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DVD租赁论文
DVD在线租赁模型
摘要
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
本文通过对DVD在线租赁问题的研究，建立了根据统计规律及优化模型相关知识来确定DVD在线租赁最优问题解决方案的数学模型。
对于问题一:
首先通过表1对1000个会员调查的部分结果可以计算出10万会员对5种DVD的接受比例，然后通过估算比例可以得知对应的估算10万会员中愿意观看每类DVD会员人数。
为了简化模型，在这里暂认为归还时间规律可用正态分布函数曲线描述，即：
在月初与月末的归还量都比较少，在每月15号时归还量达最大值，由于有60%的会员会在一月内租借两次，则假设15号为第一次租赁归还最后期限，即：
希望租赁第二次的会员已在15号将第一次租赁的光盘全部归还。
则通过图表5.1.3可知，有两次租赁意向的会员的回收光盘可满足其余40%的一次租赁的会员需求。
那么仅考虑在月初满足60%有二次租赁意向的会员需求即可。
具体求解过程见模型建立与求解。
对于问题二：
由于在表格中数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，并且会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高。
所以为了在求解过程中0不影响满意度的计算，则现把0均改为10进行求解。
为了用现有DVD的数量来保证最大满意度，则考虑尽先满足会员的渴求度最大的DVD影片，会员编号为
，DVD编号为
，第
号DVD的现有数量为
，第
个会员对第
号DVD的渴求度记为
，满足第
个会员对第
号DVD的租赁要求记为
=1，否则
=0，由于在表格中数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，并且会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高。
所以为了在求解过程中0不影响满意度的计算，则现把0均改为10进行求解。
当偏爱度越低，则满意度越高。
则可得求解优化模型如下：
对于问题三：
本问题要求购买DVD量最少且满意度最大，满足95%的会员需求，要求考虑有60%的会员会有二次租赁的需求，则可考虑通过问题一、二的模型进行求解。
关键词：
正态分布0-1模型目标规划Lingo软件
1问题重述
1.1问题背景：
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
1.2问题参考量：
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
表1对1000个会员调查的部分结果
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
下表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单。
表2现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）
DVD编号
D001
D002
D003
D004
…
DVD现有数量
8
1
22
10
…
会员在线订单
C0001
0
0
2
0
…
C0002
1
0
9
0
…
C0003
0
6
0
0
…
C0004
0
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
1.3问题提出：
1）假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。
2问题分析
2.1对于问题一
题目要求通过表一对1000个会员调查的部分结果来对10万个会员的相关问题进行求解。
首先通过表1对1000个会员调查的部分结果可以计算出10万会员对5种DVD的接受比例，然后通过估算比例可以得知对应的估算10万会员中愿意观看每类DVD会员人数。
为了简化模型，在这里暂认为归还时间规律可用正态分布函数曲线描述，即：
在月初与月末的归还量都比较少，在每月15号时归还量达最大值，由于有60%的会员会在一月内租借两次，则假设15号为第一次租赁归还最后期限，即：
希望租赁第二次的会员已在15号将第一次租赁的光盘全部归还。
则通过图表5.1.3可知，有两次租赁意向的会员的回收光盘可满足其余40%的一次租赁的会员需求。
那么仅考虑在月初满足60%有二次租赁意向的会员需求即可。
2.2对于问题二
题目要求通过表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，求解如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
并具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
由于在表格中数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，并且会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高。
所以为了在求解过程中0不影响满意度的计算，则现把0均改为10进行求解。
为了用现有DVD的数量来保证最大满意度，则考虑尽先满足会员的渴求度最大的DVD影片，会员编号为
，DVD编号为
，第
号DVD的现有数量为
，第
个会员对第
号DVD的渴求度记为
，满足第
个会员对第
号DVD的租赁要求记为
=1，否则
=0，由于在表格中数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，并且会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高。
所以为了在求解过程中0不影响满意度的计算，则现把0均改为10进行求解。
当偏爱度越低，则满意度越高。
则可得求解优化模型如下：
2.3对于问题三
题目要求通过继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
寻求决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。
本问题要求购买DVD量最少且满意度最大，满足95%的会员需求，要求考虑有60%的会员会有二次租赁的需求，则可考虑通过问题一、二的模型进行求解。
3模型假设
1）会员每次归还光盘无破损且按时归还。
2）忽略光盘快递时间。
3）会员在三个月内不会重复租同一种类DVD。
4）假定在DVD整个流通过程中无流失现象出现。
5）规定表一反映的结果具有普及性，即1000位会员的调查结果能够很好的代表10万位会员的参考值。
6）规定每周30天。
7）规定每15天为一个归还周期，即15天时所以DVD全部被归还。
对于需租赁两次的会员则第二次应在15天以后才可。
8）一个订单对应一张DVD盘，都有大于三张订单则优先考虑偏爱度高的。
4符号说明
：
人员编号。
:
光盘类别编号。
：
第i个会员对第j类光盘的偏爱度。
:
第j类光盘的现有数。
：
满足第
个会员对第
号DVD的租赁要求记为
=1，否则
=0。
5模型建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解：
通过对表一1000个会员调查的部分结果分析，由公式Bi=Ai/1000（i=1,2,3,4,5）分别代人数据估得10万会员对该5种DVD愿意观看比例。
具体数据见下表5.1.1。
5.1.1会员租赁观看人数比例
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
会员愿意观看比例
20%
10%
5%
2.5%
1%
通过估算比例及公式Ci=Bi*100000（i=1,2,3,4,5）,可以得知对应的估算10万会员中愿意观看每类DVD会员人数见下表5.1.2。
5.1.2会员租赁观看人数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
会员愿意观看人数
20000
10000
5000
2500
1000
