用基本不等式证题的技巧与策略.doc

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用基本不等式证题的技巧与策略

在使用基本不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用基本不等式把问题．现举例说明如下．

一、凑项

在凑“和”或“积”为定值时，还需要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项．

例1设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，求证：

++≤．

分析：

考虑等号成立的条件时，必须注意a、b、c在问题中的对称地位，即只有a=b=c=时，才有可能达到最值，而此时4a+1=4b+1=4c+1=．

证明：

∵=·≤·，

同理≤·，≤·．

∴++≤·[4（a+b+c）+3+7]=．

当且仅当4a+1=4b+1=4c+1=，即a=b=c=时，上式“=”号成立．

二、配项

在使用基本不等式时，若能巧妙地添式配项，就可以把问题转化．

例2已知a，a，…，a均为正数，且a+a+…+a=1，求证：

++…+≥．

证明：

因a，a，…，a均为正数，故+≥a，+≥a，

……，+≥a．

又因++…+=（a+a+…+a）=，

所以，把以上各同向不等式相加，得：

++…++≥a+a+…+a=1．

故++…+≥．

三、构造

根据问题的整体结构，用基本不等式构造对偶式，然后经过某些运算，促使问题的转化与解决．

例3已知a，a，…，a均为实数，且a+a+…+a=A（A＞0），a+a+…+a=（nN，n≥2），求证：

0≤a≤．（k=1，2，…，n）

证明：

构造基本不等式如下：

·a≤[（）+a]，·a≤[（）+a]，……，·a≤[（）+a]．

将上述（n－1）个同向不等式相加得：

（a+a+…+a）≤[（A－a）+a+a+…+a]，

即≤[+－a]na－2aA≤0，0≤a≤．

同理可求得0≤a≤．（k=1，2，…，n）

四、平方

通过平方运算，一可以把和（积）凑成定值，二可以把和（积）问题转化为积（和）问题．

例4若a、b、cR+，a+b+c=3，求证：

++≤3．

证明：

∵（++）=2a+1+2b+1+2c+1+2+2+2≤2（a+b+c）+3+（2a+1）+（2b+1）+（2b+1）+（2c+1）+（2c+1）+（2a+1）=6（a+b+c）+9=27．

∴++≤3．

五、引参

通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在用不等式证题过程中起到一个桥梁作用．

例5已知a、b、cR+，a+b+c=1,，求证：

++≤4．

证明：

引入待定正参数t，

∵t=≤（t+13a+1）①，

同理t=≤（t+13b+1）②，

t=≤（t+13c+1）③。

①+②+③得：

t（++）≤（3t+13a+13b+13c+3）=t+8．

∵t＞0，∴++≤t+．④

由于t＞0，则t+≥2=3．

当且仅当t===，即t=时，④式取等号，

将t=代入④得：

++≤4．

六、换元

通过换元，把生疏的结构转化为基本不等式形式，使证题思路自然、简捷．

例6已知a、b、c为△ABC三边的长，求证：

abc≥（a+b－c）（b+c－a）（c+a－b）．

证明：

设m=b+c－a，n=c+a－b，p=a+b－c，则由三角形两边之和大于第三边，得m＞0，n＞0，p＞0，且a=，b=，c=．

于是abc=··≥··=mnp=（a+b－c）（b+c－a）（c+a－b）．

七、配对

根据已知不等式的某一边结构，给其配上一个与之对称的代数式，然后将两个代数式联立再使用基本不等式，完成不等式的证明．

例7设a，a，…，a和b，b，…，b均为正数，且a+a+…+a=b+b+…+b，求证：

++…+≥（a+a+…+a）．

证明：

设M=++…+，

给M配对：

N=++…+．

则M－N=++…+

=（a－b）+（a－b）+…+（a－b）

=（a+a+…+a）－（b+b+…+b）=0．

∴M=N．

当注意到a+b≥（a+b）和a+a+…+a=b+b+…+b得：

M+N=++…+

≥（a+b）+（a+b）+…+（a+b）

=（a+a+…+a）+（b+b+…+b）

=a+a+…+a．

由M=N，所以++…+≥（a+a+…+a）．