初一数学绝对值典型例题精讲.docx

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初一数学绝对值典型例题精讲

第三讲绝对值

内容概述

绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

「绝对值的定义及性质

绝对值J简单的绝对值方程

化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）

、绝对值几何意义的使用

绝对值的定义及性质

绝对值的定义：

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：

（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：

|a|NO,这是绝对值非常重要的性质：

"a（a>0）

（2）|a|=J0（a=0）（代数意义）

-a（a<0）

（3）若|a|=a,则aNO；若|a|=・a,则aWO；

（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|2a,

旦Ia|N・a：

（5）若|a|=|b|,贝膈=13或3=-上（几何意义）

（6）|ab|=|a|•|b|：

|—|=^-^（b^O）：

b\b\

（7）|a|'=|a~|=a2：

（8）|a+b|W|a|+1b||a-b|N||a|・|b|||a|+|b|N|a+b||a|+1b|N

|a・b|

［例1］

（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？

（2）若ab<|ab|,则下列结论正确的是（）

A.aVO,b<0B.a>0,b<0C.aVO,b>0D.ab<0

（3）下列各组判断中，正确的是（）

A.若|a|=b,则一定有a=bB.若|a|>|b|,则一定有a>b

C.若|a|>b,则一定有|a|>|b|D.若|a|=b,则一定有a=（-b）2

（4）设a,b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？

其值是多少？

分析：

（1）结合数轴画图分析。

绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3,±4,有4个

（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

（3）选择D。

（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|2O,则|a+b|N9,有最小值9

［巩固］绝对值小于3.1的整数有哪些？

它们的和为多少？

〈分析〉：

绝对值小于3.1的整数有0,±1,±2,±3,和为0。

［巩固］有理数a与b满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确（）

A.a>bB.a=bC.a

分析：

选择D.

［巩固］若|x-3|=3-x,则x的取值范围是

分析：

若|x-3|=3-x,则X-3W0,即xW3°对知识点3的复习巩固

［巩固］若a>b,且|a|<|b|,则下面判断正确的是（）

A.aVOB.a>0C.b<0D.b>0

分析：

选择C

［巩固］设a,b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？

其值是多少？

分析：

|a-b|NO,-8-|a-b|W-8,所以有最大值-8

［例2］

（1）（竞赛题）若3|x・2|+|y+3|=0,则飞的值是多少？

x

分析：

（1）|x・2|=0,|y+3|=0,x=2,y=・3,—=-—a2

（2）由|x+3|+（y-1）2=0,可得x=・3,y=1□——=—=-1y-x1+3

n为偶数时，原式=1：

n为奇数时，原式=-1

小知识点汇总：

（本源|a|30b2^0）

若（x・a）2+（x-b）2=0,则x-a=O且x-b=O；

若|x-a|+（x-b）2=0,则x-a=O且x-b=O；

若|x-a|+|x-b|=O,则x-a=O且x-b=O；

当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0,两个非

负数互为相反数时，两者均为0

简单的绝对值方程

【例3】

（1）

已知X是有理数，

且|x|二|・4|,那么x=

（2）

已知X是有理数，

且-|x|=-|2|,那么x=

（3）

已知X是有理数，

且-1-xI=-121，那么x=

（4）

如果x,y表示有理数，且x,y满足条件|x|=5,|y|=2,|x-y|=y-x,那么x+y的值是多少？

分析：

（1）4,・4

（2）2,2（3）2,-2

（4）x=±5,y=±2,且|x・y|=y・x,x・yWO：

当x=5,y=2时不满足题意：

当x=5,y=-2时不满足题意：

当x=-5,y=2时满足题意：

x+y=-3：

当x=-5,y=-2时满足题意，x+y=-7°

【巩固】巩固|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值

分析：

因为|x|=4,所以x=±4,因为|y|=6,所以y=±6

当x=4,y=6时,|x+y|=|10|=10：

当x=4,y=・6时,|x+y|=|-2|=2;

当x=・4,y=6时,|x+y|=|2|=2：

当x=・4,y=-6时,|x+y|=|10|=10

【例4】

3

解方程：

（1）-lx+5l-5=0

2

（2）|4x+8|=12

（3）|3x+2|=-1

1与

（4）已知|x-11=2,|y|=3,且x与y互为相反数,求--xy-4y的值

分析：

（1）原方程可变形为：

|x+5|=四，所以有x+5=±—,进而可得：

x=--,；

3333

（2）4x+8=±12,x=1,x=-5

（3）此方程无解

（4）|x・11=2,x・1二±2,x=3,x=・1,|y|=3,y=±3,且x与y互为相反数,所以x=3,

1、y=-3,-xy-4j=24

【例5】若己知a与b互为相反数，且|a・b|=4,求“"泌+”的值cr+ah+\

分析：

a与b互为相反数，那么a+b=（h

a-ab+ba+b-abO-abf4,

===一汕,1ci-bl=4@-b=±4,cr+ab+\a（a+b）+\axO+\

当a-b=4时,且a+b=O,那么a=2>b=・2,-ab=4；

当a・b=-4时，且a+b=O,那么a=・2,b=2,・ab=4；

综上可得=4

cr+ab+l

化简绝对式

【例6】

（1）

已知a=・L,b二・上，求：

i:

