浙江版版高中全程复习方略数学理课时提能训练23函数的奇偶性与周期性人教A版数学理Word格式文档下载.docx
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（C）直线y＝x成轴对称图形
（D）原点成中心对称图形
5.（预测题）若函数f（x）＝（k－1）ax－a－x（a>
0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）＝loga（x＋k）的图象是（ ）
6.（2012·
杭州模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）
（A）f（－25）<
f（11）<
f（80）
（B）f（80）<
f（－25）
（C）f（11）<
f（80）<
（D）f（－25）<
f（11）
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.（2012·
湖州模拟）设函数f（x）＝
为奇函数，则k＝ .
8.（2011·
广东高考）设函数f（x）＝x3cosx＋1，若f（a）＝11，则f（－a）＝ .
9.（2012·
台州模拟）定义在（－1,1）上的函数f（x）＝－5x＋sinx，如果f（1－a）＋f（1－a2）＞0，则实数a的取值范围是 .
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（易错题）设定义在[－2,2]上的奇函数f（x）在区间[0,2]上单调递减，若f（m）＋f（m－1）>
0，求实数m的取值范围.
11.（2012·
珠海模拟）已知函数f（x）＝a－
是偶函数，a为实常数.
（1）求b的值；
（2）当a＝1时，是否存在n>
m>
0，使得函数y＝f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值；
否则，说明理由.
（3）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m<
n），使得y＝f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围.
【探究创新】
（16分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M
D），有x＋l∈D，且f（x＋l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数.
（1）如果定义域为[－1，＋∞）的函数f（x）＝x2为[－1，＋∞）上的m高调函数，求实数m的取值范围.
（2）如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x－a2|－a2，且f（x）为R上的4高调函数，求实数a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选A.在定义域内为奇函数的为A，B，C，又y＝sinx在R上不单调，y＝x在R上为增函数，故选A.
2.【解析】选A.由已知得f（x）为以4为周期的奇函数，
∴f（7）＝f（7－8）＝f（－1）＝－f
（1），
又x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，∴f（7）＝－2×
12＝－2.
3.【解析】选A.∵函数f（x），g（x）均为奇函数，
∴f（a）＋f（－a）＝0，g（a）＋g（－a）＝0，
∴F（a）＋F（－a）＝3f（a）＋5g（a）＋2＋3f（－a）＋5g（－a）＋2＝4，
∴F（－a）＝4－F（a）＝4－b.
4.【解题指南】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性，从而利用奇偶性判断其图象的对称性.
【解析】选D.函数y＝f（x）＝lg（
－1）＝lg
，
∴函数y＝f（x）的定义域为（－1,1），
又∵f（－x）＝lg
＝－lg
＝－f（x），
∴y＝lg（
－1）为奇函数.
∴其图象关于原点成中心对称图形.
5.【解析】选A.因为f（x）＝（k－1）ax－a－x（a>
0，a≠1）为R上的奇函数，
∴f（0）＝（k－1）－1＝0，得k＝2，
∴f（x）＝ax－a－x.
又∵f（x）为R上的减函数，∴0<
a<
1.
故g（x）＝loga（x＋k）＝loga（x＋2）的图象是由y＝logax（0<
1）的图象向左平移两个单位而得到，故选A.
6.【解题指南】求解的关键是根据f（x－4）＝－f（x）探究出f（x）的对称性及周期性，然后根据其周期性、对称性，将待比较函数调节到[－2,2]上，进而利用单调性比较出其大小.
【解析】选D.∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），即－f（x－4）＝f（x），
∴f（4－x）＝f（x），所以函数图象关于x＝2对称，
且f（0）＝0，又由已知得
f（x－8）＝f（（x－4）－4）＝－f（x－4）＝f（x），
故函数是以8为周期的周期函数，
∴f（－25）＝f（－1），f（80）＝f（0），
f（11）＝f（3）＝f（4－1）＝f
（1），
由于奇函数f（x）在[0,2]上是增函数，
∴f（x）在[－2,2]上为增函数，
故f（－1）<
f（0）<
f
（1），
∴f（－25）<
f（11）.
