北京中考专题复习几何综合.docx

北京中考专题复习几何综合.docx

《北京中考专题复习几何综合.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京中考专题复习几何综合.docx（23页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

北京中考专题复习几何综合

几何综合

知识框架

几何综合题型一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直

角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基

本量之间的数量关系的探究过程。

涉及初中数学九大几何模型：

1、中点类辅助线

2、角平分线、垂直平分线类辅助线

3、相似模型

4、旋转之手拉手模型

5、旋转之对角互补模型

6、旋转之半角模型

7、旋转之构造等边三角形

8、旋转之费马点模型

9、最短距离问题

解题思路：

从复杂的图形中“抽”出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应

用相关几何模型，找到解题思路。

知识梳理

见中点---倍长中线：

凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以

旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

在△ABC中,AD是BC边中线。

方式1：

直接倍长，（图1）：

延长AD到E，使DE=AD，连接BE

长BE交AC于F，求证：

AF=EF

例：

已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延

方式2：

间接倍长

1）（图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E,连接BE

2）（图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD

如图：

AD∥BE，F为DE中点。

可构造8字全等△ADF≌△HEF

例：

如图，在矩形ABCD中，BD=BE，F为DE中点。

试探究AF与CF之间的

位置关系。

ABCD中，BC=2AB，M为AD中点，CE⊥AB

求证：

∠EMD=3∠MEA。

见多个中点构造中位线：

已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；

已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线；

已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.

例：

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD

EF的延长线G、H。

求证：

∠BGE∠=CHE。

连接顶点与中点，构造三线合一

：

直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍

Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD，从

角平分线、垂直平分线类辅助线

角平分线：

a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的题目辅助线的作法，一般有四种。

1由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，利用角平分线性质。

2以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形。

3当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边

相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”

4

过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平

垂直平分线：

a、对称性；b、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

例：

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，作AD的垂直平分线EF

交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H

1）依题意补全图形

2）求证：

∠BAD=∠BFG

3）试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明

你的态度决定你的能力

平行A字型、8字型：

相似模型

几何综合·专题精讲

Page5of25

斜交A字型、8字型：

共享型（母子型）

双共享型：

双A字型：

旋转之手拉手模型手拉手全等

特点：

由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点

结论：

（1）△ABC≌△AB’C’

（2）∠BOB’=∠BAB’（3）OA平分∠BOC’

例：

如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，

AGBDFB

EGBCFB

BH平分AHC

GF//AC

手拉手相似

特点：

由两个相似三角形所组成，并且一组等角的顶点为公共顶点

结论：

（1）△AOC∽△BOD

（2）∠AEB=∠AOB

例：

如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CE、AG,二者相交于点H。

求：

（1）AG=CE

（2）AG与CE之间的夹角为多少度？

（3）HD平分∠AHE

旋转之对角互补模型

条件】：

①∠AOB∠=DCE=9°；②0OC平分∠AOB

1

：

①

CD=C；②EOD+OE=2OC；③S△DCES△OCDS△OCEOC2

△△△

当∠DCE的一边交AO的延长线于D时：

1

CD=C；②EOE-OD=2OC；③S△OCES△OCD1OC2

△△

：

①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB

：

①CD=CE；②OD+OE=OC；③S△DCES△OCDS△OCE3OC2

4

对角互补模型总结：

①常见初始条件：

四边形对角互补，注意两点：

四点共圆有直角三角形斜边中线；

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③注意OC平分∠AOB时，

CDE∠=CED∠=COA∠=COB如何引导？

旋转之半角模型

角含半角要旋转：

构造两次全等

【条件】：

①正方形ABCD；②∠EAF=45°；

【结论】：

①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；

也可以这样：

【条件】：

①正方形ABCD；②EF=DF+BE；

【结论】：

①∠EAF=45°；

：

①正方形ABCD；②∠EAF=45

：

①EF=DF-BE；

若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论BD2CE2DE2仍然成立

旋转之构造等边三角形

等边三角形是一个具有丰富性质的完美图形,这些性质为我们解几何题提供

所以寻找、发现等边三角形是解一些几何题的关键.

