上海市徐汇区2015届高考数学二模试卷(理科).doc

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上海市徐汇区2015届高考数学二模试卷（理科）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．

1．（4分）已知集合A=，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=．

2．（4分）若复数z=1﹣2i（i为虚数单位），则=．

3．（4分）已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．

4．（4分）某中学采用系统抽样的方法从该校2014-2015学年高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16．若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是．

5．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，则△ABC的面积为．

6．（4分）设函数f（x）=log2（2x+1），则不等式2f（x）≤f﹣1（log25）的解为．

7．（4分）直线y=x与曲线C：

（θ为参数，π≤θ≤2π）的交点坐标是．

8．（4分）甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为．

9．（4分）矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第i列各元素之和为Si，则=．

10．（4分）如图所示：

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1，则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为．

11．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为a，二项式的展开式中x3项的系数为，则常数m=．

12．（4分）设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），则函数f（x）﹣g（x）的值域为．

13．（4分）△ABC所在平面上一点P满足，若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为．

14．（4分）对于曲线C所在平面上的定点P0，若存在以点P0为顶点的角α，使得α≥∠AP0B对于曲线C上的任意两个不同的点A，B恒成立，则称角α为曲线C相对于点P0的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点P0的“确界角”．曲线C：

y=相对于坐标原点O的“确界角”的大小是．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

15．（5分）下列不等式中，与不等式≥0同解的是（）

A． （x﹣3）（2﹣x）≥0 B． （x﹣3）（2﹣x）＞0 C． ≥0 D． ≥0

16．（5分）设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）

A． 是必然事件 B． M∪N是必然事件

C． 与一定为互斥事件 D． 与一定不为互斥事件

17．（5分）在极坐标系中，与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程是（）

A． ρ=sin（+θ）+1 B． ρ=sin（﹣θ）+1 C． ρ=sin（+θ）+1 D． ρ=sin（﹣θ）+1

18．（5分）已知函数f（x）=x2•sinx，各项均不相等的数列{xn}满足|xi|≤（i=1，2，3，…，n）．令F（n）=（x1+x2+…+xn）•[f（x1）+f（x2）+…f（xn）]（n∈N*）．给出下列三个命题：

（1）存在不少于3项的数列{xn}，使得F（n）=0；

（2）若数列{xn}的通项公式为，则F（2k）＞0对k∈N*恒成立；

（3）若数列{xn}是等差数列，则F（n）≥0对n∈N*恒成立．

其中真命题的序号是（）

A．

（1）

（2） B．

（1）（3） C．

（2）（3） D．

（1）

（2）（3）

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（12分）如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，D是AB的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC=．

（1）求该圆锥的全面积；

（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．

（结果用反三角函数值表示）

20．（14分）一个随机变量ξ的概率分布律如下：

ξ x1 x2

P cos2A sin（B+C）

其中A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角．

（1）求A的值；

（2）若x1=cosB，x2=sinC，求数学期望Eξ的取值范围．

21．（14分）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A，B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C，D．已知梯形的高是40厘米，C、D两点间的距离为40厘米．

（1）求横梁AB的长度；

（2）求梯形外框的用料长度．

（注：

细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）

22．（16分）已知函数f（x）=，g（x）=．

（1）求函数h（x）=f（x）+2g（x）的零点；

（2）若直线l：

ax+by+c=0（a，b，c为常数）与f（x）的图象交于不同的两点A、B，与g（x）的图象交于不同的两点C、D，求证：

|AC|=|BD|；

（3）求函数F（x）=[f（x）]2n﹣[g（x）]2n（n∈N*）的最小值．

23．（18分）对于一组向量（n∈N*），令，如果存在（p∈{1，2，3…，n}），使得||，那么称是该向量组的“h向量”．

（1）设=（n，x+n）（n∈N*），若是向量组的“h向量”，

求实数x的取值范围；

（2）若（n∈N*），向量组是否存在“h向量”？

给出你的结论并说明理由；

（3）已知均是向量组的“h向量”，其中=（sinx，cosx），=（2cosx，2sinx）．设在平面直角坐标系中有一点列Q1，Q2，Q3，…，Qn满足：

Q1为坐标原点，Q2为的位置向量的终点，且Q2k+1与Q2k关于点Q1对称，Q2k+2与Q2k+1（k∈N*）关于点Q2对称，求||的最小值．

上海市徐汇区2015届高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．

1．（4分）已知集合A=，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B={1}．

考点：

交集及其运算．

专题：

集合．

分析：

把A中元素代入B中求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．

解答：

解：

∵A={1，2，}，B={y|y=x2，x∈A}，

∴B={，1，4}，

则A∩B={1}，

故答案为：

{1}

点评：

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（4分）若复数z=1﹣2i（i为虚数单位），则=6﹣2i．