7.【解析】∵f（x）＝
为奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），
即：
＝－
得：
（2＋k）x＝0，又x≠kπ＋
（k∈Z）时恒成立.
∴2＋k＝0，得k＝－2.
答案：
－2
8.【解析】令g（x）＝x3cosx，则f（x）＝g（x）＋1且g（x）为奇函数，
所以g（－a）＝－g（a）.
由f（a）＝11得g（a）＋1＝11，所以g（a）＝10，
f（－a）＝g（－a）＋1＝－g（a）＋1＝－10＋1＝－9.
－9
9.【解析】∵f（x）＝－5x＋sinx，∴f′（x）＝－5＋cosx，
则f′（x）＜0，故f（x）在（－1,1）上单调递减，又f（x）为奇函数，
∴不等式可化为f（1－a）＞f（a2－1），
即
，解得1＜a＜
.
（1，
）
10.【解析】由f（m）＋f（m－1）>
0，
得f（m）>
－f（m－1），
即f（1－m）<
f（m）.
又∵f（x）在[0,2]上单调递减且f（x）在[－2,2]上为奇函数，
∴f（x）在[－2,2]上为减函数，
∴
，即
解得－1≤m<
【误区警示】本题易忽视m,1－m∈[－2,2]而致误.
11.【解析】
（1）由已知，可得f（x）＝a－
的定义域为D＝（－∞，
）∪（
，＋∞）.
又y＝f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称.
于是，b＝0.
又对任意x∈D，有f（x）＝f（－x），可得b＝0.
因此所求实数b＝0.
（2）由
（1），可知f（x）＝a－
（D＝（－∞，0）∪（0，＋∞））.
观察函数f（x）＝a－
的图象，可知：
f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数，
又n>
∴y＝f（x）在区间[m，n]上是增函数.
因y＝f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n].
∴有
即方程1－
＝x，也就是2x2－2x＋1＝0有两个不相等的正根.
∵Δ＝4－8<
0，∴此方程无解.
故不存在正实数m，n满足题意.
（3）由
（1），可知f（x）＝a－
的图象，
可知：
f（x）在区间（－∞，0）上是减函数.
因y＝f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m、n同号.
①当0<
m<
n时，f（x）在区间[m，n]上是增函数，有
，即方程x＝a－
，也就是2x2－2ax＋1＝0有两个不相等的正实数根，因此
，解得a>
（此时，m、n（m<
n）取方程2x2－2ax＋1＝0的两根即可）.
②当m<
n<
0时，f（x）在区间[m，n]上是减函数，有
，化简得（m－n）a＝0，解得a＝0（此时，m、n（m<
n）的取值满足mn＝
，且m<
0即可）.
综上所述，所求实数a的取值范围是a＝0或a>
【变式备选】已知函数f（x）＝ex－e－x（x∈R且e为自然对数的底数）.
（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；
（2）是否存在实数t，使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x都成立？
若存在，求出t；
若不存在，请说明理由.
【解析】
（1）∵f（x）＝ex－（
）x，且y＝ex是增函数，
y＝－（
）x是增函数，所以f（x）是增函数.
由于f（x）的定义域为R，
且f（－x）＝e－x－ex＝－f（x），
所以f（x）是奇函数.
（2）由
（1）知f（x）是增函数和奇函数，
∴f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x∈R恒成立
f（x2－t2）≥f（t－x）对一切x∈R恒成立
x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立
t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立
（t＋
）2≤0
t＝－
即存在实数t＝－
使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x都成立.
（1）f（x）＝x2（x≥－1）的图象如图
（1）所示，要使得f（－1＋m）≥f（－1），有m≥2；
x≥－1时，恒有f（x＋2）≥f（x），故m≥2即可.所以实数m的取值范围为[2，＋∞）；
（2）由f（x）为奇函数及x≥0时的解析式知f（x）的图象如图
（2）所示，
∵f（3a2）＝a2＝f（－a2），
由f（－a2＋4）≥f（－a2）＝a2＝f（3a2），
故－a2＋4≥3a2，从而a2≤1，
又a2≤1时，恒有f（x＋4）≥f（x），故a2≤1即可.
所以实数a的取值范围为[－1,1].
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