的值

23（a+2b）2\a+2b\I48+3-12o-3ll

12。

+4/刃

（2）若|a|=b,求|a+b|的值

（3）化简：

|a・b|

I-1--I49

分析：

（1）原式二———-—=

（一土一二）2|—土一二I|一兰+3—1一1一311

23233

18

7

（2）|a|=b,我们可以知道bNO,当a<0时，a=・b,|a+b|=0：

当aNO时，a=b,|a+b|=2b

（3）分类讨论。

当a-b>0时，即a>b,|a・b|=a・b：

当a-b=O时,即a=b,|a-b|=0：

当a・bV0时，即aVb,|a・b|=b-a。

【巩固】化简:

（1）13.14-n|

（2）|8-x|（xN8）

分析：

（1）3.145,3.14-n<0,|3.14-n|=n-3.14

（2）xN8,8・xW0,|8-x|=x-8o

【例7】有理数a,b,c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|

IIII・

CBOA

分析：

|b+a|+|a+c|+|c・b|=b+a・（a+c）・（c-b）=2b-2c

【巩固】己知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c・b|+|a-c|+|b・a|

分析：

|a|+lc-b|+1a・c|+1b-a|=・a+b・c・a+c+b・a=2b・3a

【巩固】数a,b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||

分析:

|a+b|+|b-a|+|b|・|a・|a||=・（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b

【例8】

（1）若a<・b且<>0,化简|a|・|b|+|a+b|+|ab|b

（2）若・2WaW0,化简|a+2|+|a・2|

（3）已知xO,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|・|x・y|的值

分析：

<1）若a<・b且—>0,a<0,b<0,a+b<0,ab>0b

Ia|・|b|+1a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a

（2）因为・2WaW0,所以a+2N0,a・2W0,|a+2|+|a-2|=（a+2）-（a-2）=4

（3）由x<00可得:

y|z|>|x|,可得:

y

【巩固】如果0

分析：

|x・m|+1x・101+1x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x

【例9]

（1）已知x<-3,化简|3+|2・|1+x|||

分析：

（1）当x<・3时,|3+|2・|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3・3・x|=|・x|=・x

2。

一13。

I_2a+3a_5。

_5

（2）

.二.™■=•■I

II3"I-aII-3a-a1-4。

4

【例10】若abcKO,则；+当+二的所有可能值

I。

I\b\Icl

分析：

从整体考虑:

（1）a,b,c全正，则—+—+—=3：

\a\\b\Icl

（2）a,b,c两正一负，则—+—+—=1：

\a\\b\Icl

（3）a,b,c—正两负，则—+—+—=-1：

\a\\b\Icl

（4）a,b,c全负，则+1=-3

\a\\b\Icl

■r,IabedI.IbIIclIJL.

理敏a,b‘c,d‘»两正=—1,求111hjI：

L

abedabed

分析：

有业¥l=_i知abcd<0,所以a,b,c,d里含有1个负数或3个负数:

abed

（1）若含有1个负数，则牛

（2）若含有3个负数，则:

?

\b\Icl\d\.

+F——d=2：

bed

\b\Icl\cl\.

+F——d=-2

bed

【例111化简|x+5|+|2x-3|

3

分析:

先找零点。

x+5=0,x=・5：

2x・3=0,x—,零点可以将数轴分成几段。

2

3

当xN—，x+5>0,2x・3N0,|x+5|+|2x・3|=3x+2；

2

3

当・5WxV—,x+5—0,2x・3V0,|x+5|+|2x・3|=8・x；

2

当x<・5,x+5<0,2x・3,|x+51+|2x-31=-3x-2

【巩固】化简：

|2x-1|

分析：

先找零点。

2x-1=0,x=L依次零点可以将数轴分成几段

2

（1）x<-,2x-1<0,|2x.1|=・（2x-1）=1-2x：

2

（2）x=—,2x-1=0t|2x-11=0

2

（3）x>-,2x・1>0,|2x・1|=2x・1°也可将

（2）与

（1）合并写出结果

2

【例12］求|m|+|m-1+|m-2|的值

分析:

先找零点,m=0,m・1=0,m・2=0,解得m=0,1,2

依这三个零点将数轴分为四段：

mV0,0Wm<1,lWmV2,n】N2。

当m<0时，原式=-m-（m-1）-（m-2）=-3m+3

当0Wm<1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3

当1WmV2时，原式=ni+（m-1）・（m-2）=m+1

当m—2时,原式m+（m-1）+（m-2）=3m-3

绝对值几何意义的应用

|a|的几何意义：

在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离

|a-b|的几何意义：

在数轴上，表示数a,b对应数轴上两点间的距离

【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值

分析：

由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2,-1,-7所对应的点距离和。

通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。

这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：

【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮简,为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？