例：

在四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，∠ADC=30

222

证明：

ADCDBD。

分析：

待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将AD、CD（作

为直角边）和BD（作为斜边）集中到一个直角三角形中。

例:

如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE

相交于点F

（1）∠BFE的度数是

（2）如果AD1，那么AF

AC2BF

（3）如果AD1时，请用含n的式子表示AF，BF的数量

ACn

关系，并证明

例:

如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD

交于点F

（1）求∠AFB的度数

2）求证：

BF=EF

3）连接CF，直接用等式表示线段

AB，CF，EF的数量关系

旋转之费马点模型

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、

B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都

只有一个.

问题：

如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

图文解析：

如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．

则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，

PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．

点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得到

BA′为定长。

B、P、P′、A′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小。

APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，

BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，

APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.

因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角

都是120°，所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.当有一内角大于或等于

120°时，所求的P点就是钝角的顶点．

费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题

的方法是运用旋转变换．

例：

四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含

B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转600得到BN，连接EN、AM、

CM.

1）求证:

△AMB≌△ENB；

2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

最短距离问题

三角形两边之和大于第三边型

1.直线l和l的异侧两点A、

B，在直线l上求作一点P，

2.直线l和l的同侧两点

PA+PB最小。

3.点P是∠MON内的一点，分别在

使△PAB的周长最小。

两点之间的距离线段最短型

A、B，在直线l上求作一点P，使

OM，ON上作点A，B。

使PA+PB最小。

4.点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形PAQB

的周长最小。

点到直线的距离垂线段最短型

5..如图，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线

ON的距离之和最小。

典例精讲

【2018西城期末】如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点C

在线段OB上，OC=2BC，AO边上的一点D满足∠OCD=30°．将△OCD绕点

O逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OCD，C，D两点的对应点分别为

点C，D，连接AC，BD，取

（1）如图2，当CD∥AB时，

几何综合·专题精讲

AC的中点M，连接OM．

α=°，此时OM和BD之间的位置关系

Page15of25

2）画图探究线段OM和BD之间的位置关系和数量关系，并加以证明．

2018海淀期末】在△ABC中，∠A90°，ABAC．

（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB2QA”

是否正确：

（填“是”或“否”）；

2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB2PA．

①如图2，点P在△ABC内，∠ABP30°，求∠PAB的大小；

②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APCα，∠BPCβ，用等式表

1图2图3

2018昌平期末】已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的

.

（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画

出旋转后的图形；

（2）延长AD交BE于点F，求证：

AF⊥BE；

（3）若AC=5，BF=1，连接CF，则CF的长度为.

备用图

【2018丰台期末】如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶

点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA

E，F，连接AC.

1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：

AE=AF；

2018门头沟期末】如图27-1有两条长度相等的相交线段AB、CD，它们相交

60°，为了探究AD、CB与CD（或AB）之间的关系，小

亮进行了如下尝试：

1）在其他条件不变的情况下使得AD∥BC，如图27-2，将线段AB沿AD方

向平移AD的长度，得到线段DE,然后联结BE,进而利用所学知识得到AD、

CB与CD（或AB）之间的关系：

；（直接写出结果）

2）根据小亮的经验，请对图27-1的情况（AD与CB不平行）进行尝试，写

出AD、CB与CD（或AB）之间的关系，并进行证明；

图27-1图27-2

3）综合

（1）、

（2）的证明结果，请写出完整的结论:

_

【2018怀柔期末】在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到

BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P.

（1）依题意补全图形；

（2）若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；

（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之

间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关

系.

【2018平谷期末】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取

一点D，连结AD（AD

AE，连结DE，CE，BD．

（1）请根据题意补全图1；

（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；

（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，

AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．

备用图

2018通州期末】如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC边

G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点.小瑞分别用不同的

方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示.那么，图2中四边形GKLH的面

积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？

在图2中，小瑞发现，SGKLH__SABCD；

在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下.请你将小瑞的思路填写完整：

设S△DEPa，S△AKGb

EC∥AF

△DEP∽△DAK，且相似比为1:

2，得到S△DAK4a

GD∥BI

△AGK∽△ABM，且相似比为1:

3，得到S△ABM9b

11

又∵S△DAG4abSABCD，S△ABF9baSABCD

64

SABCD24a6b36b4a

ABCD

b，S

ABCD

b，SKPOL

SKPOL

SABCD，则SKPOL

SGKLH（填写

”，“

”或“

2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点.则

SANML

SABCD.