数列求和方法大全例题变式解析答案强烈推荐.doc
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1.7数列前n项和求法
知识点一倒序相加法
特征描述：
此种方法主要针对类似等差数列中
具有这样特点的数列．
思考：
你能区分这类特征吗？
知识点二错位相减法
特征描述：
此种方法主要用于数列的求和，其中为等差数列，是公比为q的等比数列，只需用便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况．
思考：
错位时是怎样的对应关系？
知识点三分组划归法
特征描述：
此方法主要用于无法整体求和的数列，例如1，，，……，
+……+，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．
思考：
求出通项公式后如何分组？
知识点四奇偶求合法
特征描述：
此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列
例如，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．
思考：
如何讨论？
知识点五裂项相消法
特征描述：
此方法主要针对这样的求和，其中{an}是等差数列．
思考：
裂项公式你知道几个？
知识点六分类讨论法
特征描述：
此方法是针对数列{}的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.
思考：
如何表示分段求和？
考点一倒序相加法
例题1：
等差数列求和
变式1：
求证：
变式2：
数列求和
考点二错位相减法
例题2：
试化简下列和式：
变式1：
已知数列，求前n项和。
变式2：
求数列；的前n项和
变式3：
求和：
考点三：
分组划归法
例三：
求数列1，，，……，+……+的和.
变式1：
5，55，555，5555，…，，…；
变式2：
；
变式3：
数列1,（1+2）,（1+2+22）,……（1+2+22+…+2n－1）,……前n项的和是 （）
A．2n B．2n－2 C．2n+1－n－2 D．n2n
考点四：
奇偶求合法
例四：
变式1：
求和：
变式2：
已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn为{an}前n项和，求Sn
变式3：
已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2（n≥3），Sn为{an}前n项和，求Sn
考点五：
裂项相消法
例五：
{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求
变式1：
；
变式2：
数列通项公式为；求该数列前n项和
变式3：
：
求和
考点六：
分类讨论法
例六：
在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．
（1）求d，an；
（2）若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
变式1：
在等差数列中，其前项和为.
（1）求的最小值，并求出的最小值时的值；
（2）求.
变式2：
设数列满足，已知存在常数使数列为等比数列.求.
变式3：
已知等比数列{}中，=64，q=，设=log2，求数列{||}的前n项和.
答案及解析
考点一
例一：
等差数列求和
①
把项的次序反过来，则：
②
①+②得：
变式1：
思路分析：
由可用倒序相加法求和。
证：
令
则
等式成立
变式2：
设，
又∵，
∴，．
考点二
例二：
解：
①若x=1，则Sn=1+2+3+…+n=
②若x≠1,则
两式相减得：
+…+
∴
变式1：
思路分析：
已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。
解：
当
当
变式2：
，
当时，…，
当时，…，
…，
两式相减得…，
∴．
变式3：
解：
⑴
⑵
①
②
由①－②得：
考点三
例三：
求数列1，，，……，+……+的和.
解：
∵
∴
变式1：
．
变式2：
∵，
∴原式……．
变式3：
C
考点四
例四：
解：
当n=2k（kN+）时,
当，
综合得：
变式1：
解：
当为偶数时：
当为奇数时：
变式2：
解：
①当n为偶数时：
②当n为奇数时：
变式3：
解：
∵an-an-2=2（n≥3）
∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n为等差数列
当n为奇数时：
当n为偶数时：
即n∈N+时，
∴①n为奇数时：
②n为偶数时：
考点五
例五：
解：
∵
∴
变式1：
∵，
∴．
变式2：
解：
∵
∴
．
变式3：
思路分析:
分式求和可用裂项相消法求和.
解:
练习:
求答案:
考点六
例六：
解：
（1））由题意得a1·5a3＝（2a2＋2）2，
即d2－3d－4＝0.
所以d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
（2）设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由
（1）得d＝－1，an＝－n＋11，则
当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝－n2＋n.
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
变式1：
解：
（1）当或21时，的最小值为-630.
（2）
变式2：
变式3：
解：
==
∴=log2=
（1）当≤7时，≥0
此时，=－+
（2）当＞7时，<0
此时，=－+42（≥8）
－+（≤7）
∴=－+42（≥8）
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