版高中数学人教B版必修二学案第一单元 114 投影与直观图 Word版含答案Word格式文档下载.docx

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AD与A′D′呢？

思考2　正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？

梳理　直观图与斜二测画法

（1）直观图

用来表示空间图形的________________．

（2）斜二测画法的规则

①在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使∠xOz＝________，且∠yOz＝________.

②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝________，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．

③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于________、________或________的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系________．

④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中____________，平行于y轴的线段，长度为________．

⑤画图完成后，擦去作为辅助线的____________，就得到了空间图形的直观图．

知识点三　中心投影

思考　不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？

灯泡照射物体形成的投影是平行投影吗？

梳理　中心投影的概念

一个________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．

类型一　平行投影与中心投影

例1　

（1）①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；

②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；

③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

（2）如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的是________．（填序号）

①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；

②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；

③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．

反思与感悟　常见图形的平行投影

图形

图形的平行投影

点

是一个点

线段

是线段或一个点

线段的中点

仍是这条线段投影的中点

直线

是直线或一个点

平行直线

是平行直线、一条直线或是两个点

跟踪训练1　

（1）已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC的关系是（　　）

A．全等B．相似

C．不相似D．以上都不对

（2）下列命题中，不正确的是（　　）

①正方形的平行投影一定是菱形；

②平行四边形的平行投影可能是矩形；

③锐角三角形的平行投影一定不是直角或钝角三角形．

A．①②B．①③

C．②③D．①②③

类型二　直观图的画法

例2　画出如图水平放置的直角梯形的直观图．

引申探究

若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？

反思与感悟　

（1）本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．

（2）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

跟踪训练2　

（1）用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图．

（2）画一个正四棱锥的直观图（尺寸自定）．

类型三　直观图的还原与计算

例3　如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．

反思与感悟　由直观图还原平面图形的关键

（1）平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．

（2）对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．

跟踪训练3　如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是________．

例4　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝

C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．

反思与感悟　

（1）由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°

角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．

（2）若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝

S.

跟踪训练4　如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是（　　）

A.

B.

C.

D．2

1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是（　　）

A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段

B．平行直线的平行投影仍是平行的直线

C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等

D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比

2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为（　　）

A．16B．64

C．16或64D．无法确定

3．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的（　　）

4.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．

5．画出水平放置的四边形OBCD（如图所示）的直观图．

1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．

2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：

“一斜”、“二测”两点：

（1）一斜：

平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°

或135°

.

（2）二测：

在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．

3．中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致．若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　框边的平行性没有改变，平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没有改变．

梳理　

（1）平行　平行投影　平行投影

（2）①直线　线段　②平行　重合

③平行　等长　④全等　⑤等于

知识点二

思考1　A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝

AD.

思考2　没有都画成正方形．

梳理　

（1）平面图形　

（2）①90°

　90°

②45°

（或135°

）　90°

③x′轴　y′轴　z′轴　相同

④保持长度不变　原来的

⑤坐标轴

知识点三

思考　灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的；

手电筒发出的光是一束平行光线．不是．

梳理　点光源

题型探究

例1　D　[由平行投影和中心投影的定义知，平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故①正确；

空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，故②正确；

几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式，故③正确．故选D.]

（2）①③

解析　①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是B，C，D，A，所以投影是正方形，即①正确；

②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，连接AG，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，知四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝

，所以四边形AGD′E不是菱形，即②不正确；

对于③，由②可知两个投影四边形是对边分别相等的平行四边形，从而③正确．

跟踪训练1　

（1）B　[根据题意画出图形如图．

由图易得

＝

，则△ABC∽△A′B′C′.]

（2）B　[正方形的平行投影可以是矩形或平行四边形或菱形，故①错；

平行四边形的平行投影可以是矩形、菱形、正方形，故②正确；

锐角三角形的平行投影可以是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形或线段，故③错．故选B.]

例2　解　

（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°

，如图

（1）

（2）所示．

（2）在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝

OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图

（2）．

（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图（3）．

解　画法：

（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°

（2）以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝

OE，

以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.

（3）连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．

跟踪训练2　

（1）解　①如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．

②画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°

在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝

OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

（2）解　①画轴．如图

（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°

），∠xOz＝90°

②画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.

③画顶点．在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高．

④画棱．连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线（坐标轴），得到正四棱锥S－ABCD的直观图，如图

（2）所示．

例3　解　①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；

②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；

③连接AB，BC，得△ABC.

则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．

跟踪训练3　菱形

解析　如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×

2

＝4

（cm），CD＝C′D′＝2（cm），∴OC＝

＝6（cm），

∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．

例4　解　如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.

在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.

在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.

连接BC，即得到了原图形．

由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，

所以面积为S＝

×

2＝5.

跟踪训练4　C　[直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为

，又直观图与原平面图形面积比为

∶4，所以原图形的面积为

，故选C.]

当堂训练

1．B　2.C　3.C

4．10

解析　在原图中，AC＝6，BC＝4×

2＝8，∠AOB＝90°

，

∴AB＝

＝10.

5．解　

（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°

，如图②所示．

（2）如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，

使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；

在y′轴上取一点D，

使得O′D′＝

OD；

过E′作E′C′∥y′轴，

使E′C′＝

EC.

连接D′C，B′C′.

（3）擦去坐标轴及B′E′，E′C′，则所求四边形OBCD的直观图如图③所示．