赣豫陕学年高中数学第一章集合1第1课时集合的含义学案北师大版必修1Word格式文档下载.docx

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正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N＋或N*

Z

Q

R

1．y＝x＋1上所有点构成集合A，则点（1,2）∈A.（　√　）

2．0∈N但0∉N＋.（　√　）

3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1∉A.（　×

　）

类型一　判断给定的对象能否构成集合

例1　考察下列每组对象能否构成一个集合．

（1）不超过20的非负数；

（2）方程x2－9＝0在实数范围内的解；

（3）某班的所有高个子同学；

（4）

的近似值的全体．

考点　集合的概念

题点　集合的概念

解　

（1）对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．

（2）能构成集合．

（3）“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．

（4）“

的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．

反思与感悟　判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1　下列各组对象可以组成集合的是（　　）

A．数学必修1课本中所有的难题

B．小于8的所有素数

C．直角坐标平面内第一象限的一些点

D．所有小的正数

答案　B

解析　A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；

B能构成集合；

C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；

D中没有明确的标准，所以不能构成集合．

类型二　元素与集合的关系

命题角度1　判定元素与集合的关系

例2　给出下列关系：

①

∈R；

②

∉Q；

③|－3|∉N；

④|－

|∈Q；

⑤0∉N，其中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

考点　元素与集合的关系

题点　判断元素与集合的关系

解析　

是实数，①对；

不是有理数，②对；

|－3|＝3是自然数，③错；

|－

|＝

为无理数，④错；

0是自然数，⑤错．

故选B.

反思与感悟　要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素（涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰）；

其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．

跟踪训练2　用符号“∈”或“∉”填空．

－

______R；

－3______Q；

－1______N；

π______Z.

答案　∈　∈　∉∉

命题角度2　根据已知的元素与集合的关系推理

例3　集合A中的元素x满足

∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

题点　伴随元素问题

答案　0,1,2

解析　∵x∈N，

∈N，

∴0≤x≤2且x∈N.

当x＝0时，

＝

＝2∈N；

当x＝1时，

＝3∈N；

当x＝2时，

＝6∈N.

∴A中元素有0,1,2.

反思与感悟　判断元素和集合关系的两种方法

（1）直接法

①使用前提：

集合中的元素是直接给出的．

②判断方法：

首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．

（2）推理法

对于某些不便直接表示的集合．

首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．

跟踪训练3　已知集合A中的元素x满足2x＋a>

0，a∈R，若1∉A,2∈A，则（　　）

A．a>

－4B．a≤－2

C．－4<

a<

－2D．－4<

a≤－2

题点　由元素与集合的关系求参数的取值范围

答案　D

解析　∵1∉A，∴2×

1＋a≤0，a≤－2.

又∵2∈A，∴2×

2＋a>

0，a>

－4，

∴－4<

a≤－2.

类型三　元素的三个特性的应用

例4　已知集合A有三个元素：

a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：

0,1，x.

（1）若－3∈A，求a的值；

（2）若x2∈B，求实数x的值；

（3）是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．

题点　由元素与集合的关系求参数的值

解　

（1）由－3∈A且a2＋1≥1，

可知a－3＝－3或2a－1＝－3，

当a－3＝－3时，a＝0；

当2a－1＝－3时，a＝－1.

经检验，0与－1都符合要求．

∴a＝0或－1.

（2）当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，

但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.

（3）显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，

只可能a－3＝0或2a－1＝0.

若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．

若2a－1＝0，则a＝

，A包含的元素为0，－

，

，与集合B中元素不相同．

故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．

反思与感悟　元素的无序性主要体现在：

①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；

②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等．

元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．

跟踪训练4　已知集合M中含有三个元素：

a，

，1，集合N中含有三个元素：

a2，a＋b,0，若集合M与集合N中元素相同，求a，b的值．

解　∵集合M与集合N中元素相同．

∴

解得

或

由集合中元素的互异性，得a≠1，∴a＝－1，b＝0.

1．下列给出的对象中，能组成集合的是（　　）

A．一切很大的数

B．好心人

C．漂亮的小女孩

D．方程x2－1＝0的实数根

2．下面说法正确的是（　　）

A．所有在N中的元素都在N＋中

B．所有不在N＋中的数都在Z中

C．所有不在Q中的实数都在R中

D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中

考点　常用的数集及表示

题点　常用的数集及表示

答案　C

3．由“book中的字母”构成的集合中元素的个数为（　　）

题点　集合中元素的个数

4．下列结论不正确的是（　　）

A．0∈NB.