——

分析：

我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮简放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮简的距离就是AE的长度。

也就是说邮简放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。

那么我们就使其他的3个点到邮简的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。

最后，只需要考虑C点到邮简的距离最近就行了。

那么当然也就是把邮简放在C点了。

这里就体现了一个''向中心靠拢的思想”

题后小结论：

求Ix-a】|+|x-a?

|+—+|x-a„|的最小值：

当n为奇数时，把a,、•••a“从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的

值最小。

当n为偶数时，把力、私、…从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。

【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义

分析：

|a|即为表示a的点A与原点之间的距离，也即为线段A0的长度。

关于|a-b|,我们可以引入具体数值加以分析：

当a=3,b=2时，|a-b|=1；当a=3,b=-2时，|a-b|=5：

当a=3,b=0时，|a-b|=3：

当a=-3,b=-2时,|a-b|=1：

从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现：

|a-b|对应的是点A与点B之间的距离，即线段AB的长度。

【巩固】设a】、a?

、a3、a,、为五个有理数，满足a,

a2|+|x-a3|+|x-a4|+|x-a5|的最小值

分析：

当x=a^时有最小值，a4+a5-aj-a,

【例14］设a

分析：

根据几何意义可以得到，当bWxWc时，y有最小值为c+d-a-b

附加习题）

【例4】设a,b,c为实数，且|a|+a=O,|ab|=ab,|c|-c=O,化简

|b|・|a+b|・|c・b|+|a・c|

分析：

|a|+a=O,|a|=-a,aWO：

|ab|=ab,abNO：

|c|・c=O,|c|=c,cNO。

所以可以得到aWO,bWO,cNO：

Ib|-1a+b|-1c-bI+1a-c|=-b+（a+b）-（c-b）・（a-c）=b

【例5】化简：

||x-1|-2|+|x+1|

分析:

先找零点。

x-1=O>x=1,|x・1|・2=O,|x・1|=2,x-1=2或x・1=・2,可得x=3或者x=-1：

x+1=O,x=-1；综上所得零点有1.,-1,3.依次零点可以将数轴分成几段。

（1）xN3,x・1>0,|x・1|・2N0,x+1>0,||x-11-2|+|x+1|=2x-2：

（2）1Wx<3,x・12O,|x-11-2Ot||x-1|-2|+|x+11=4：

（3）・1WxW1,x・1<0,|x・1|・2<0,X+1N0,||x-11-2|+|x+1|=2x+2；

（4）x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0,||x・1|・2|+|x+1|=・2x・2

■.廿lIoIIDIIcI.IabcI,,

【例6】已知有理数a,b,c洒足——+——+——=1,求的值

abcabc

分析：

对于任意的整数a,有—=±1,若—+—+—=1,则a,b,c中必aabc

是两正一负，则abc<0,业

abc

【例7】若a,b,c,d为互不相等的有理数,且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,求|a-d|分析：

从|a-c|=|b-c|我们可以知道，c到a,b的距离都是1,且三者不相等，那么在数轴上就有：

（b）（a）

因为|d・b|=1,且a,b,c,d为互不相等的有理数，则有：

显然易得IaJ也3

、

练习三

1、|m+3I+1n•—|+|2p・11=0,求p+2m+3n的值

2

77

分析:

绝对值为非负数,|m+3|+|n-—|+|2p-11=0,所以m+3=0,n——=0,2p-1=0,即得

22

ni=.3,n=—,p=—,所以p+2m+3n=—・6+3X—=52222

2、

（1）已知|x|=2,|y|=3且x-y>0,则x+y的值为多少?

（2）解方程：

|4x-5|=8

分析:

（1）x=±2,y=±3,

当x=2,y=3时，不满足x-y>0；

x=2,y=-3时,满足x-y>0,那么x+y=-1:

x=・2,y=3时，不满足x-y>0；

x=・2,y=-3时，满足x・y>0,那么x+y=-5c

综上可得x+y的值为-1,-5

133

（2）4x・5=±8,x=—,x=-—

44

3、

（1）有理数a,b,c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|

（2）若aVb,求|b・a+1|・|a・b・5|的值

（3）若aVO,化简|a-|-a||

分析：

（1）a-b<0,b-c>Ota+b<0

|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-（a-b）+（a+b）+（b-c）+c=3b

（2）|b-a+1|・|a・b・5|=b・a+1+a・b・5=・4

（3）|a-1-a11=|a+aI=12a|=-2a

23

4、已知a是非零有理数，求*-+二+里」的值

\a\\a\\a\

23

分析：

若a>0,那么业_+—+土=1+1+1=3：

\a\\a2\la3I

6、设aVbVc,求当x取何值时|x・a|+|x・b|+|x・c|的最小值

分析：

|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x到a,b,c三点距离和，画图可知当x=b时，原式有

最小值c-a