A.f（x1）f（x2）D.f（x1）与f（x2）的大小不能确定
10.已知双曲线－=1（a>）的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为（）
A.2B.C.D.
11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是（）
A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必与α相交
C.平面ABC必不垂直于αD.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密）,接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为:
明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为（）
A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7
第二部分（共90分）
二．填空题：
把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
14.（2x－）6展开式中常数项为（用数字作答）
16.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种.
15.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是
三．解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。
17.（本小题满分12分）
甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是,,.现3人各投篮1次,求:
（Ⅰ）3人都投进的概率;
（Ⅱ）3人中恰有2人投进的概率.
18.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=sin（2x－）+2sin2（x－）（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期;
（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合.
19.（本小题满分12分）
如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:
（Ⅰ）直线AB分别与平面α,β所成角的大小;（Ⅱ）二面角A1－AB－B1的大小.
A
B
A1
B1
α
β
l
第19题图
20.（本小题满分12分）
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.
21.（本小题满分12分）
如图,三定点A（2,1）,B（0,－1）,C（－2,1）;三动点D,E,M满足=t,=t,=t,t∈[0,1].（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围;（Ⅱ）求动点M的轨迹方程.
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－1
－2
1
2
B
E
22.（本小题满分１4分）
已知函数f（x）=kx3－3x2+1（k≥0）.
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间;
（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0,求k的取值范围.
参考答案
一、选择题
1．A2．B3．C4．C5．B6．A7．B8．D9．A
10．D11．D12．C
二、填空题
13．－14．6015．132016．3R
三、解答题
17.解:
（Ⅰ）记"甲投进"为事件A1,"乙投进"为事件A2,"丙投进"为事件A3,
则P（A1）=,P（A2）=,P（A3）=,
∴P（A1A2A3）=P（A1）·P（A2）·P（A3）=××=
∴3人都投进的概率为
（Ⅱ）设“3人中恰有2人投进"为事件B
P（B）=P（A2A3）+P（A1A3）+P（A1A2）
=P（）·P（A2）·P（A3）+P（A1）·P（）·P（A3）+P（A1）·P（A2）·P（）
=（1－）××+×（1－）×+××（1－）=
∴3人中恰有2人投进的概率为
18.解:
（Ⅰ）f（x）=sin（2x－）+1－cos2（x－）
=2[sin2（x－）－cos2（x－）]+1
=2sin[2（x－）－]+1
=2sin（2x－）+1
∴T==π
（Ⅱ）当f（x）取最大值时,sin（2x－）=1,有2x－=2kπ+
即x=kπ+（k∈Z）∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,（k∈Z）}.
A
B
A1
B1
α
β
l
第19题解法一图
E
F
A
B
A1
B1
α
β
l
第19题解法二图
y
x
y
E
F
19.解法一:
（Ⅰ）如图,连接A1B,AB1,∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,
∴AA1⊥β,BB1⊥α.则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中,BB1=,AB=2,∴sin∠BAB1==.∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,sin∠ABA1==,∴∠ABA1=30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
（Ⅱ）∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B中,A1B===.由AA1·A1B=A1F·AB得A1F===,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE==,∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.
解法二:
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如图,建立坐标系,则A1（0,0,0）,A（0,0,1）,B1（0,1,0）,B（,1,0）.在AB上取一点F（x,y,z）,则存在t∈R,使得=t,即（x,y,z－1）=t（,1,－1）,∴点F的坐标为（t,t,1－t）.要使⊥,须·=0,即（t,t,1－t）·（,1,－1）=0,2t+t－（1－t）=0,解得t=,∴点F的坐标为（,－,）,∴=（,,）.设E为AB1的中点,则点E的坐标为（0,,）.∴=（,－,）.
又·=（,－,）·（,1,－1）=－－=0,∴⊥,∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE=====,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.
20.解:
∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6（n≥2）,②
由①－②得10an=（an2－an－12）+6（an－an－1）,即（an+an－1）（an－an－1－5）=0
∵an+an－1>0,∴an－an－1=5（n≥2）.
当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.
21.解法一:
如图,（Ⅰ）设D（x0,y0）,E（xE,yE）,M（x,y）.由=t,=t,
知（xD－2,yD－1）=t（－2,－2）.∴同理.
∴kDE===1－2t.∴t∈[0,1],∴kDE∈[－1,1].
（Ⅱ）∵=t∴（x+2t－2,y+2t－1）=t（－2t+2t－2,2t－1+2t－1）=t（－2,4t－2）=（－2t,4t2－2t）.∴,∴y=,即x2=4y.∵t∈[0,1],x=2（1－2t）∈[－2,2].
即所求轨迹方程为:
x2=4y,x∈[－2,2]
解法二:
（Ⅰ）同上.
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－1
－2
1
2
B
E
第21题解法图
（Ⅱ）如图,=+=+t=+t（－）=（1－t）+t,
=+=+t=+t（－）=（1－t）+t,
=+=+t=+t（－）=（1－t）+t
=（1－t2）+2（1－t）t+t2.
设M点的坐标为（x,y）,由=（2,1）,=（0,－1）,=（－2,1）得
消去t得x2=4y,∵t∈[0,1],x∈[－2,2].
故所求轨迹方程为:
x2=4y,x∈[－2,2]
22.解:
（I）当k=0时,f（x）=－3x2+1∴f（x）的单调增区间为（－∞,0],单调减区间[0,+∞）.
当k>0时,f'（x）=3kx2－6x=3kx（x－）
∴f（x）的单调增区间为（－∞,0],[,+∞）,单调减区间为[0,].
（II）当k=0时,函数f（x）不存在最小值.
当k>0时,依题意f（）=－+1>0,
即k2>4,由条件k>0,所以k的取值范围为（2,+∞）
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