等差数列前N项和的公式.ppt

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（1）等差数列的通项公式:

已知首项a1和公差d,则有:

an=a1+（n-1）d已知第m项am和公差d,则有:

an=am+（n-m）d,d=（an-am）/（n-m）

（2）等差数列的性质:

在等差数列an中,如果m+n=p+q（m,n,p,qN）,那么:

an+am=ap+aq,返回,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

下一页,探究发现,问题1：

图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。

通过前后比较得出认识：

高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。

有无简单的方法？

下一页,探究发现,问题1：

图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：

把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。

下一页,探究发现,问题1：

图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

获得算法：

下一页,问题2,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是求“1+2+3+4+100=？

”,下一页,问题2：

对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。

（你知道应如何算吗？

）,这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，n，的前100项的和。

100个101,高斯,下一页,问题3:

求:

1+2+3+4+n=?

记:

S=1+2+3+（n-2）+（n-1）+n,S=n+（n-1）+（n-2）+3+2+1,下一页,设等差数列a1,a2,a3,它的前n项和是Sn=a1+a2+an-1+an

（1）若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1

（2）由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由

（1）+

（2）得2sn=（a1+an）+（a1+an）+（a1+an）+.即Sn=n（a1+an）/2,下面将对等差数列的前n项和公式进行推导,下一页,即前n项的和与首项末项及项数有关,若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？

因为an=a1+（n-1）d所以Sn=na1+n（n-1）d/2,下一页,下一页,由此得到等差数列的an前n项和的公式,即：

等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。

上面的公式又可以写成,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

正所谓：

知三求二,下一页,【说明】,推导等差数列的前n项和公式的方法叫；,an为等差数列，这是一个关于的没有的“”,倒序相加法,Sn=an2+bn,n,常数项,二次函数,（注意a还可以是0）,等差数列前n项和公式补充知识,下一页,【公式记忆】,用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.,等差数列的前n项和公式类同于；,梯形的面积公式,n,返回,例1某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：

m）是：

8000,8500,9000,9500,10000,10500这位运动员7天共跑了多少米？

解：

这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为an,其中a1=7500,a7=10500.,根据等差数列前n项和公式，得,答：

这位长跑运动员7天共跑了63000m.,下一页,例2等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？

本题实质是反用公式，解一个关于n的一元二次函数，注意得到的项数n必须是正整数.,下一页,解：

将题中的等差数列记为an，sn代表该数列的前n项和，则有a1=10,d=6（10）=4,根据等差数列前n项和公式：

解得n1=9,n=3（舍去）,因此等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.,设该数列前n项和为54,下一页,例3求集合M=m|m=7n,n是正整数,且m100的元素个数,并求这些元素的和.,解:

由7n100得n1007,由于满足它的正整数n共有14个,集合M中的元素共有14个.即,7,14,21,91,98.,这是一个等差数列,各项的和是,答:

集合M中的元素共有14个,它们的和为735.,=735,返回,1.推导等差数列前n项和公式的方法,小结：

2.公式的应用中的数学思想.,-倒序相加法,-方程思想,3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知其中三个量，可以求其余两个,-知三求二,下一页,作业:

课本P118:

习题3.3第七题第九题,下一页,返回,