南昌市中考研讨会讲座提纲.docx
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南昌市中考研讨会讲座提纲
中考里面的实际应用题与复习策略
-----2014南昌市中考说明培训班发言提纲
江西农业大学附中喻冰初
随着课改的实施和不断深入，形式新颖、联系实际、贴近生活的数学应用题已经进入中考试卷，同时也成为中考试卷中的一大亮点。
中考中，正确规范地解答应用题，能较好地考查学生对相关知识和相关能力的掌握和运用。
一课标与考试说明对“实际应用问题”的要求
（一）课标中的要求:
在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。
为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
建立和求解模型的过程包括：
从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。
这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。
在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。
课程目标/知识技能/数学思考/问题解决/情感态度
问题解决:
初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
内容标准
数与代数
了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型
能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。
能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析
能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。
能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系
能用一次函数解决简单实际问题。
能用反比例函数解决简单实际问题。
会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为
的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。
图形与几何
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
会利用图形的相似解决一些简单的实际问题
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
统计与概率部分
了解统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。
综合与实践
结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。
（二）考试说明对“实际应用问题”的要求（与课标中要求基本一致，可省去）
二、近年江西省在实际应用方面考题分析与举例
（一）考试内容与分值
2013
T9填空二元一次方程组（井冈山瑞金旅游）
3
20
T21解答统计（会议矿泉水浪费）
8
T21解答三角函数几何（汽车后刮雨器）
9
2012
T6选择函数图象（汽车余油量与时间）
3
20
T21解答二元一次方程组（信纸封/市买萝卜排骨）
8
T22解答三角函数几何（晒衣架）
9
2011
T9选择函数图象（时针分针夹角）
3
20
T21解答一元一次方程（画圆的工具板）
8
T22解答三角函数几何（水桶）
9
2010
T11填空三角函数（2选1—测树高）
3
20
T13填空二元一次方程组（购演出票）
3
T21解答一次方程（剃须刀架刀片）
5
T23解答几何综合（遮阳伞）
9
2009
T10选择一元二次方程（森林覆盖增长率）
3
20
T21解答一次函数与方程（取票）
8
T23解答几何综合（杆顶球状物直径）
9
（二）考题分析
例1（2013•江西9）.某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？
设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组是．
评析:
据等量关系直接列二元一次方程组，体现方程思想
例2（2013•江西20）．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大至可分为四种：
A．全部喝完；B．喝剩约
；C．喝剩约一半；D．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）参加这次会议的有多少人？
在图
（2）中D所在扇形的圆心角是多少度？
并补全条形统计图；（计算结果请保留整数）．
（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？
（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用
（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有多少瓶？
（可使用科学计算器）
评析:
本题考查的是统计初步知识，条形统计图与扇形统计图信息互补，文字量大，要求考生具有比较强的阅读理解能力.本题所设置的问题比较新颖，并不是象传统考试直接叫你求平均数、中位数、众数或方差，而是换一种说法，但考查的本质仍然为求加权平均数、以样本特性估计总体特性.显然这对考生的能力要求是非常高的．
例3（2013•江西21）．如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．
（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）
（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）
（参考数据：
sin60°=
，cos60°=
，tan60°=
，
≈26.851，可使用科学计算器）（三角函数勾股定理图形旋转图形的割补）
评析:
本题考查的是三角函数解直角三角形图形旋转中心对称扇形的面积，但题目又没有直接给出直角三角形和扇形．要求考生能将斜三角形问题转化为直角三角形问题，将不规则图形面积转化为规则图形面积。
例4（2012•江西6南昌市12）.某人驾车从A地上高整公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40升，到B地后发现油箱中还剩油4升，则从出发后B地油箱中所剩油
（升）与时间
（小时）之间函数大致图形是（）
评析:
本题考查的是实际问题中的函数关系，要求考生将2个变量的关系用图象的形式表示出来。
体现了函数模型思想。
例5（2012•江西20）．小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节。
折叠长方形信纸装入标准信封时发现：
若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8cm；若将信纸如图②三等分折叠后，宽绰1.4cm，试求信纸的纸长和信封的口宽。
（二元一次方程组）
评析:
本题考查的是二元一次方程，找出等量关系列出方程。
例6
（2012•江西22）．如图，小红家的阳台上放置了一晾衣架，图①为其侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B,D两点立于地面，经测量AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晾衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm.
（1）.求证AC∥BD；
（2）.求扣链EF与AB的夹角∠OEF的度数；（精确至0.1°）
（3）.小红的连衣裙晾总长为122cm，垂挂到晾衣架上是否会拖落至地，请通过计算说明理由。
评析:
本题考查了等腰三角形，平行判定与性质，相似三角形，
三角函数等知识。
要求考生构造出直角三角形进行求解。
例7（2011•江西8）．时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°.在运行过程中，时针与分针的夹角会随着时间的变化而变化.设时针与分针的夹角为y（度），运行时间为t（分），当时间从12︰00开始到12︰30止，y与t之间的函数图象是（）.
