初一数学绝对值典型例题精讲Word文档下载推荐.doc
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（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？
其值是多少？
分析：
（1）结合数轴画图分析。
绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±
3，±
4，有4个
（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。
（3）选择D。
（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9
[巩固]绝对值小于3.1的整数有哪些？
它们的和为多少？
<
分析>
：
绝对值小于3.1的整数有0，±
1，±
2，±
3，和为0。
[巩固]有理数a与b满足|a|>
|b|，则下面哪个答案正确（）
A.a＞bB.a=bC.a<
bD.无法确定
选择D。
[巩固]若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________
若|x-3|=3-x，则x-3≤0，即x≤3。
对知识点3的复习巩固
[巩固]若a＞b，且|a|<
|b|，则下面判断正确的是（）
A.a＜0B.a＞0C.b＜0D.b＞0
选择C
[巩固]设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？
|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8
[例2]
（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少？
（2）若|x+3|+（y-1）=0，求的值
（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，=
（2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。
==-1
n为偶数时，原式=1；
n为奇数时，原式=-1
小知识点汇总：
（本源|a|≥0b≥0）
若（x-a）+（x-b）=0,则x-a=0且x-b=0；
若|x-a|+（x-b）=0,则x-a=0且x-b=0；
若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；
当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0
简单的绝对值方程
【例3】
（1）已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿
（2）已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
（3）已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
（4）如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？
（1）4，-4
（2）2，-2，（3）2，-2
（4）x=±
5，y=±
2，且|x-y|=y-x，x-y≤0；
当x=5，y=2时不满足题意；
当x=5，y=-2时不满足题意；
当x=-5，y=2时满足题意；
x+y=-3；
当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。
【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值
因为|x|=4，所以x=±
4，因为|y|=6，所以y=±
6
当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10；
当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;
当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2；
当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10
【例4】
解方程：
（1）
（2）|4x+8|=12
（3）|3x+2|=-1
（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值
（1）原方程可变形为：
|x+5|=，所以有x+5=±
，进而可得：
x=-，-；
（2）4x+8=±
12，x=1，x=-5
（3）此方程无解
（4）|x-1|=2，x-1=±
2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±
3，且x与y互为相反数，所以x=3，y=-3，
【例5】若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值
a与b互为相反数，那么a+b=0。
=
当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；
当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；
综上可得=4
化简绝对式
【例6】
（1）已知a=-，b=-，求的值
（2）若|a|=b，求|a+b|的值
（3）化简：
|a-b|
（1）原式=
（2）|a|=b，我们可以知道b≥0，当a<
0时，a=-b，|a+b|=0；
当a≥0时，a=b，|a+b|=2b
（3）分类讨论。
当a-b＞0时，即a＞b，|a-b|=a-b；
当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0；
当a-b＜0时，即a＜b，|a-b|=b-a。
【巩固】化简：
（1）|3.14-π|
（2）|8-x|（x≥8）
分析：
（1）3.14<
π，3.14-π＜0，|3.14-π|=π-3.14
（2）x≥8，8-x≤0，|8-x|=x-8。
【例7】有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
C
B
A
|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c
【巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|
a
c
b
|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a
【巩固】数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b
【例8】
（1）若a<
-b且，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|
（2）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|
（3）已知x<
0<
z,xy>
0,|y|>
|z|>
|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值
-b且，a<
0,b<
0,a+b<
0,ab>
|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a
（2）因为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0，|a+2|+|a-2|=（a+2）-（a-2）=4
（3）由x<
0可得：
y<
z,又|y|>
|x|,可得：
x<
z;
原式=x+z-y-z-x+y=0
【巩固】如果0<
m<
10并且m≤x≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|
|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x
【例9】
（1）已知x<
-3,化简|3+|2-|1+x|||
（2）若a<
0，试化简
（1）当x<
-3时，|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x
（2）===-
【例10】若abc≠0，则的所有可能值
从整体考虑：
（1）a，b，c全正，则=3；
（2）a，b，c两正一负，则=1；
（3）a，b，c一正两负，则=-1；
（4）a，b，c全负，则=-3
【巩固】有理数a，b，c，d，满足，求的值
有知abcd<
0，所以a，b，c，d里含有1个负数或3个负数：
（1）若含有1个负数，则=2；
（2）若含有3个负数，则=-2
【例11】化简|x+5|+|2x-3|
先找零点。
x+5=0，x=-5；
2x-3=0，x=，零点可以将数轴分成几段。
当x≥，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2；
当-5≤x＜，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x；
当x<
-5，x+5<
0,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2
【巩固】化简：
|2x-1|
2x-1=0，x=，依次零点可以将数轴分成几段
（1）x<
2x-1<
0，|2x-1|=﹣（2x-1）=1﹣2x；