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次，在租赁时可以利用归还的一部分光盘来继续出租，但由于归还时间未定，所以暂认定，在一个月内任何时间都可以归还，由于没有该网站的归还时间统计表，无法较准确描述归还时间的变化规律，可以将这部分函数模型化，如果有相关确切数据统计则可通过拟合得到相关规律，在这里暂认为归还时间规律可用正态分布函数曲线描述，即：
在月初与月末的归还量都比较少，在每月15号时归还量达最大值，由于有60%的会员会在一月内租借两次，则假设15号为第一次租赁归还最后期限，即：
希望租赁第二次的会员已在15号将第一次租赁的光盘全部归还。
为了简化模型，规定租赁两次的会员已在月初全部租出，上半月为收回第一次租赁光盘时间，则通过图表5.1.3可知，有两次租赁意向的会员的回收光盘可满足其余40%的一次租赁的会员需求。
那么仅考虑在月初满足60%有二次租赁意向的会员需求即可。
5.1.3第一次租赁光盘回收时间分布图
对于该问题的第一小问：
对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
该问题仅考虑满足60%有二次租赁意向的会员的需求即可。
最少准备DVD数量见下表5.1.4
表5.1.4该网站每种光盘准备数量
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
会员愿意观看人数
20000
10000
5000
2500
1000
50%
10000
5000
2500
1250
500
60%有二次租赁意向的会员（最少准备DVD数量）
6000
3000
1500
750
300
对于该问题的第二小问：
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
考虑将95%的任务量均分给每个月以保证准备的DVD数量最少，三个月分配情况见下表5.1.5。
然后第一个月的准备DVD归还后张数可满足其余两月需求，则考虑仅满足第一个月即可。
计算可得表5.1.6
表5.1.5三个月内各需分配情况的DVD数量
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
会员愿意观看人数
20000
10000
5000
2500
1000
95%的愿意观看人数
19000
9500
4750
2375
4750
第一个月
6334
3167
1584
792
317
第二个月
6333
3167
1583
792
317
第三个月
6333
3166
1583
791
316
5.1.6各类DVD所需准备张数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
会员愿意观看人数
20000
10000
5000
2500
1000
95%的愿意观看人数
19000
9500
4750
2375
4750
所需准备张数
6334
3167
1584
792
317
5.2问题二的模型建立与求解：
为了用现有DVD的数量来保证最大满意度，则考虑尽先满足会员的渴求度最大的DVD影片，会员编号为
，DVD编号为
，第
号DVD的现有数量为
，第
个会员对第
号DVD的渴求度记为
，满足第
个会员对第
号DVD的租赁要求记为
=1，否则
=0，由于在表格中数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，并且会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高。
所以为了在求解过程中0不影响满意度的计算，则现把0均改为10进行求解。
当偏爱度越低，则满意度越高。
则可得求解优化模型如下：
s.t.
=0或1
优化程序见附件8.1
则结果可得下表5.2.1
表5.2.1前30位会员所获DVD情况
前
30
位
会
员
DVD编号
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
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0
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0
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0
0
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0
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
1
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1
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0
0
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0
0
1
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0
0
1
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0
0
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0
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0
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0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5.3问题三的模型建立与求解：
要求购买DVD量最少且满意度最大，满足95%的会员需求，要求考虑有60%的会员会有二次租赁的需求
表5.3.1各类DVD所需购买量统计表
DVD编号
D001
D002
D003
D004
D005
DVD购买量
18
14
17
15
16
DVD编号
D006
D007
D008
D009
D010
DVD购买量
19
15
19
20
16
DVD编号
D011
D012
D013
D014
D015
DVD购买量
16
16
16
17
17
DVD编号
D016
D017
D018
D019
D020
DVD购买量
18
16
15
17
16
5.3.2DVD分配表（1代表分配，0为不分配）
C0001
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
C0002
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
C0003
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
C0004
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
C0005
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
C0006
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
C0007
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C0008
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
C0009
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
C0010
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
C0011
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
C0012
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
C0013
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
C0014
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
C0015
0
0
0
0
0
0
1
0
1
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