初中数学精品资料暑假专题生活中的几何问题.docx

初中数学精品资料暑假专题生活中的几何问题.docx

《初中数学精品资料暑假专题生活中的几何问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学精品资料暑假专题生活中的几何问题.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

初中数学精品资料暑假专题生活中的几何问题

chu

年级

初一

学科

数学

版本

人教新课标版

课程标题

暑假专题——生活中的几何问题

编稿老师

巩建兵

一校

林卉

二校

张琦锋

审核

王百玲

一、学习目标：

1.理解垂线、垂线段、平行线的概念，了解垂线段最短的性质、平行公理及其推论，掌握平行线的性质和判定方法．

2.会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，了解三角形的稳定性，了解三角形的高、中线、角平分线的性质．

3.了解多边形的有关概念，能够进行简单的镶嵌设计．

二、重点、难点：

重点：

掌握相交线和平行线、三角形、多边形的有关性质，能够解决与之有关的实际应用问题．

难点：

利用三角形的中线的性质解决有关三角形的面积问题．

三、考点分析：

本讲知识较为零散，在中考的应用型试题中主要考查垂线的性质、平行线的性质、三角形的稳定性，利用三角形的等积公式求线段的长、镶嵌等，常见题型有填空题、选择题和解答题，一般占3～5分，难度不大．

1.相交线和平行线

在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：

相交与平行．

（1）几种关系特殊的角的性质

①两条直线相交，对顶角相等．

②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．

（2）垂线的性质

①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

（3）平行公理

①平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

②推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

（4）平行线的判定

①同位角相等，两直线平行．

②内错角相等，两直线平行．

③同旁内角互补，两直线平行．

2.三角形

（1）与三角形有关的线段

①三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．

②三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分．

③三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．

（2）与三角形有关的角

①三角形的内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°．

②三角形的外角和是360°．

③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

3、多边形及镶嵌

（1）n边形的内角和公式：

（n－2）·180°．多边形的外角和是360°．

（2）多边形镶嵌需要满足两个条件：

①拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；②相邻的多边形有公共边．

知识点一：

相交线和平行线

例1.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？

画出图来，并说明原因．

思路分析：

1）题意分析：

联系实际，开沟时为使沟最短，应根据“垂线段最短”解题．

2）解题思路：

过点C作CD⊥AB于D，CD为开沟的位置．

解答过程：

过点C作CD⊥AB于D，所以在点D处沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到这条直线上所有各点的连线中，垂线段最短．

解题后的思考：

在解决实际问题时，应先将实际问题转化为“数学模型”，“如何开沟，使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最常见的垂线的性质的应用．

例2.有一条输电线路横穿AB两村而过，A村和B村商量，准备在这条电路上合资安装一台变压器．现在的问题是：

这台变压器在这条电路的哪个点上安装，才可使得A村跟B村尽可能地节约成本（两村到变压器之间的路线最短）？

思路分析：

1）题意分析：

A村的人想将变压器安装在C点，B村的人想把变压器安装在D点，理由是离各自的村子近（从直线外一点到这条直线上所有各点的连线中，垂线段最短），现在的问题是要使这台变压器到A、B两村的距离之和最小．

2）解题思路：

要使A村到变压器的距离与B村到变压器的距离之和最小，必须让变压器安装在通过A、B两村的直线与输电线路的交点处．

解答过程：

连接AB交CD于点O，因为两点之间的连线中（包括线段、折线和曲线），只有线段最短，如图所示，ACB和ADB是连接点A、B两点的两条折线，而AOB是连接A、B两点的线段，所以变压器安装在O点处最为合理．

解题后的思考：

此题还可以运用三角形的三边关系进行论证，在CD上任取一异于点O的点O’，连接AO’、BO’，在△AO’B中，AO’＋BO’＞AB，即AO’＋BO’＞AO＋BO．所以点O是使AO＋BO最短的点．

例3.如图所示，EF表示一块平面镜，光线由AO方向投射到镜面上的O点，再由OB方向反射出来，如果OC⊥EF，那么根据物理学上的“反射角等于入射角”定律，知道∠AOC＝∠BOC，但我们也可以说∠AOE＝∠BOF，这是什么道理？

