式了。

基本方法

（1）巧拆常数：

例1：

设、、为正数且各不相等。

求证：

（2）重新安排某些项的次序：

例2：

、为非负数，+=1，求证：

（3）改变结构：

例3、若>>求证：

（4）添项：

例4：

求证：

【1】、设，则之最小值为________；此时________。

答案：

-18;解析：

∴∴

　　之最小值为-18，此时

【2】设=（1，0，-2），=（x，y，z），若x2+y2+z2=16，则的最大值为　　　　　。

【解】

∵　=（1，0，-2），=（x，y，z）　∴　．=x-2z

由柯西不等式[12+0+（-2）2]（x2+y2+z2）³（x+0-2z）2

Þ　5´16³（x-2z）2　Þ　-4£x£4

Þ　-4£．£4，故．的最大值为4

【3】空间二向量，，已知，则

（1）的最大值为多少？

（2）此时？

Ans：

（1）28：

（2）（2,4,6）

【4】设a、b、c为正数，求的最小值。

Ans：

121

【5】.设x，y，zÎR，且满足x2+y2+z2=5，则x+2y+3z之最大值为　　　　　

解（x+2y+3z）2£（x2+y2+z2）（12+22+32）=5．14=70

∴　x+2y+3z最大值为

【6】设x，y，zÎR，若x2+y2+z2=4，则x-2y+2z之最小值为　　　　　时，（x，y，z）=　　　　　

解（x-2y+2z）2£（x2+y2+z2）[12+（-2）2+22]=4．9=36

∴　x-2y+2z最小值为-6，公式法求（x，y，z）此时

∴　，，

【7】设，，试求的最大值M与最小值m。

Ans：

【8】、设，试求的最大值与最小值。

答：

根据柯西不等式

即

而有

故的最大值为15，最小值为–15。

【9】、设，试求之最小值。

答案：

考虑以下两组向量

=（2,–1,–2）=（x,y,z）根据柯西不等式，就有

即

将代入其中，得而有

故之最小值为4。

【10】设，，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。

Ans：

【11】设x，y，zÎR，2x+2y+z+8=0，则（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2之最小值为　　　　　

解：

2x+2y+z+8=0　Þ　2（x-1）+2（y+2）+（z-3）=-9，

考虑以下两组向量

=（,,），=（,,）

[2（x-1）+2（y+2）+（z-3）]2£[（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2]．（22+22+12）

Þ　（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2³=9

【12】设x,y,zR，若，则之最小值为________，又此时________。

解：

　Þ　2x-3（y-1）+z=（），

考虑以下两组向量

=（,,），=（,,）

解析：

　∴最小值

　　　∴　　　∴

【13】设a，b，c均为正数且a+b+c=9，则之最小值为　　　　　

解：

考虑以下两组向量

=（,,），=（,,）

（）（a+b+c）

Þ　（）．9³（2+3+4）2=81

Þ　³=9

【14】、设a,b,c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。

解：

考虑以下两组向量

=（,,），=（,,）

　　　∴，最小值为18等号发生于故

　　　∴　又∴

【15】.设空间向量的方向为a，b，g，0

解∵　sin2a+sin2b+sin2g=2由柯西不等式

∴　（sin2a+sin2b+sin2g）[]³（1+3+5）22（csc2a+9csc2b+25csc2g）³81

∴　csc2a+9csc2b+25csc2g³　∴　故最小值为

【注】本题亦可求tan2a+9tan2b+25tan2g与cot2a+9cot2b+25cot2g之最小值，请自行练习。

【16】.空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为a，b，g（a，b，g均非象限角），求的最小值。

解:

由柯西不等式

³

∵　sin2a+sin2b+sin2g=2　∴　2

∴　的最小值=18

【17】.空间中一向量的方向角分别为，求的最小值。

答72利用柯西不等式解之

【18】、设x,y,zR，若，则之范围为何？

又发生最小值时，？

答案：

若又∴

∴　∴

【19】设rABC之三边长x，y，z满足x-2y+z=0及3x+y-2z=0，则rABC之最大角是多少度？

【解】Þ　x：

y：

z=：

：

=3：

5：

7

设三边长为x=3k，y=5k，z=7k则最大角度之cosq==-，∴q=120°

【20】.设x，y，zÎR且，求x+y+z之最大值，最小值。

Ans最大值7；最小值-3

【解】

∵　

由柯西不等式知

[42+（）2+22]³

　Þ　25´1³（x+y+z-2）2　Þ　5³|x+y+z-2|

Þ　-5£x+y+z-2£5　∴　-3£x+y+z£7

故x+y+z之最大值为7，最小值为-3

【21】.求2sinq+cosqsinf-cosqcosf的最大值与最小值。

答.最大值为，最小值为-

【详解】

令向量=（2sinq，cosq，-cosq），=（1，sinf，cosf）

由柯西不等式|．|£||||得

|2sinq+cosqsinf-cosqcosf|£，

£

所求最大值为，最小值为-

【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

证明：

由三角形中的正弦定理得

，所以，同理，于是左边=

。

【23】求证:

点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=.

证明:

设Q（x,y）是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=（x-x0）2+（y-y0）2,A2+B2≠0,由柯西不等式得

（A2+B2）［（x-x0）2+（y-y0）2］≥［A（x-x0）+B（y-y0）］2=［（Ax+By）-（Ax0+By0）］2=（Ax0+By0+C）2,所以|PQ|≥.

当时,取等号,由垂线段最短得d=.

【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.

解析:

由二元均值不等式及柯西不等式,得

≤

故λ的取值范围是［,+∞）.

温馨提示

本题主要应用了最值法,即不等式≤λ恒成立,等价于（）max≤λ,问题转化为求f（x,y,z）=的最大值.

【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.

解析:

根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.

由柯西不等式等号成立的条件,知=λ,再由等比定理,得=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不等式,得302=（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）=25×36,当且仅当=λ时,上式等号成立.

于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ2（x2+y2+z2）=25,∴λ=±（舍负）,即.

竞赛欣赏

1（1987年CMO集训队试题）设，求证：

（2-10）

证明：

因，由定理1有

此即（2-10）式。

2设，求证：

证明：

由均值不等式得，故

即.

又由柯西不等式知，故

又由定理1，得

原式左＝原式右

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