数列与不等式综合-专题(教师用).doc

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数列与不等式交汇题型的分析及解题策略

【命题趋向】

数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．如08年北京文20题（12分）中档偏上，考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题、08年湖北理21题（12分）为中档偏上，考查数列与不等式交汇的探索性问题、08年江西理19题（12分）中等难度，考查数列求和与不等式的交汇、08年全国卷Ⅰ理22（12分）压轴题，难说大，考查数学归纳法与不等式的交汇，等等.预计在2009年高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题.

【考试要求】

1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。

4．理解不等式的性质及其证明．

5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．

6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．

7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．

8.掌握数学归纳法证明不等式的基本方法与步骤。

【考点透视】

1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.

2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明（主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法）和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.

3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.

【典例分析】

题型一　求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题

求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：

（1）若函数f（x）在定义域为D，则当x∈D时，有f（x）≥M恒成立Ûf（x）min≥M；f（x）≤M恒成立Ûf（x）max≤M；

（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.

【例1】　等比数列{an}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋…＋恒成立的正整数n的取值范围.

【分析】　利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围.

【解】　由题意得：

（a1q16）2＝a1q23，∴a1q9＝1.

由等比数列的性质知：

数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等式成立，

则须＞，把a＝q-18代入上式并整理，得q-18（qn－1）＞q（1－），

qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数的取值范围是n≥20.

【点评】　本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.

【例2】　（08·全国Ⅱ）设数列{an}的前项和为Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．（Ⅰ）设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

【分析】　第（Ⅰ）小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件an+1≥an转化为关于n与a的关系，再利用a≤f（n）恒成立等价于a≤f（n）min求解．

【解】　（Ⅰ）依题意，Sn+1－Sn＝an+1＝Sn＋3n，即Sn+1＝2Sn＋3n，

由此得Sn+1－3n+1＝2（Sn－3n）．

因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝（a－3）2n-1，n∈N*,①

（Ⅱ）由①知Sn＝3n＋（a－3）2n-1，n∈N*，

于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝3n＋（a－3）2n-1－3n-1－（a－3）2n-2＝2×3n-1＋（a－3）2n-2，

an+1－an＝4×3n-1＋（a－3）2n-2＝2n-2·[12·（）n-2＋a－3]，

当n≥2时，an+1≥an，即2n-2·[12·（）n-2＋a－3]≥0，12·（）n-2＋a－3≥0，∴a≥－9，

综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞]．

【点评】　一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.

题型二　求数列中的最大值问题

求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：

（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；

（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值.

【例3】　（08·四川高考）设等差数列{an}的前项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为______.

【分析】　根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a1与公差d的不等式，然后利用此不等关系确定公差d的范围，由此可确定a4的最大值.

【解】　∵等差数列{an}的前项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，

∴，即，∴，

∴≤a4≤3＋d，则5＋3d≤6＋2d，即d≤1.

∴a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值为4.

【点评】　本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差d是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.

【例4】　等比数列{an}的首项为a1＝2002，公比q＝－．（Ⅰ）设f（n）表示该数列的前n项的积，求f（n）的表达式；（Ⅱ）当n取何值时，f（n）有最大值．

【分析】　第（Ⅰ）小题首先利用等比数列的通项公式求数列{an}的通项，再求得f（n）的表达式；第（Ⅱ）小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值.

【解】　（Ⅰ）an＝2002·（－）n-1，f（n）＝2002n·（－）

（Ⅱ）由（Ⅰ），得＝，则

当n≤10时，＝＞1，∴|f（11）|＞|f（10）|＞…＞|f

（1）|，

当n≥11时，＝＜1，∴|f（11）|＞|f（12）|＞|f（13）|＞…，

∵f（11）＜0，f（10）＜0，f（9）＞0，f（12）＞0，∴f（n）的最大值为f（9）或f（12）中的最大者．

∵＝＝20023·（）30＝（）3＞1，

∴当n＝12时，f（n）有最大值为f（12）＝200212·（）66．

【点评】　本题解答有两个关键：

（1）利用商值比较法确定数列的单调性；

（2）注意比较f（12）与f（9）的大小.整个解答过程还须注意f（n）中各项的符号变化情况.

题型三　求解探索性问题

数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：

先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.

【例5】　已知{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝4.（Ⅰ）求证：

数列{an}是等比数列；（Ⅱ）是否存在正整数k，使＞2成立.

【分析】　第（Ⅰ）小题通过代数变换确定数列an+1与an的关系，结合定义判断数列{an}为等比数列；而第（Ⅱ）小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性.

【解】　（Ⅰ）由题意，Sn＋an＝4，Sn+1＋an+1＝4，

由两式相减，得（Sn+1＋an+1）－（Sn＋an）＝0，即2an+1－an＝0，an+1＝an，

又2a1＝S1＋a1＝4，∴a1＝2，∴数列{an}是以首项a1＝2，公比为q＝的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ），得Sn＝＝4－22-n.

又由＞2，得＞2，整理，得＜21-k＜1，即1＜2k-1＜，

∵k∈N*，∴2k-1∈N*，这与2k-1∈（1，）相矛盾，故不存在这样的k，使不等式成立.