评析:
同前例4本题考查的是实际问题中的函数关系，要求考生将2个变量的关系用图象的形式表示出来。
体现了函数模型思想。
例8（2011•江西20）．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等.
（1）直接写出其余四个圆的直径长；
（2）求相邻两圆的间距.
评析:
同前例1、5本题考查的是一元一次方程，找出等量关系列出方程。
例9
（2011•江西22）．图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF=34cm，AB=FE=5cm，∠ABC=∠FED=149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.
（参考数据：
≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97.）
评析:
本题考查的是三角函数，解直角三角形，点到直线的距离，勾股定理，角度的运算等知识。
但试题要求考生将一个实际问题转化为数学问题，构建直角三角形模型，并进行计算，最后得出结论。
例10（2010•江西11）．选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第
（1）题评分）
（1）如图，从点C测得树的顶端的仰角为33º，BC＝20米，则树高AB≈___________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
评析:
本题考查的是三角函数，直接解直角三角形。
例11（2010•江西13）．某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元．设购买了甲种票x张，乙种票y张，由此可列出方程组：
_________________．（二元一次方程组）
评析:
本题考查的是二元一次方程，找出等量关系直接列出方程。
例12（2010•江西21）．剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式剃须刀（刀片可更换）．有关销售策略与售价等信息如下表所示：
老式剃须刀
新式剃须刀
刀架
刀片
售价
2.5（元/把）
1（元/把）
0.55（元/片）
成本
2（元/把）
5（元/把）
0.5（元/片）
某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架？
多少片刀片？
评析：
一次方程。
理解两厂的利润构成，再据题中的等量
关系列出方程
例13（2010•江西23）．图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米．设AP＝x分米．
（1）求x的取值范围；
（2）若∠CPN＝60º，求x的值；
（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）．
评析:
本题是一道几何综合应用问题，涉及菱形相似三角形圆面积，体现了转化思想。
例14（2009•江西10）．为了让江西的山更绿、水更清，2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2008年我省森林覆盖率为60.05%，设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为
，则可列方程（）
A．
B．
C．
D．
评析：
考查一元二次方程，根据问题中关系列方程
例15（2009•江西21）．某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段
、
分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程
（米）与所用时间
（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：
（1）求点
的坐标和
所在直线的函数关系式；
（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？
评析:
本题考查一元一次方程函数图象及一次函数，结合图象信息，
读懂题目意思，从复杂的信息中分离出数学问题即相遇问题是解
决本题的关键．
例16（2009•江西23）．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：
如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组：
如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组：
如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.
任务要求
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线
与⊙O相切于点
.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：
如图3，景灯的影长等于线段
的影长；需要时可采用等式
）.
评析:
本题考查了相似三角形勾股定理圆方程等知识,要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，体现了转化的思想．
2.从试题分析中得到的几点启示
①这些试题，从学生熟悉的社会热点或实际生活中选材，使学生真正感受到数学来源于生活，数学为生活服务。
在数学与生活之间找到了“链接点”，给人以耳目一新的感觉，突出了“应用”二字，实现了考查学生应用能力的目的。
②突出数学建模思想，考查学生解决实际问题的能力
③渗透研究性学习的思想，促进学生学习方法的转变
④渗透数学思想方法，考查学生运用数学思想和方法的能力
⑤内容涉及代数式,方程,函数,三角函数,几何等.
题型涉及选择、填空、解答，而分值主要集中在解答题。
难度中等,分值16%以上
三、复习策略
1.掌握要求：
（课标考试说明）做到心中有数,明确什么地方会考,什么地方不会考,会考的地方将考
到什么程度.然后,会考的地方进行有针对性的复习训练
2.回归教材：
⑴相关数学知识必须过关。
如列代数式，解方程，解不等式，函数，相似三角形，三角函数，解直角三角形，统计与概率相关知识等等
⑵对教材中的应用题（例题、习题）进行梳理,研究,做到心中有数
3.突破审题瓶颈培养学生良好的审题习惯，审题方法，审题能力。
数学解题从拿到题目到完全解出通常有四个步骤：
理解题意、思路探求、书写解答、回顾反思，理解题意就是审题．学生在解题上的不成功往往可以追溯到“审题未审清或审不清”——正所谓“成也审题、败也审题”．
那么,如何突破审题呢?
题目本身是“怎样解这道题”的钥匙，只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们．所以，审题一定要逐字逐句看清楚，真正弄懂题意，从而获得解题思路的有益启示．审题的关键是要抓好“审题审什么”的三个要点和“审题怎么审”的四个步骤．
（1）．审什么
怎样才算审清题意了呢?
