高中数学教案复数的概念.docx
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高中数学教案复数的概念
复数的概念
【第一课时】
数系的扩充和复数的概念
教学重难点
教学目标
核心素养
复数的有关概念
了解数系的扩充过程，理解复数的概念
数学抽象
复数的分类
理解复数的分类
数学抽象
复数相等
掌握复数相等的充要条件及其应用
数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数是如何定义的？
其表示方法又是什么？
2．复数分为哪两大类？
3．复数相等的条件是什么？
二、新知探究
探究点1：
复数的概念
下列命题：
①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集．
其中正确的命题是（ ）
A．①B．②
C．③D．④
解析：
对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．
答案：
D
判断与复数有关的命题是否正确的方法
（1）举反例：
判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
（2）化代数形式：
对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．
提醒：
解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
探究点2：
复数的分类
当实数m为何值时，复数z＝
＋（m2－2m）i：
（1）为实数？
（2）为虚数？
（3）为纯虚数？
解：
（1）当
即m＝2时，复数z是实数．
（2）当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
（3）当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：
解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部．
（2）定条件：
复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．
（3）下结论：
设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），
①z为实数⇔b＝0；
②z为虚数⇔b≠0；
③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0．
探究点3：
复数相等
（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z1＝－3－4i，z2＝（n2－3m－1）＋（n2－m－6）i（m，n∈R），且z1＝z2，则m＋n＝（ ）
A．4或0B．－4或0
C．2或0D．－2或0
（2）若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．
解析：
（1）由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A．
（2）因为log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，
所以
即
解得x＝－2．
【答案：
（1）A
（2）－2
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：
分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．
注意：
在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d．若忽略前提条件，则结论不能成立．
三、课堂总结
1．复数的有关概念
（1）复数的定义
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．
（2）复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
（3）复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
2．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：
a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
3．复数的分类
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
■名师点拨
复数bi（b∈R）不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi（b∈R）才是纯虚数．
四、课堂检测
1．若复数z＝ai2－bi（a，b∈R）是纯虚数，则一定有（ ）
A．b＝0B．a＝0且b≠0
C．a＝0或b＝0D．ab≠0
解析：
选B．z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0．
2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（ ）
A．－1B．2
C．1D．－1或2
解析：
选D．因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2．
3．若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值等于____________．
解析：
因为z＜0，所以
解得m＝－3．
答案：
－3
4．已知
＝（x2－2x－3）i（x∈R），则x＝________．
解析：
因为x∈R，所以
∈R，
由复数相等的条件得
解得x＝3．
答案：
3
【第二课时】
复数的几何意义
教学重难点
教学目标
核心素养
复平面
了解复平面的概念
数学抽象
复数的几何意义
理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系
直观想象
复数的模
掌握复数的模的概念，会求复数的模
数学运算
共轭复数
掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数
数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复平面是如何定义的？
2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？
复数的模是实数还是虚数？
3．复数z＝a＋bi的共轭复数是什么？
二、新知探究
探究点1：
复数与复平面内的点
已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R．当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）．
（1）在实轴上；
（2）在第三象限．
解：
（1）若z对应的点在实轴上，则有
2a－1＝0，解得a＝
．
（2）若z对应的点在第三象限，则有
解得－1．
故a的取值范围是
．
互动探究：
变条件：
本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．
解：
若z对应的点（a2－1，2a－1）在抛物线y2＝4x上，则有（2a－1）2＝4（a2－1），即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝
．
利用复数与点的对应解题的步骤
（1）找对应关系：
复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据．
（2）列出方程：
此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．
探究点2：
复数与复平面内的向量
在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C．求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数．
解：
法一：
由复数的几何意义得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则AC的中点为
，由平行四边形的性质知该点也是BD的中点，设D（x，y），则
所以
即点D的坐标为（3，3），所以点D对应的复数为3＋3i．
法二：
由已知得
＝（0，1），
＝（1，0），
＝（4，2），
所以
＝（－1，1），
＝（3，2），
所以
＝
＋
＝（2，3），所以
＝
＋
＝（3，3），
即点D对应的复数为3＋3i．
复数与平面向量的对应关系
（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
探究点3：
复数的模
（1）设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是（ ）
A．－11
C．a>1D．a>0
（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是（ ）
A．1个圆B．线段
C．2个点D．2个圆
解析：
（1）由题意得
<
，即
<
（a∈R），所以－1（2）由题意知（|z|－3）（|z|＋1）＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
因为|z|≥0，所以|z|＝3，
所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．
答案：
（1）A
（2）A
求解复数的模的思路
解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．
三、课堂总结
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的两种几何意义
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）
复平面内的点Z（a，b）．
（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）
平面向量
．
3．复数的模
复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为
，则
的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝
．
4．共轭复数
（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
（3）复数z的共轭复数用
表示，即如果z＝a＋bi，那么
＝a－bi．
■名师点拨
复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为（a，b），复数
＝a－bi在复平面内对应的点为（a，－b），所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．
四、课堂检测
1．已知z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－3，1）B．（－1，3）
C．（1，＋∞）D．（－∞，－3）
解析：
选A．由题意得
解得－32．在复平面内，O为原点，向量
对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量
对应的复数为（ ）
A．－2－iB．2＋i
C．1＋2iD．－1＋2i
解析：
选D．由题意可知，点A的坐标为（－1，－2），则点B的坐标为（－1，2），故向量
对应的复数为－1＋2i．
3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是____________．
解析：
依题意，可知z＝a＋i（a∈R），则|z|2＝a2＋1．因为0＜a＜2，所以a2＋1∈（1，5），即|z|∈（1，
）．
答案：
（1，
）
4．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．
解析：
因为z1与z2互为共轭复数，
所以a＝2，b＝4．
答案：
2 4
高考数学：
试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。
考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。
1.先易后难。
2.先熟后生。
3.先同后异。
先做同科同类型的题目。
4.先小后大。
先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。
5.先点后面。
高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。
6.先高后低。
即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。
二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。
审题要慢，解答要快。
在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。
假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。
三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。
对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。
对不能全面完成的题目有两种常用方法：
1.缺步解答。
将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。
2.跳步解答。
若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。
四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。
对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。
对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。
理综求准求稳求规范
第一：
认真审题。
审题要仔细，关键字眼不可疏忽。
不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。
也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。
第二：
先易后难。
试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。
高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。
第三：
选择题求稳定。
做选择题时要心态平和，速度不能太快。
生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。
物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。
选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。
第四：
客观题求规范。
①用学科专业术语表达。
物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。
②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。
③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。
④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。
⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。
记住：
关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。
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