【点评】　本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件“k∈N*”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.

【例6】　（08·湖北高考）已知数列{an}和{bn}满足：

a1＝λ，an+1＝an＋n－4，bn＝（－1）n（an－3n＋21），其中λ为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b?

若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

【分析】　第（Ⅰ）小题利用反证法证明；第（Ⅱ）小题利用等比数列的定义证明；第（Ⅲ）小题属于存在型问题，解答时就假设a＜Sn＜b成立，由此看是否能推导出存在存在实数λ.

【解】　（Ⅰ）证明：

假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即

（λ－3）2＝λ（λ－4）Ûλ2－4λ＋9＝λ2－4λÛ9＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列.

（Ⅱ）解：

因为bn+1＝（－1）n+1[an+1－3（n＋1）＋21]

＝（－1）n+1（an－2n＋14）＝－（-1）n（an－3n－21）＝－bn，

20090318

又b1＝－（λ＋18），所以

当λ＝－18时，bn＝0（n∈N*），此时{bn}不是等比数列；

当λ≠－18时，b1＝－（λ＋18）≠0，由上可知bn≠0，∴＝－（n∈N*）.

故当λ≠－18时，数列{bn}是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ＝－18，bn＝0（n∈N*），Sn＝0，不满足题目要求；.

∴λ≠－18，故知bn＝－（λ＋18）×（－）n-1，于是Sn＝－（λ＋18）·[1－（－）n]

要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立，即a＜－（λ＋18）·[1－（－）n]＜b，（n∈N*）.

得＜－（λ＋18）＜，（n∈N*）①

令f（n）＝1－（－）n，则当n为正奇数时，1＜f（n）≤，当n为正偶数时≤f（n）＜1；

∴f（n）的最大值为f

（1）＝，f（n）的最小值为f

（2）＝,

于是，由①式得a＜－（λ＋18）＜b，∴－b－18＜λ＜－3a－18，（必须－b＜－3a，即b＞3a）.

当a＜b3a时，由－b－18≥－3a－18，不存在实数满足题目要求；

当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b,且λ的取值范围是（－b－18，－3a－18）.

【点评】　存在性问题是指命题的结论不确定的一类探索性问题，解答此类题型一般是从存在的方面入手，寻求结论成立的条件，若能找到这个条件，则问题的回答是肯定的；若找不到这个条件或找到的条件与题设矛盾，则问题的回答是否定的.其过程可以概括为假设——推证——定论.本题解答注意对参数λ及项数n的双重讨论.

题型四　数列与不等式的证明问题

此类不等式的证明常用的方法：

（1）比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；

（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.（4）数学归纳法。

（1）用基本方法证明数列不等式：

【例7】　已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝7，S4＝24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设p、q都是正整数，且p≠q，证明：

Sp+q＜（S2p＋S2q）．

【分析】　根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n项公式和建立方程组即可解决第（Ⅰ）小题；第（Ⅱ）小题利用差值比较法就可顺利解决.

【解】　（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，依题意得，，解得，

∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝2n＋1.

（Ⅱ）证明：

∵an＝2n＋1，∴Sn＝＝n2＋2n．

2Sp+q－（S2p＋S2q）＝2[（p＋q）2＋2（p＋q）]－（4p2＋4p）－（4q2＋4q）＝－2（p－q）2，

∵p≠q，∴2Sp+q－（S2p＋S2q）＜0，∴Sp+q＜（S2p＋S2q）．

【点评】　利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：

（1）因式分解；

（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.

【例8】．（06湖南文，20）在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数。

（Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式；

（Ⅱ）令，证明，n=1,2,…。

解　（Ⅰ）由已知得，。

（Ⅱ）因为，

所以.

又因为，

所以　　　　　=。

综上，。

（2）用放缩发证明数列不等式：

【例9】．已知曲线的直线交曲线C于另一点的横坐标构成数列

（I）求证：

是等比数列；

（II）求证：

解：

过C：

的直线交C于另一点，

于是有：

………………2分

因此数列是等比数列。

（2）由

（1）可知：

当n为偶数时有：

于是

①在n为偶数时有：

②在n为奇数时，前n—1项为偶数列，于是有：

综合①②可知原不等式得证。

【例10】．已知：

（）是方程的两根，且，.．

（1）求的值；

（2）设，求证：

；

（3）求证：

对有w。

.w.．

解：

（1）解方程得，，-----------------------1分

∴-----------------------------------------2分

，

∴，-----------------------------------------3分

∴-------------------------------------------4分

（2）由得

即--------------------------6分

当时，于是＝（）

∴------------------------------9分

（3）当时，结论成立；------------10分

当时，有

＝------------------12分

∵

∴

＝

∴对有----------------------------------14分

【例11】．设,函数.

（Ⅰ）证明:

存在唯一实数，使；

（Ⅱ）定义数列:

,.

（i）求证:

对任意正整数n都有；

（ii）当时,若，证明:

对任意都有:

.

