高中数学必修1B集合.docx
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高中数学必修1B集合
2019-2020年高中数学必修1(B)集合
一.课标要求:
1.集合的含义与表示
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义;
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二.命题走向
有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主,分值5分。
预测xx年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。
具体题型估计为:
(1)题型是1个选择题或1个填空题;
(2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三.要点精讲
1.集合:
某些指定的对象集在一起成为集合。
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作;若b不是集合A的元素,记作;
(2)集合中的元素必须满足:
确定性、互异性与无序性;
确定性:
设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:
一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;
无序性:
集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:
把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N*或N+;
整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作R。
2.集合的包含关系:
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或);
集合相等:
构成两个集合的元素完全一样。
若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作AB;
(2)简单性质:
1)AA;2)A;3)若AB,BC,则AC;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);
3.全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
(2)若S是一个集合,AS,则,=称S中子集A的补集;
(3)简单性质:
1)()=A;2)S=,=S。
4.交集与并集:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集。
交集
。
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。
。
注意:
求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
5.集合的简单性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
;
(5)(A∩B)=(A)∪(B),(A∪B)=(A)∩(B)。
四.典例解析
题型1:
集合的概念
例1.设集合
,若,则下列关系正确的是()
A.B.C.D.
解:
由于中只能取到所有的奇数,而中18为偶数。
则。
选项为D;
点评:
该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。
首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系,而集合之间是包含与不包含的关系。
例2.设集合P={m|-1<m≤0,Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,则下列关系中成立的是()
A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q
解:
Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立=,对m分类:
①m=0时,-4<0恒成立;
②m<0时,需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得m<0。
综合①②知m≤0,
∴Q={m∈R|m≤0}。
答案为A。
点评:
该题考察了集合间的关系,同时考察了分类讨论的思想。
集合中含有参数m,需要对参数进行分类讨论,不能忽略m=0的情况。
题型2:
集合的性质
例3.(xx广东,1)已知集合A={1,2,3,4},那么A的真子集的个数是()
A.15B.16C.3D.4
解:
根据子集的计算应有24-1=15(个)。
选项为A;
点评:
该题考察集合子集个数公式。
注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。
同时,A不是A的真子集。
变式题:
同时满足条件:
①②若,这样的集合M有多少个,举出这些集合来。
答案:
这样的集合M有8个。
例4.已知全集,A={1,}如果,则这样的实数是否存在?
若存在,求出,若不存在,说明理由。
解:
∵;
∴,即=0,解得
当时,,为A中元素;
当时,
当时,
∴这样的实数x存在,是或。
另法:
∵
∴,
∴=0且
∴或。
点评:
该题考察了集合间的关系以及集合的性质。
分类讨论的过程中“当时,”不能满足集合中元素的互异性。
此题的关键是理解符号是两层含义:
。
变式题:
已知集合
,,,求的值。
解:
由可知,
(1),或
(2)
解
(1)得,
解
(2)得,
又因为当时,与题意不符,
所以,。
题型3:
集合的运算
例5.(06全国Ⅱ理,2)已知集合M={x|x<3,N={x|log2x>1},则M∩N=()
A.B.{x|0<x<3C.{x|1<x<3D.{x|2<x<3
解:
由对数函数的性质,且2>1,显然由易得。
从而。
故选项为D。
点评:
该题考察了不等式和集合交运算。
例6.(06安徽理,1)设集合,
,则等于()
A.B.C.D.
解:
,,所以,故选B。
点评:
该题考察了集合的交、补运算。
题型4:
图解法解集合问题
例7.(xx上海春,5)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且AB,则实数a
的取值范围是_____。
解:
∵A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又AB,利用数轴上覆盖关系:
如图所示,因此有a≤-2。
点评:
本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。
例8.(1996全国理,1)已知全集I=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N},则()
A.I=A∪BB.I=(A)∪B
C.I=A∪(B)D.I=(A)∪(B)
解:
方法一:
A中元素是非2的倍数的自然数,B中元素是非4的倍数的自然数,显然,只有C选项正确.
方法二:
因A={2,4,6,8…},B={4,8,12,16,…},所以B={1,2,3,5,6,7,9…},所以I=A∪B,故答案为C.
方法三:
因BA,所以()A()B,()A∩(B)=A,故I=A∪(A)=A∪(B)。
方法四:
根据题意,我们画出Venn图来解,易知BA,如图:
可以清楚看到I=A∪(B)是成立的。
点评:
本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无限集考查,提高了对逻辑思维能力的要求。
题型5:
集合的应用
例9.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。
问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
解:
赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x。
依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21。
所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人。
点评:
在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握。
本题主要强化学生的这种能力。
解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来。
本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索。
画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。
例10.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?