考点：

复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．

专题：

计算题．

分析：

把复数z=1﹣2i及它的共轭复数代入，将其化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．

解答：

解：

考查复数基本运算=（1﹣2i）（1+2i）+1﹣2i=6﹣2i．

故答案为：

6﹣2i．

点评：

本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．

3．（4分）已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．

考点：

直线的斜率．

专题：

直线与圆．

分析：

设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α．利用=0，即可得出．

解答：

解：

设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α．

则=a﹣b=0，

∴=tanα，

∴α=，

故答案为：

．

点评：

本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．

4．（4分）某中学采用系统抽样的方法从该校2014-2015学年高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16．若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是39．

考点：

系统抽样方法．

专题：

概率与统计．

分析：

根据系统抽样的定义进行求解．

解答：

解：

∵样本间隔k=16，若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，

∴抽取的号码数为7+16x，

当x=2时，7+16×2=39，

即在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该39，

故答案为：

39

点评：

本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．

5．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，则△ABC的面积为．

考点：

正弦定理．

专题：

解三角形．

分析：

利用余弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答：

解：

∵a=，

∴a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴3=4+b2﹣4b×，化为b2﹣2b+1=0，解得b=1．

∴S△ABC===．

故答案为：

．

点评：

本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．（4分）设函数f（x）=log2（2x+1），则不等式2f（x）≤f﹣1（log25）的解为（﹣∞，0]．

考点：

指、对数不等式的解法．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

先根据函数的定义域求出x的范围，然后代入解析式，解对数不等式，转化成指数不等式进行求解，即可求出x的取值范围

解答：

解：

f﹣1（x）=log2（2x﹣1），x∈（0，+∞）．

由2f（x）≤f﹣1（log25），

2log2（2x+1）≤log2（﹣1）=log24，

∴log2（2x+1）≤1

∴0＜2x+1≤2，∴0＜2x≤1，⇒x≤0；

综上，x≤0；

故答案为：

（﹣∞，0]．

点评：

本题主要考查了反函数的求解，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查转化与划归的思想，计算能力，属于中档题

7．（4分）直线y=x与曲线C：

（θ为参数，π≤θ≤2π）的交点坐标是．

考点：

参数方程化成普通方程．

专题：

坐标系和参数方程．

分析：

本题由曲线C的参数方程消去参数后，得到其普通方程，再用两方程联列方程组，得到交点坐标，即本题结论．解题时要注意纵坐标的取值范围．

解答：

解：

由曲线C：

（θ为参数，π≤θ≤2π），

得到：

（y≤0）．

由，

得到，

∵y≤0，

∴，

∴．

∴直线y=x与曲线C：

（θ为参数，π≤θ≤2π）的交点坐标是．

故答案为：

．

点评：

本题考查了将曲线的参数方程转化为普通方程，本题难度不大，属于基础题．

8．（4分）甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为0.58．

考点：

相互独立事件的概率乘法公式．

专题：

计算题；概率与统计．

分析：

根据题意可得两人是否击中目标是相互独立的，利用相互独立事件的概率乘法公式可得答案．

解答：

解：

由题意可得：

两人是否击中目标是相互独立的，

因为两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，

所以两人都击中目标的概率为：

0.6×0.7=0.42，

所以甲、乙至多一人击中目标的概率为：

1﹣0.42=0.58．

故答案为：

0.58．

点评：

本题主要考查相互独立事件的定义与相互独立事件的概率乘法公式的应用，此题属于基础题，只要学生认知细心的计算即可得到全分．

9．（4分）矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第i列各元素之和为Si，则=．

考点：

数列的极限；数列的求和．

专题：

计算题；等差数列与等比数列．

分析：

先求出Si=2i﹣1（1+2+…+n）=•2i﹣1，再求极限即可．

解答：

解：

∵矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第i列各元素之和为Si，

∴Si=2i﹣1（1+2+…+n）=•2i﹣1，

∴==．

故答案为：

．

点评：

本题考查数列的极限与求和，考查学生的计算能力，正确求和是关键．

10．（4分）如图所示：

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1，则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为．

考点：

二面角的平面角及求法．

专题：

空间角．

分析：

通过题意易得直三棱柱ABC﹣A1B1C1即为正方体的一半，直接得出答案．

解答：

解：

根据题意，易得直三棱柱ABC﹣A1B1C1即为正方体的一半，

∴所求即为平面A1B1C与平面A1B1C1所成的二面角，即为∠C1B1C，

又∵△B1C1C为等腰直角三角形，∴∠C1B1C=，

故答案为：

．

点评：

本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC﹣A1B1C1即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题．