（Ⅰ）证明:

①.…………………………………1分

令,则,,

∴.…………………………………2分

又,∴是R上的增函数.…………………………………3分

故在区间上有唯一零点,

即存在唯一实数使.…………………………………4分

②当时,,,由①知,即成立；…………5分

设当时,,注意到在上是减函数,且,

故有:

即

∴,…………………………………7分

即.这就是说,时,结论也成立.

故对任意正整数都有:

.…………………………………8分

（2）当时,由得:

………………………………9分

………………………10分

当时,,

∴

…………………………………12分

对,

…………………………………13分

…………………………………14分

【例12】．数列，

⑴是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。

⑵设，证明：

当时，.

解:

设，

即……………………………（2分）

故……………………………（4分）

∴………（5分）

又……………………………………………………………………（6分）

故存在是等比数列……………（7分）

⑵证明：

由⑴得∴，

故………………………………………………（8分）

∵…………………………（9分）

∴

……………………………………（11分）

现证.

当，

故时不等式成立………………………………………………（12分）

当得

，且由，

∴……………………………………（14分）

【例13】．已知数列、中，对任何正整数都有：

．

（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：

数列是等比数列；

（2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；

（3）若数列是等差数列，数列是等比数列，求证：

．

又，

故

，

要使是与无关的常数，必需，

即①当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是；

②当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列．

（3）由

（2）知，

【例14】．在数列中，

（Ⅰ）试比较与的大小；

（Ⅱ）证明：

当时，.

解：

（Ⅰ）由题设知，对任意，都有

，

………………………………6分

（Ⅱ）证法1：

由已知得，

又.

当时，

…………………………………10分

设①

则②

①-②，得

……………………14分

证法2：

由已知得，

（1）当时，由，知不等式成立。

………8分

（2）假设当不等式成立，即，那么

要证，只需证

即证，则只需证………………10分

因为成立，所以成立.

这就是说，当时，不等式仍然成立.

根据

（1）和

（2），对任意，且，都有……14分

【例15】．已知函数的定义域为R,且对于任意R,存在正实数,使得都成立.

（1）若,求的取值范围；

（2）当时，数列满足，.

①证明：

；

②令，证明：

.

（1）证明：

对任意R，有：

.……2分

由,即.

当时,得.

且，

∴.……4分

∴要使对任意R都成立,只要.

当时,恒成立.

∴的取值范围是.……5分

（2）证明：

①∵，,

故当时，

.…6分

∴

……7分

.……8分

∵,

∴当时,不等式也成立.……9分

②∵,

∴

.

……11分

∴

.

（3）用数学归纳法证明数列不等式：

【例16】　（08·安徽高考）设数列{an}满足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c为实数.（Ⅰ）证明：

an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；（Ⅱ）设0＜c＜，证明：

an≥1－（3c）n-1，n∈N*；（Ⅲ）设0＜c＜，证明：

a12＋a22＋…＋an2＞n＋1－，n∈N*.

20090318

【分析】　第

（1）小题可考虑用数学归纳法证明；第

（2）小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第（3）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前n项和求和，再进行适当放缩.

【解】（Ⅰ）必要性：

∵a1＝0，a2＝1－c，

又∵a2∈[0，1]，∴0≤1－c≤1，即c∈[0，1].

充分性：

设c∈[0，1]，对n∈N*用数学归纳法证明an∈[0，1].

（1）当n＝1时，a1∈[0，1].

（2）假设当n＝k时，ak∈[0，1]（k≥1）成立，则

ak＋1＝cak3＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝cak3＋1－c≥1－c≥0，

∴ak＋1∈[0，1]，这就是说n＝k＋1时，an∈[0，1].

由

（1）、

（2）知，当c∈[0，1]时，知an∈[0，1]对所胡n∈N*成立.

综上所述，an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1].

（Ⅱ）设0＜c＜，当n＝1时，a1＝0，结论成立.

当n≥2时，由an＝can-13＋1－c，∴1－an＝c（1－an-1）（1＋an-1＋an-12）

∵0＜c＜，由（Ⅰ）知an-1∈[0，1]，所以1＋an-1＋an-12≤3，且1－an-1≥0，∴1－an≤3c（1－an-1），

∴1－an≤3c（1－an-1）≤（3c）2（1－an-2）≤…≤（3c）n-1（1－a1）＝（3c）n-1，∴an≥1－（3c）n-1，n∈N*.

（Ⅲ）设0＜c＜，当n＝1时，a12＝0＞2－，结论成立.

当n≥2时，由（Ⅱ）知an≥1－（3c）n-1＞0，

∴an2≥[（1－（3c）n-1）]2＝1－2（3c）n-1＋（3c）（n-1）＞1－2（3c）n-1，

a12＋a22＋…＋an2＝a22＋…＋an2＞n－1－2[3c＋（3c）2＋…＋（3c）n-1]

＝n－1－2[1＋3c＋（3c）2＋…＋（3c）n-1－1]＝n＋1－＞n＋1－.

【点评】　本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地，复习时应引起注意.本题的第（Ⅰ）小题实质也是不等式的证明，

【例17】（2007湖北理21）（本小题满分14分）已知m，n为正整数.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：

当x>-1时，（1+x）m≥1+mx；

（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；

（Ⅲ）求出满足等