如果光线由CO方向投射，反射光线的方向如何？

思路分析：

1）题意分析：

这是一道与物理学有关的综合型问题，解题时应注意理解“反射角等于入射角”定律．

2）解题思路：

因为OC⊥EF，所以∠EOC＝∠FOC＝90°，又因为∠AOC＝∠BOC，所以根据等角的余角相等，可得∠AOE＝∠BOF，如果光线由CO方向投射，根据“反射角等于入射角”定律，入射角为0度，那么反射角也为0度，故反射光线按OC方向反射．

解答过程：

因为OC⊥EF（已知），所以∠EOC＝∠FOC＝90°（垂直定义）．又因为∠AOC＝∠BOC（已知），所以∠EOC－∠AOC＝∠FOC－∠BOC（等式性质），即∠AOE＝∠BOF．如果光线由CO方向投射，根据“反射角等于入射角”定律，入射角为0度，那么反射角也为0度，故反射光线按OC方向反射．

解题后的思考：

这类题常将几何学中的相交线和平行线与物理学中的光学知识相结合，解答时，既要熟悉物理学原理，又要善于将其转化为几何问题．

例4.解放战争时期，有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东行进，此时有一支残匪在游击队的东北方向B点处（如图所示），残匪沿北偏东60°角方向，向C村进发．游击队步行到A’点处，A’点正好在B的正南方向上，突然接到上级命令，决定改变行进方向，沿北偏东30°角方向赶往C村．问游击队行进方向A’C与残匪行进方向BC的夹角至少为多大时，才能保证C村村民不受伤害？

思路分析：

1）题意分析：

这是一道方位角的问题，注意正确画图，准确描出点的位置．

2）解题思路：

如图可知A’C与BC的夹角的最小值是∠BCA’．解本题的关键是作辅助线，延长A’B到D，过C作CE∥A’D，通过平行线的特征来求解．

解答过程：

根据题意，∠DBC＝60°，∠BA’C＝30°．过点C作CE∥A’B，则∠BCE＝∠DBC＝60°，∠A’CE＝∠BA’C＝30°．所以∠BCA’＝∠BCE－∠A’CE＝60°－30°＝30°．即A’C与BC的夹角至少为30°时才能保证C村村民不受伤害．

解题后的思考：

本题较综合地运用了角、方位角、平行线的有关知识．解答这类题时，应先确定中心点、画出方向标，再连接中心点与目标点的方向线，最后转化为角的问题加以解决．

小结：

相交线和平行线在解决实际问题时主要应用垂线的性质和平行线的性质，一般难度不大，只要能将实际问题转化成数学问题，都不难解决．

知识点二：

三角形

例5.如图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而成的，它的形状不稳定．如果用在木条交叉点处打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加（）个螺栓．

A.1B.2C.3D.4

思路分析：

1）题意分析：

这个五角星的五个角上均装有螺栓，但可以转动，五根木条的交叉点处没有连接，可以自由移动，本题要求在交叉点处打孔加装螺栓使其形状稳定．

2）解题思路：

将其转化为若干个三角形，它的形状就是稳定的．五个交叉点全部加装螺栓，其形状一定是稳定的．加装一个螺栓情况会怎样呢？

如图所示，在点F处加装一个螺栓，则△EFC是稳定的，从而点A和点B相对于点F来说也是固定的，或者说△ABF是稳定的．在△ABD中AD和BD的长度固定，从而△ABD也是稳定的．所以整个五角星也是稳定的．

解答过程：

选A．加装一个螺栓可以把五角星转化成三个三角形，所以在交叉点处至少添加一个螺栓就可以使其形状稳定．

解题后的思考：

因为三角形具有稳定性，所以必须把五根木条或木条的一部分转化为三角形的边．本题理解起来比较复杂，好在交叉点只有5个，可以采取逐个分析的方式来解决．

例6.小亮要制作一个三角形铁丝架，现有两根铁丝，长度分别是3cm、5cm．

（1）小亮将如何选用第三根铁丝？

能确定它的长度吗？

能确定它的长度范围吗？

（2）如要求第三根铁丝的长度是整数，小亮有几种选择？

思路分析：

1）题意分析：

充分结合三角形的三边关系来确定第三边的范围．

2）解题思路：

先根据三角形的三边关系确定第三边的范围，再在这个范围内找出可取的整数．

解答过程：

（1）不能确定其长度，但可以确定它的取值范围．

设第三边长为acm，则有5－3＜a＜5＋3，

即2＜a＜8．

所以第三根铁丝的长度在2cm和8cm之间．

（2）在2＜a＜8中是整数的有3、4、5、6、7．

故小亮共有5种选择．

解题后的思考：

本题主要考查三角形的三边关系，已知两边求第三边，它的长度是不确定的，但可以求出第三边的取值范围，它只有大于其他两边之差，小于其他两边之和，这3条线段才能构成三角形．