11．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为a，二项式的展开式中x3项的系数为，则常数m=．

考点：

程序框图．

专题：

算法和程序框图；二项式定理．

分析：

根据程序求出a的值，然后利用二项式定理的内容即可得到结论．

解答：

解：

当i=1，满足条件t＜2014，a==﹣1，i=2，

当i=2，满足条件t＜2014，a==，i=3，

当i=3，满足条件t＜2014，a==2，i=4，

当i=4，满足条件t＜2014，a==﹣1，i=5，

∴s的取值具备周期性，周期数为3，

∴当i=2014，不满足条件i＜2014，

∴当i=2013时，a=2，

二项式的展开式的通项公式为（x2）4﹣k•（）k=m•x，由8﹣=3，解得：

k=2

∴当k=2时x3项的系数是m=1，可解得：

m=．

故答案为：

．

点评：

本题主要考查程序框图的应用，以及二项式定理的应用，综合性较强．

12．（4分）设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），则函数f（x）﹣g（x）的值域为（﹣3，﹣1]．

考点：

奇偶性与单调性的综合；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数奇偶性的性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．

解答：

解：

∵f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的偶函数，

∴﹣[f（x）﹣g（x）]=﹣f（x）+g（x）=f（﹣x）+g（﹣x），

∵函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），

∴1≤f（﹣x）+g（﹣x）＜3，

即1≤﹣[f（x）﹣g（x）]＜3，

则﹣3＜f（x）﹣g（x）≤﹣1，

即函数f（x）﹣g（x）的值域为（﹣3，﹣1]，

故答案为：

（﹣3，﹣1]

点评：

本题主要考查函数值域的求解，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．

13．（4分）△ABC所在平面上一点P满足，若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为12．

考点：

平面向量的基本定理及其意义．

专题：

计算题；平面向量及应用．

分析：

由已知中P是△ABC所在平面内一点，且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得m=2，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC=2S△ABP，结合已知中△ABP的面积为6，即可得到答案．

解答：

解：

取AC的中点O，则，

∵，

∴m=2，

∴C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，

故S△ABC=2S△ABP=12．

故答案为：

12．

点评：

本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据m=2，得到S△ABC=2S△ABP，是解答本题的关键．

14．（4分）对于曲线C所在平面上的定点P0，若存在以点P0为顶点的角α，使得α≥∠AP0B对于曲线C上的任意两个不同的点A，B恒成立，则称角α为曲线C相对于点P0的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点P0的“确界角”．曲线C：

y=相对于坐标原点O的“确界角”的大小是．

考点：

曲线与方程．

专题：

综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，x≥0时，曲线y=与直线y=k1x无限接近，考虑渐近线，求出k1=1；x＜0时，曲线可化为x2+（y﹣2）2=1（x＜0），圆心到直线的距离为=1，故k2=﹣，再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”．

