江苏省常州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷.doc
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高二数学试题2016年1月
注意事项：
1．本试卷满分160分，考试用时120分钟．
本试卷部分试题设置文科及理科选做题，请考生根据选科类别答题．
2．答题时，填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内，答案写在试卷上无效．本卷考试结束后，上交答题卡．
3．本场考试不得使用计算器或带有计算功能的电子词典等．
参考公式：
锥体的体积公式：
，其中表示底面积，表示高．
一、填空题:
本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．
1．若点在直线上，则实数a的值为▲．
2．抛物线的焦点到准线的距离为▲．
3．命题“若是锐角，则”的逆否命题为▲．
4．若直线与直线垂直，则实数a的值为▲．
5．（文科做）当函数取到极值时，实数x的值为▲．
（理科做）已知空间向量，且，则实数的值为▲．
6．已知双曲线上一点M到一个焦点的距离等于2，则点M到另一个焦点的
距离为▲．
7．已知正四棱锥的高为4，侧棱长为，则该棱锥的体积为▲．
P
A
B
C
E
F
（第9题理科图）
8．若两条直线互相平行，
则这两条直线之间的距离为▲．
9．（文科做）已知曲线在点处的切线方程
是，则的值为▲．
（理科做）如图，在三棱锥中，已知平面，
，分别为棱的中点，
则异面直线与所成的角的余弦值为▲．
10．已知集合，．若“”是“”的充
分不必要条件，则实数a的取值范围为▲．
11．已知圆，圆，若过点的直线被圆所
截得的弦长为，则直线的方程为▲．
12．已知椭圆与定点，F是椭圆C的右焦点，点M是椭圆C上的动点，
则当取最小值时，点M的坐标为▲．
13．给出下列四个命题:
①“直线没有公共点”是“直线为异面直线”的必要不充分条件；
②“直线和平面所成的角相等”是“直线平行”的充分不必要条件；
③“直线l平行于两个相交平面”是“直线l与平面的交线平行”的充要条件；
④“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线”的必要不充分条件．
其中，所有真命题的序号是▲．
14．在平面直角坐标系中，设A,B,P是椭圆上的三个动点，且．
动点Q在线段AB上，且，则的取值范围为▲．
1、本题学生可能从特殊情况入手处理；
2、Q点的轨迹是重点，在处理完之后还涉及到两个二次曲线上的点的距离。
有相当难度。
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
已知函数，．：
，；
：
，．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若为真命题，求的取值范围；
（3）若“且”为假命题，“非”为假命题，求的取值范围．
16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线有一个公共点．
（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；
（2）求以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，，分别为的中点，
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G
H
（第17题图）
平面平面．分别在上，且∥．求证：
（1）；
（2）平面∥平面．
18．（本小题满分15分）
双曲线C多余
设是椭圆上的点，过作x轴的垂线l，垂足为N，P为直线l上一点，且，当点在椭圆上运动时，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设椭圆的右焦点为F，上顶点为A，求的取值范围．
19．（本小题满分16分）
（文科做）已知函数，其中实数．
P
A
B
C
D
M
N
（第19题理科图）
（1）若，求函数在上的最值；
（2）若，讨论函数的单调性．
（理科做）如图，正四棱锥中，，
点为的交点，点为中点．
（1）求证：
；
（2）求所成角的正弦值；
（3）求所成的二面角的余弦值．
20．（本小题满分16分）
本题有A、B两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.