∈QC．0∉QD．－1∈Z

5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为（　　）

A．2B．3

C．0或3D．0,2,3均可

解析　由2∈A可知：

若m＝2，则m2－3m＋2＝0，

这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征（或标准），依此特征（或标准）能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；

如果没有，就不能构成集合．

2．元素a与集合A之间只有两种关系：

a∈A，a∉A.

3．集合中元素的三个特性

（1）确定性：

指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

（2）互异性：

集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

（3）无序性：

集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系.

一、选择题

1．已知集合A由满足x<

1的数x构成，则有（　　）

A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1∉A

解析　很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．

2．由实数x，－x，|x|，

，－

所组成的集合，最多含（　　）

A．2个元素B．3个元素

C．4个元素D．5个元素

答案　A

解析　由于|x|＝±

x，

＝|x|，－

＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．

3．下列结论中，不正确的是（　　）

A．若a∈N，则－a∉NB．若a∈Z，则a2∈Z

C．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则

∈R

解析　A不对．反例：

0∈N，－0∈N.

4．已知x，y为非零实数，代数式

＋

的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（　　）

A．0∉MB．1∈M

C．－2∉MD．2∈M

解析　①当x，y为正数时，代数式

的值为2；

②当x，y为一正一负时，代数式

的值为0；

③当x，y均为负数时，代数式

的值为－2，

所以集合M的元素共有3个：

－2,0,2，故选D.

5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

考点　集合中元素的特征

题点　集合中参数的取值范围

解析　由元素的互异性知a，b，c均不相等．

6．已知A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是（　　）

A．－1∉AB．－11∈A

C．3k2－1∈AD．－34∉A

解析　令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.

令3k－1＝－11，解得k＝－

∉Z，∴－11∉A；

∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.

令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.

二、填空题

7．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．

答案　1

解析　易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．

8．下列所给关系正确的个数是________．

①π∈R；

③0∈N＋；

④|－4|∉N＋.

答案　2

解析　∵π是实数，

是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.

9．如果有一个集合含有三个元素：

1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．

答案　x≠0,1,2，

解析　由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，

.

10．已知集合P中元素x满足：

x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.

答案　6

解析　∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝6.

三、解答题

11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．

解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

∴a＝－1或a＝－

当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．

当a＝－

时，a－2＝－

，2a2＋5a＝－3，满足题意．

∴实数a的值为－

12．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.若a∈A，试求实数a的值．

解　因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.

当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；

当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，

符合题意．

综上所述，满足题意的实数a的值为1.

13．数集A满足条件：

若a∈A，则

∈A（a≠1）．

（1）若2∈A，试求出A中其他所有元素；

（2）自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；

（3）从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？

并大胆证明你发现的“道理”．

解　

（1）2∈A，则

∈A，即－1∈A，则

∈A，

即

∈A，则

∈A，即2∈A，

所以A中其他所有元素为－1，

（2）如：

若3∈A，则A中其他所有元素为－

（3）分析以上结果可以得出：

A中只能有3个元素，

它们分别是a，

（a≠0，且a≠1），且三个数的乘积为－1.

证明如下：

若a∈A，a≠1，则有

∈A且

≠1，

所以又有

进而有

＝a∈A.

又因为a≠

（因为若a＝

，则a2－a＋1＝0，

而方程a2－a＋1＝0无解），

同理

≠

，a≠

又因为a·

·

＝－1，

所以A中只能有3个元素，它们分别是a，

（a≠0，且a≠1），

且三个数的乘积为－1.

四、探究与拓展

14．已知集合A中有3个元素a，b，c，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．

题点　根据新定义求集合

答案　1,2

解析　由题意知

∴集合A＝{0,1,2}，则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．

15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2（m，n∈Z），求证：

（1）3∈A；

（2）偶数4k－2（k∈Z）不属于集合A.

证明　

（1）令m＝2∈Z，n＝1∈Z，

得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.

（2）假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝（m＋n）（m－n）成立．

①当m，n为同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，

所以（m＋n）（m－n）为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．

②当m，n为一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，

所以（m＋n）（m－n）为奇数，与4k－2是偶数矛盾．

所以假设不成立．

综上，4k－2∉A.