解答：

解：

画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为y=k1x，y=k2x，

当x≥0时，曲线y=与直线y=k1x无限接近，即为双曲线的渐近线，故k1=1；

当x＜0时，曲线可化为x2+（y﹣2）2=1（x＜0），圆心到直线的距离为=1，故k2=﹣，

由两直线的夹角公式得，tanθ=||=2+，

故曲线C相对于点O的“确界角”为．

故答案为：

．

点评：

本题考查新定义“确界角”及应用，考查直线与圆的位置关系，双曲线的性质：

渐近线，属于中档题．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

15．（5分）下列不等式中，与不等式≥0同解的是（）

A． （x﹣3）（2﹣x）≥0 B． （x﹣3）（2﹣x）＞0 C． ≥0 D． ≥0

考点：

其他不等式的解法．

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

将不等式进行等价变形进行对比即可．

解答：

解：

不等式≥0等价为，

即≥0，

故选：

D．

点评：

本题主要考查分式不等式的求解和变形，比较基础．

16．（5分）设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）

A． 是必然事件 B． M∪N是必然事件

C． 与一定为互斥事件 D． 与一定不为互斥事件

考点：

互斥事件与对立事件；随机事件．

专题：

概率与统计．

分析：

有M、N是互斥事件，作出相应的示意图，即可得．

解答：

解：

因为M、N为互斥事件，如图：

，

无论哪种情况，是必然事件．

故选A．

点评：

本题考查借助示意图判断事件间的关系，考查互斥事件的定义，属于基础题

17．（5分）在极坐标系中，与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程是（）

A． ρ=sin（+θ）+1 B． ρ=sin（﹣θ）+1 C． ρ=sin（+θ）+1 D． ρ=sin（﹣θ）+1

考点：

简单曲线的极坐标方程．

专题：

坐标系和参数方程．

分析：

第一步：

将对称轴方程化为直角坐标方程；

第二步：

在已知曲线ρ=cosθ+1上任取一点，并化为直角坐标；

第三步：

求该点关于对称轴对称的点，并化为极坐标形式；

第四步：

将此极坐标逐个代入四个选项中验证即可达到目的．

解答：

解：

由θ=，得tanθ=，即，得对称轴方程为．

在方程ρ=cosθ+1中，取θ=，则，

由，得点（，1）的直角坐标为（0，1），

则过点（0，1）且与直线垂直的直线的直角坐标方程为，

从而此两直线的交点坐标为，

由中点公式，得点（0，1）关于直线对称的点为，

设其极坐标为（ρ0，θ0），则，取，

又，得点，

此点必在曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=（ρ∈R）对称的曲线上，

在四个选项中，只有选项C中的方程满足．

故选：

C．

点评：

本题考查了极坐标与直角坐标之间的相互转化，及轴对称问题的处理，难点是点关于直线对称的点的求法，求解时应善于运用中点公式及两直线互相垂直的充要条件．

18．（5分）已知函数f（x）=x2•sinx，各项均不相等的数列{xn}满足|xi|≤（i=1，2，3，…，n）．令F（n）=（x1+x2+…+xn）•[f（x1）+f（x2）+…f（xn）]（n∈N*）．给出下列三个命题：

（1）存在不少于3项的数列{xn}，使得F（n）=0；

（2）若数列{xn}的通项公式为，则F（2k）＞0对k∈N*恒成立；

（3）若数列{xn}是等差数列，则F（n）≥0对n∈N*恒成立．

其中真命题的序号是（）

A．

（1）

（2） B．

（1）（3） C．

（2）（3） D．

（1）

（2）（3）

考点：

命题的真假判断与应用．

专题：

等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．

分析：

由题意，f（x）=x2sinx是奇函数，只需考查0＜x≤1时的性质，此时y=x2，y=sinx都是增函数，得f（x）=x2sinx在[0，1]上是增函数；即x1+x2≠0时，（x1+x2）（f（x1）+f（x2））＞0；

对于

（1），取≤x1=﹣x3，x2=0，即可判断；

对于

（2），运用等比数列的求和公式和性质，即可判断；

对于（3），运用等差数列的求和公式和性质，结合函数f（x）的单调性，即可判断．

解答：

解：

由题意得f（x）=x2sinx是奇函数，

当0＜x≤时，y=x2，y=sinx都是增函数，

∴f（x）=x2sinx在[0，]上递增，

∴f（x）=x2sinx在[﹣，]上是增函数；

若x1+x2＜0，则x1＜﹣x2，∴f（x1）＜f（﹣x2），

即f（x1）＜﹣f（x2），∴f（x1）+f（x2）＜0；

同理若x1+x2＞0，可得f（x1）+f（x2）＞0；

∴x1+x2≠0时，（x1+x2）（f（x1）+f（x2））＞0．

对于

（1），取≤x1=﹣x3，x2=0，则F（3）=（x1+x2+x3）•

[f（x1）+f（x2）+f（x3）]=0，因此

（1）正确；

对于

（2），∵，∴x1+x2+…+xn=＜0，

又f（2k﹣1）+f（2k）=+=＜0，

∴F（2k）＞0对k∈N*恒成立，故

（2）正确；

对于（3），如x1+x2+…+xn=0，F（n）=0时，若数列{xn}是等差数列，

则x1+x2+…+xn＞0，则x1+xn＞0，f（x1）＞f（xn），可得x2+xn﹣1＞0，…，f（x2）＞f（xn﹣1），…

相加即可得到F（n）＞0，同理x1+x2+…+xn＜0，即有f（x1）+f（x2）+…f（xn）＜0，即F（n）＞0，

则（3）正确．

故选D．

点评：

本题通过命题真假的判定，考查了新定义的函数的性质以及应用问题，函数的单调性与奇偶性问题，等差与等比数列的性质与应用问题，是综合题．

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（12分）如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，D是AB的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC=．

（1）求该圆锥的全面积；

（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．

（结果用反三角函数值表示）

考点：

异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（1）求出圆锥底面半径，圆锥的侧面积S侧，然后求解圆锥的全面积．

（2）过D作DM∥AO交BO于M，连CM，说明∠CDM为异面直线AO与CD所成角，在Rt△CDM中，求解异面直线AO与CD所成角的大小．

解答：

解：

（1）Rt△AOB中，OB=2

即圆锥底面半径为2

圆锥的侧面积S侧=πrl=8π….4’

故圆锥的全