例7.学完“三角形”后，我们知道“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分”，课后徐老师给学生们布置了这样一个问题：

有一块三角形的蛋糕要平均分给6个小朋友，要求只切3刀，你有办法达到要求吗？

试把你的方案画出来，并加以说明．

思路分析：

1）题意分析：

本题的意思是在一个三角形中作三条线段将其分成面积相等的6份．

2）解题思路：

因为三角形的中线可以将原三角形分成面积相等的两部分，所以本题应从三角形的中线入手寻找解法．

解答过程：

如图所示，在△ABC中，AE、BF、CD分别是三边上的中线，O点为中线CD、AE、BF的交点，则此时，S△ADO＝S△BDO＝S△BEO＝S△CEO＝S△CFO＝S△AFO．理由如下：

因为AD＝BD，所以S△ACD＝S△BCD，S△ADO＝S△BDO．所以S△AOC＝S△BOC，同理，△AOB和△BOC，△AOB和△AOC的面积也相等，又因为S△BEO＝S△CEO，S△CFO＝S△AFO，所以S△ADO＝S△BDO＝S△BEO＝S△CEO＝S△CFO＝S△AFO．即只要沿三角形蛋糕的三边中线切3刀就可达到要求．

解题后的思考：

将该实际问题抽象成几何模型，即要求“在三角形内作三条线段，将其分成6个面积相等的部分”．由于“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分”，所以我们可以从画三角形的中线入手，充分利用“三角形等底等高必等积”进行分析和说明．

小结：

三角形的稳定性、三角形的三边关系、三角形的中线是三角形基础知识中比较重要的知识点，在各类考试中与之相关的题目较为常见．其中，三角形的三边关系不但在实际生活中经常用到，而且和不等式联系紧密，三角形的三边关系问题实质是不等式和不等式组的问题．

知识点三：

镶嵌

例8.如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4块正n边形地板砖铺满，则n等于（）

A.4B.6C.8D.10

思路分析：

1）题意分析：

这是一个用两种图形镶嵌的问题．

2）解题思路：

在正方形的一个顶点处有一个正方形的内角与两个正n边形的内角，它们的和等于360°，依此求n的值．

解答过程：

选C。

如图所示，一个正n边形的内角等于

＝135°，所以（n－2）·180°＝n·135°，解得n＝8．

解题后的思考：

多种图形的镶嵌问题，其本质是计算一个顶点处各内角的和，在没有空隙也没有重叠的情况下，只要该点处各内角的和等于360°，就能完成镶嵌．

小结：

镶嵌共分三种情况，一、用同一种三角形（可以不是正三角形）能够镶嵌，同一种四边形（可以不是正方形）也可以；二、用同一种正多边形（只限于正三角形、正方形和正六边形）能镶嵌；三、用多种多边形能镶嵌，这种情况比较复杂，可按镶嵌的条件进行判断．

本讲站在实际应用的角度对本学期的几何知识进行了总结和复习，准确识记相关知识点是正确解答几何应用题的关键．除此之外，在本讲内容中有一个重要的数学方法值得一提，那就是等积法．即等底等高的三角形面积相等，这一规律可用于求图形的面积和线段的长度．

暑假专题—用统计图描述数据

一、预习新知

四种常用的统计图

二、预习点拨

探究与反思

探究任务：

统计图

【反思】

（1）我们学习了哪四种统计图？

（2）这四种统计图怎样绘制？

（3）这四种统计图在描述数据时各有什么优缺点？

（答题时间：

60分钟）

一、选择题．

1.一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于（）

A.75°B.105°C.45°D.135°

2.如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这种方法是根据（）

A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短

C.两点确定一条直线D.垂线段最短

3.如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）

A.80°B.100°C.110°D.120°

4.如图，顽皮的小聪课间把老师的直角三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a，b上，已知∠1＝55°，则∠2的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.125°

5.哈尔滨市为迎接第24届世界大学生冬季运动会，正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是（）

6.如图，三角形被遮住的两个角不可能是（）

A.一个锐角，一个钝角B.两个锐角

C.一个锐角，一个直角D.两个钝角

*7.现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm．从中任取三根，能组成三角形的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