解:
如图先画出Venn图,不难看出不符合条件
的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)
-(200÷10)-(200÷6)-(200÷15)
+(200÷30)=146
所以,符合条件的数共有200-146=54(个)
点评:
分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。
题型7:
集合综合题
例11.(xx上海,17)设集合A={x||x-a|<2},B={x|<1},若AB,求实数a的取值范围。
解:
由|x-a|<2,得a-2由<1,得<0,即-2因为AB,所以,于是0≤a≤1。
点评:
这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。
主要考查集合的概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。
在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
例12.已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2-y2=1,x,y∈R}。
试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明:
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;
(2)A∩B至多有一个元素;
(3)当a1≠0时,一定有A∩B≠。
解:
(1)正确;在等差数列{an}中,Sn=,则(a1+an),这表明点(an,)的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an,)均在直线y=x+a1上。
(2)正确;设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组
的解,由方程组消去y得:
2a1x+a12=-4(*),
当a1=0时,方程(*)无解,此时A∩B=;
当a1≠0时,方程(*)只有一个解x=,此时,方程组也只有一解
故上述方程组至多有一解。
∴A∩B至多有一个元素。
(3)不正确;取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0,>0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1≠0如果A∩B≠,那么据
(2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=<0,y0=<0,这样的(x0,y0)A,产生矛盾,故a1=1,d=1时A∩B=,所以a1≠0时,一定有A∩B≠是不正确的。
点评:
该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题。
变式题:
解答下述问题:
(Ⅰ)设集合
,,求实数m的取值范围.
分析:
关键是准确理解的具体意义,首先要从数学意义上解释的意义,然后才能提出解决问题的具体方法。
解:
的取值范围是UM={m|m<-2}.
(解法三)设这是开口向上的抛物线,,则二次函数性质知命题又等价于
注意,在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单。
(Ⅱ)已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},
、B.
分析:
命题中的集合是列举法给出的,只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决,注意“正整数”这个条件的运用,
(Ⅲ)
分析:
正确理解
要使
由
当k=0时,方程有解,不合题意;
当
①
又由
由
②,
由①、②得
∵b为自然数,∴b=2,代入①、②得k=1
点评:
这是一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容,才能由此寻求解决的方法。
题型6:
课标创新题
例13.七名学生排成一排,甲不站在最左端和最右端的两个位置之一,乙、丙都不能站在正中间的位置,则有多少不同的排法?
解:
设集合A={甲站在最左端的位置},
B={甲站在最右端的位置},
C={乙站在正中间的位置},
D={丙站在正中间的位置},
则集合A、B、C、D的关系如图所示,
∴不同的排法有种.
点评:
这是一道排列应用问题,如果直接分类、分步解答需要一定的基本功,容易错,若考虑运用集合思想解答,则比较容易理解。
上面的例子说明了集合思想的一些应用,在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。
例14.A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合:
①对任意,都有;②存在常数,使得对任意的,都有
(1)设,证明:
(2)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;
(3)设,任取,令证明:
给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式
。
解:
对任意,
,,所以
对任意的,
,
,
所以0<
令
=,
,
所以
反证法:
设存在两个使得,。
则由
,
得,所以,矛盾,故结论成立。
,
所以
+…
。
点评:
函数的概念是在集合理论上发展起来的,而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中,题目比较新颖。
五.思维总结
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问题,运用集合观点去研究和解决数学问题。
1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如、、、、=、A、∪,∩等等;
2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性研究问题,注意运用Venn图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或求解),一般应考虑先化简(或求解);
3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2};
②AB时,A有两种情况:
A=φ与A≠φ。
③若集合A中有n个元素,则集合A的所有不同的子集个数为,所有真子集的个数是-1,所有非空真子集的个数是。
④区分集合中元素的形式:
如;
;
;
;
;
;
。
⑤空集是指不含任何元素的集合。
、和的区别;0与三者间的关系。
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况。
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关系;符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和研究问题不可缺少的工具,是为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力。
2019-2020年高中数学必修1(B)集合的运算
(一)
教学目标:
理解两个集合的交集的含义,会求两个集合的交集
教学重、难点:
会求两个集合的交集
教学过程:
(一)复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念。
(二)讲述新课
一、
1、观察下面两个图的阴影部分,它们同集合A、集合B有什么关系?
B
A
2、考察集合A={1,2,3},B={2,3,4}与集合C={2,3}之间的关系.
二、
一般地,由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作"A交B"),
即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
如:
{1,2,3,6}∩{1,2,5,10}={1,2}.
又如:
A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.则A∩B={c,d,e}
三、基本性质
A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩Ф=Ф;A∩B=AAB
注:
是否给出证明应根据学生的基础而定.
四、补充例子
例1.设A={x|x>-2},B={x|x<3},求A∩B.
解:
A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2例2.设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A∩B.
解:
A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}={x|x是等腰直角三角形}.
例3、已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N为()
A.x=3,y=-1B.(3,-1)
C.{3,-1}D.{(3,-1)}
分析:
由已知得M∩N={(x,y)|x+y=2,且x-y=4}={(3,-1)}.
也可采用筛选法.首先,易知A、B不正确,因为它们都不是集合符号.又集合M,N的元素都是数组(x,y),所以C也不正确.
注:
求两集合的交集即求同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合.本题中就是求方程组的解组成的集合.另外要弄清集合中元素的一般形式.
小结:
本节课我们学习了交集的概念、和基本性质
课后作业:
(略)