我们说，主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息．题目的条件和结论是两个信息源，为了从中获取尽可能多的信息，我们要逐字逐句地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系，常常还要辅以图形或记号，以求得目标与手段的统一．具体说来，要抓好审题的“三个要点”：
①弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．
首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件要尽量把它们全都找出来；其次（更重要的），是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系．题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点，也准备好了行进中的加油站．
②弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．
题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关．题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向．弄清了结论就等于弄清了行动的目标，也随身带上了纠正偏差的指南针．
③弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是种什么样的结构．
即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些联系就表现为题目的结构
（2）．怎么审
审题的程序基本可以分为“四个步骤”：
读题理解表征深化,这四个步骤不是很严格地划分,在读题中就有理解,理解时就会表征.
①读题——弄清字面含义．
读题是审题的第一步，是理解表征深化的前提．怎么读题?
第一遍读题要明确题目是讲什么事?
可以概括性的.
第二遍读题要逐字逐句读懂题目给了你什么，要你干什么．这要慢读,关键处要逐字逐句甚至不惜点读.从语法结构、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作．其次要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节．
②理解——弄清数学含义．
看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”，弄清题目的数学含义.可借助表格、图形来处理数据，
③表征——识别题目类型．
信息在大脑的呈现叫做表征．弄清条件、弄清结论的同时，条件与结论之间的关系会在头脑呈现.对于常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存所现成的，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取该题型的相应方法即可解决（模式识别）．
④深化——接近深层结构．
简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的．对于变通过的“形似而质异”的（或综合性较强的）题目，则还要不停顿地“弄清问题”．因而，“审题”的工作在“识别题目类型”之后还结束不了，主要表现在两个方面：
其一是在思路探求中，还有一个继续弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识的过程，即更本质地“弄清问题”，努力接近问题的深层结构．
下面举两例说明如何审题
例3（2013•江西21）．如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．
（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）
（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）
（参考数据：
sin60°=
，cos60°=
，tan60°=
，
≈26.851，可使用科学计算器）
第一遍读题，明确这是一个图形的旋转问题，与旋转中心，旋转角有关。
第二遍读题，找出关键词、有关数据并弄清其数学含义。
已知条件有三个：
①OA=10，AB=48，∠OAB=120°，
②折线OAB绕点O旋转，旋转中心是点O
③AB从水平位置转到CD水平位置，数学含义是旋转后方向相反
结论有三个：
1求旋转角，数学含义是∠AOC或∠BOD的值，
2点O，B间的距离，数学含义是线段OB的长，
③AB扫过的面积，数学含义是宽为AB的圆环面积的一部分.
条件与结论的联系：
由条件③已间接告知了旋转角,可解决结论①问题；结论②告诉我们应求线段OB的长，从而要连结AB；圆环的面积实际是两个圆的面积之差
解题思路探求:
将实际问题转化为数学问题，
（1）AB旋转的最大角度为180°；在△OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB=120°想到作AB边上的高，得到一个含60°角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜边OA=10，可求出OE、AE的长，进而求得Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；
（2）雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）.
解答过程：
（略）
例15（2009•江西21）．某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段
、
分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程
（米）与所用时间
（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：
（1）求点
的坐标和
所在直线的函数关系式；
（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？
第一遍读题，可知这是一个行程问题，与之相关的是时间，速度，路程.三者之间关系速度×时间=路程.
第二遍读题，要找出题中的关键词和有关数据，特别读出图象中其的信息.如横、纵轴分别表示离体育馆的路程（米）与所用时间（分钟），点A处的数字表示家与体育馆的距离，点B表示两人相遇时的情况。
为了有助于理解题意，还可以用图示表示
这一行程的状态（如下图）
已知条件有三个：
①离比赛开始还有25分钟.
②小明步行从体育馆往家走，父亲骑自行车从家往体育馆走,自行车的速度是步行速度的
3倍.数学含义是这是一个行程相遇问题.
③相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.骑自行车和步行的速度始终保持不变
④函数图象，数学含义有:
两地相距3600米,他们相遇时用了15分钟.
结论有三个：
1求点
的坐标，数学含义是点到两坐标轴的距离，
2求
所在直线的函数关系式，数学含义是求一次函数的解析式的问题，
③小明能否在比赛开始前到达体育馆？
数学含义是自行车在10分钟内能否走完小明步行
15分钟所走的路程?
条件与结论的联系：
由条件③已告知点B的横坐标15，点A坐标（0，3600），条件①③④说明小明从相遇点处返回体育馆的速度是步行速度的3倍，时间不能超过10分钟。
解题思路探求:
问题①②的解决都与点B的纵坐标有关。
而点B纵坐标数据是离体育馆的距离，因此要求出小明（父亲）的速度。
由相遇问题可列方程求得。
从而能否在比赛前赶到体育馆也迎刃而解。
解答过程：
（略）
3.联系生活，
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