*8.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C应是（）

A.120°B.150°C.100°D.180°

二、填空题．

9.如图所示，一个“U”形管道ABCD，拐角∠ABC＝120°，当拐角∠BCD＝__________时，管道AB∥CD．

10.对顶角量角器如图所示，它能测量角的原理是__________．

11.如图，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA＝4.56m，DB＝4.15m，则小明的跳远成绩应该为__________m．

12.如图所示，A、B之间是一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A地测得B地在北偏东70°方向，如果A、B两地同时开工修建铁路，那么在B地应按__________方向开凿，才能使铁路在山腹中准确接通．

**13.如图所示，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O’B平行于α，则角θ＝__________度．

**14.如图，①、②、③、④都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3×3平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为S1，S2，S3和S4．则S1，S2，S3和S4中，最小面积与最大面积的和是__________平方厘米．

三、解答题．

15.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGC的度数吗？

16.如图所示，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的．

*17.如图所示，一块三角形的优良品种试验田，现引进四个良种进行对比试验，需将这块田地分成面积相等的四块，请你制订出两种以上的划分方案．

**18.已知，如图所示，两只蚂蚁同时由B到C，甲蚂蚁沿B→A→C到点C，乙蚂蚁沿B→D→C到点C，如果甲、乙速度相同，问谁先到达终点C，为什么？

**19.小明跟爸爸到陶瓷市场买地板砖，准备装修新居的地面，该市场有如下五种型号的正多边形地板砖，它们的内角分别是60°、90°、108°、120°、150°，如果只能选用一种，这些地板砖哪些适用？

如果选用两种呢？

说说你的方案．

一、选择题：

1.C2.A3.B4.A5.C

6.D解析：

根据三角形的内角和定理，一个三角形中不可能有两个钝角．

7.C解析：

可取4cm、6cm和8cm，4cm、8cm和10cm，6cm、8cm和10cm．从所给四根木棒中任取三根共有四种取法，其中只有4cm、6cm和10cm不能组成三角形，其余均可．

8.B解析：

如图所示，延长AB交DC的延长线于点E，则∠AED＝∠A＝120°，∠CBE＝180°－∠ABC＝180°－150°＝30°，所以∠BCD＝∠CBE＋∠BEC＝150°．

二、填空题：

9.60°10.对顶角相等11.4.1512.南偏西70°

13.60解析：

由光线的反射性质可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，又因为AO∥β、BO’∥α，所以∠1＝θ、∠4＝θ，所以∠2＝∠3＝θ，由三角形内角和定理知θ＝60°．

14.7解析：

将阴影四边形进行适当的剪接，S1＝3，S2＝4，S3＝2.5，S4＝4.5，所以最小面积与最大面积的和是7平方厘米．

三、解答题：

15.解：

因为AD∥BC，所以∠DEF＝∠EFB＝30°．因为∠GEF＝∠DEF，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°．所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°．

16.解：

因为镜子是平行放置的，所以∠2＝∠3，又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4，又因为∠1＋∠2＋∠5＝∠3＋∠4＋∠6＝180°，所以∠5＝∠6．所以进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是平行的（内错角相等，两直线平行）．

17.解：

划分方案如下图：

图

（1）中BM＝MN＝NP＝PC；图

（2）中BN＝CN、AM＝MN、AP＝PC；图（3）中BM＝

BC，AN＝NP＝PC．（本题划分方案较多，请同学们想一想，还有哪些划分方案？

）

18.解：

延长BD交AC于E，在△ABE中，AB＋AE＞BE，在△EDC中，ED＋EC＞DC，所以（AB＋AE）＋（ED＋EC）＞BE＋DC，又因为BE＝BD＋ED，AE＋EC＝AC，所以AB＋（AE＋EC）＋ED＞BD＋ED＋DC．所以AB＋AC＞BD＋DC，故乙蚂蚁先到达终点C．

19.解：

选用一种型号时，内角为60°、90°、120°的正多边形地板砖适用，在一个顶点处需要用6个60°的，4个90°的，3个120°的；选用两种型号时，内角为60°、90°，60°、120°，60°、150°的正多边形地板砖适用．例如：

选用60°、90°，设选用60°的x个，90°的y个，则有60x＋90y＝360，即2x＋3y＝12，当x＝3时，y＝2，也就是说选用60°的3个和90°的2个可以镶嵌，其他方法与此相同．