（2）x=，2x-1=0，|2x-1|=0
（3）x>
，2x-1>
0，|2x-1|=2x-1。
也可将
（2）与
（1）合并写出结果
【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值
先找零点，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2
依这三个零点将数轴分为四段：
m＜0,0≤m＜1,1≤m＜2，m≥2。
当m<
0时，原式=﹣m﹣（m-1）-（m-2）=-3m+3
当0≤m＜1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3
当1≤m＜2时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1
当m≥2时，原式m+（m-1）+（m-2）=3m-3
绝对值几何意义的应用
|a|的几何意义：
在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离
|a-b|的几何意义：
在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离
【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2，-1，-7所对应的点距离和。
通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。
这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：
【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？
D
E
我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。
也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。
那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。
最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。
那么当然也就是把邮筒放在C点了。
这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”
题后小结论：
求|x-a|+|x-a|+…+|x-a|的最小值：
当n为奇数时，把a、a、…a从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小。
当n为偶数时，把a、a、…a从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。
【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义
|a|即为表示a的点A与原点之间的距离，也即为线段AO的长度。
关于|a-b|，我们可以引入具体数值加以分析：
当a=3，b=2时，|a-b|=1；
当a=3，b=-2时，|a-b|=5；
当a=3，b=0时，|a-b|=3；
当a=-3，b=-2时，|a-b|=1；
从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现：
|a-b|对应的是点A与点B之间的距离，即线段AB的长度。
【巩固】设a、a、a、a、a为五个有理数，满足a<
a<
a,求|x-a|+|x-a|+|x-a|+|x-a|+|x-a|的最小值
当x=a时有最小值，a+a-a-a
【例14】设a<
b<
c<
d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x的取值
根据几何意义可以得到，当b≤x≤c时，y有最小值为c+d-a-b
附加习题
【例1】若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>
b>
c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿
根据题意可得：
a=±
1，b=-2，c=-3，那么a+b-c=0或2
【例2】已知（a+b）+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿
因为（a+b）+|b+5|=b+5,我们可以知道b+5>
0，所以原式可以表示为：
（a+b）+b+5=b+5，（a+b）=0，a=-b，又因为|2a-b-1|=0，进而2a-b-1=0，进而2a-b-1=0,3a=1，a=，b=-，ab=-
【例3】对于|m-1|，下列结论正确的是（）
A.|m-1|≥|m|B.|m-1|≤|m|C.|m-1|≥|m|-1D.|m-1|≤|m|-1
分析：
我们可以分类讨论，但那样对于做选择题都过于麻烦了。
我们可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到准确答案。
易得答案为C。
【例4】设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|
|a|+a=0，|a|=-a，a≤0；
|ab|=ab，ab≥0；
|c|-c=0，|c|=c，c≥0。
所以可以得到a≤0，b≤0，c≥0；
|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+（a+b）-（c-b）-（a-c）=b
【例5】化简：
||x-1|-2|+|x+1|
x-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2或x-1=-2，可得x=3或者x=-1；
x+1=0，x=-1；
综上所得零点有1.，-1,3，依次零点可以将数轴分成几段。
（1）x≥3，x-1>
0，|x-1|-2≥0，x+1>
0,||x-1|-2|+|x+1|=2x-2；
（2）1≤x<
3，x-1≥0，|x-1|-2<
0，x+1>
0，||x-1|-2|+|x+1|=4；
（3）-1≤x≤1，x-1<
0，|x-1|-2<
0，x+1≥0，||x-1|-2|+|x+1|=2x+2；
（4）x<
-1,x-1<
0,|x-1|-2<
0,x+1<
0,||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2
【例6】已知有理数a，b，c满足，求的值
对于任意的整数a，有，若，则a，b，c中必是两正一负，则abc<
0，=-1
【例7】若a，b，c，d为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|
从|a-c|=|b-c|我们可以知道，c到a，b的距离都是1，且三者不相等，那么在数轴上就有：
（b）
（a）
因为|d-b|=1，且a，b，c，d为互不相等的有理数，则有：
d
显然易得|a-d|=3
练习三
1、|m+3|+|n-|+|2p-1|=0,求p+2m+3n的值
绝对值为非负数，|m+3|+|n-|+|2p-1|=0,所以m+3=0，n-=0，2p-1=0，即得m=-3，n=，p=，所以p+2m+3n=-6+3×
=5
2、
（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>
0，则x+y的值为多少？
（2）解方程：
|4x-5|=8
（1）x=±
2，y=±
3，
当x=2，y=3时，不满足x-y＞0；
x=2，y=-3时，满足x-y＞0，那么x+y=-1；
x=-2，y=3时，不满足x-y＞0；
x=-2，y=-3时，满足x-y＞0，那么x+y=-5。
综上可得x+y的值为-1，-5
（2）4x-5=±
8，x=，x=-
3、
（1）有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|
（2）若a＜b，求|b-a+1|-|a-b-5|的值
（3）若a＜0，化简|a-|-a||
（1）a-b＜0，b-c＞0，a+b＜0
|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-（a-b）+（a+b）+（b-c）+c=3b
（2）|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4
（3）|a-|-a||=|a+a|=|2a|=-2a
4、已知a是非零有理数，求的值
若a＞0，那么=1+1+1=3；
若a＜0，那么=-1+1-1=-1
5、化简|x-1|-|x-3|
x-1=0,，x=1；
x-3=0，x=3，依照零点可以将数轴分成几段。
（1）x≥3，x-1＞0，x-3≥0，|x-1|-|x-3|=x-1-（x-3）=2；
（2）1≤x＜3，x-1≥0，x-3＜0，|x-1|-|x-3|=x-1+（x-3）=2x-4；
（3）x＜1，x-1＜0，x-3＜0，|x-1|-|x-3|=-（x-1）+（x-3）=-2
6、设a＜b＜c，求当x取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值
|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x到a，b，c三点距离和，画图可知当x=b时，原式有最小值c-a
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