组．在平面直角坐标系中，若直线与椭圆
相交于A，B两点，点M为AB的中点，直线OM的斜率为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若，求：
①椭圆C的方程；②三角形OAB的面积．
组．在平面直角坐标系中，已知动圆M过定点，且与定圆
相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知P,Q是曲线C上的动点，且满足直线OP，OQ的斜率乘积等于．
设动点满足．
①若，，求证：
为定值；
②是否存在定值，使得点N也在曲线C上，若存在，求出的值以及满足的条
件；若不存在，说明理由．
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高二数学答案2016年1月
一、填空题:
本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1.2．13．“若，则不是锐角”4．5．（文科做）1（理科做）3
6．107．8．9．（文科做）9（理科做）10．
11．或12．13．①④14．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
[解：
（1）若为真命题，由题意，．………………………………2分
∵的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
∴当时，．………………………………4分
∴．∴．………………………………6分
（2）若为真命题，，，∴．……………………8分
∵，∴．………………………………10分
（3）若“且”为假命题，“非”为假命题，∴p为真命题，q为假命题．………12分
∴ ∴．………………………………14分
16.（本小题满分14分）
解：
（1）由题意，设双曲线的方程为．……………………………2分
∵点在双曲线上，∴．
∵双曲线C的离心率为，∴．∵，∴．
∴双曲线的方程为：
，…………………………………4分
其渐近线方程为：
．………………………………6分
（2）由题意，直线的方程为，即，………………………………8分
直线与坐标轴交点分别为．………………………………10分
∴以为焦点的抛物线的标准方程为；………………………………12分
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G
H
P
（第17题图）
以为焦点的抛物线的标准方程为．………………………………14分
17.（本小题满分15分）
证明：
（1）取的中点,连接．
∵，∴．……………2分
∵平面平面，
平面∩平面，
平面，
∴平面．…………………4分
∵平面，∴．……………6分
在三棱柱中，分别为的中点，
∴∥且，∴四边形是平行四边形，∴∥．
又∵，∴．…………………………………8分
（2）∵∥，，，∴∥平面．………10分
∵∥，∴．
又∵为的中点，∴∥．
∵∥，∴∥．
又∵，，
∴∥平面．……………………………13分
∵，，∩，且∥平面，∥平面，
∴平面∥平面．……………………………15分
18．（本小题满分15分）
（1）设，∵，
∴，………………………………3分
∵点M在椭圆上，∴，………………………………5分
即，整理得．∴曲线C的方程为．………………7分
（2）∵椭圆的右焦点F，上顶点A，………………………………9分
∴，
………………………………11分
设，即，∵，
∴，………………………………13分
∴，∴的取值范围为．………………………………15分
19.（本小题满分16分）
（文科做）
（1）∵，∴，……………………………2分
令，∴．列表如下，
1
2
3
0
1
↘
↗
…………………………………5分
从上表可知，∵，∴，函数在区间上的最大值是1，最小值为.……………………………7分
（2）．……………………………9分
①当时，时，；当时，．
∴的单调增区间为，，单调减区间为．…………………………11分
②当时，∵．∴的单调增区间为．…………13分
③当时，时，；当时，
∴的单调增区间为，，单调减区间为．…………………………15分
综上，当时，的单调增区间为，，单调减区间为；
P
A
B
C
D
M
N
x
z
y
（第19题理科图）
当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为，，单调减区间为．
………………………16分
（理科做）
（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
，设，则，各点的坐标为：
，,
．………………………2分
由题意得，则．
∴，∴∥，………4分
又∵，，
∴．……………………………………6分
（2）设平面PAD的法向量为,由题意得，
∵∴令，得到，
……………………………………8分
∴．……………………10分
∴所成角的正弦值为．……………………………………11分
（3）设平面PBC的法向量为，由题意得，
∵∴令，得到，…………………13分
∵平面PAD的法向量，平面PBC的法向量，
∴．………………………………15分
∴所成的二面角的余弦值为．………………………………16分
20．（本小题满分16分）
组．
（1）由消去y化简得．
当时，
设则，………………………………2分
弦AB的中点M的坐标为，
∴直线OM的斜率为，∴，………………………………4分
∴椭圆C的方程为，即∴，∴，
∴椭圆C的离心率．………………………………6分
（2）①∵，∴，∴．
而，
∴，………………………………8分
又∵，∴，且满足，…………………………10分
∴椭圆C的方程为．………………………………11分
②
，………………………………13分
原点O到AB的距离，………………………………15分
∴三角形OAB的面积为．………………………………16分
组．
（1）设圆M的半径为，
∵点在圆内，
∴，，
∴，
∴圆心M的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆．………………………………2分
∴，，∴，，∴，
∴曲线C的方程为．………………………………4分
（2）①设，∵∴．………6分
∵在曲线C上，∴．
又∵，∴．………………………………8分
于是
．
故为定值．………………………………10分
②假设存在定值，使得点N也在曲线上．
∵∴．
∵在曲线C上，∴．
又，∴．………………………………12分
于是
．………………………………14分
∵点N也在曲线C上，故为定值，
∴，
∴存在定值，实数满足的条件为．……………………………16分
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