圆锥曲线综合应用习题.docx

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圆锥曲线综合应用习题

　　　　　　圆锥曲线综合应用习题　　x2y2?

1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、1．点A、B分别是以双曲线　　1620右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，PA?

PF?

0　　求椭圆C的的方程；求点P的坐标；　　设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M　　的距离d的最小值。

　　2已知在平面直角坐标系xoy中，向量j?

（0,1）,?

OFP的面积为23，且　　?

OF?

FP?

tO?

MO?

.Pj3?

设4?

43,求向量OF与FP的夹角?

的取值范围；　　设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且　　|OF|?

c,t?

（3?

1）c2,当|OP|取最小值时，求椭圆的方程.　　　　3．设A、B是椭圆3x2＋y2=λ上的两点,点N（1,3）是线段AB的中点.

（1）确定λ的取值范围,使直线AB存在,并求直线AB的方程.　　

（2）线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点,求线段CD的中点M的坐标（3）试判断是否存在这样的λ,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?

并说明理.　　　　4．设P（x1,y1）,Q（x2,y2）是抛物线C:

2px（p?

0）上相异两点，2yP?

且OP?

OQ?

0，直线PQ与x轴相交于E．　　若P,Q到x轴的距离的积为4，求p的值；　　TOQREFx若p为已知常数，在x轴上，是否存在异于E的一点F，使得直线PF与抛物线的另一交点为R，而直线RQ与x轴相交于T，且?

有TR?

3TQ，若存在，求出F点的坐标，若不存在，说明理．　　5．已知点A、B的坐标分别是（?

1,0），（1,0）.直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.　　（Ⅰ）求动点M的轨迹方程;　　（Ⅱ）若过点N（,1）的直线l交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点，求直线　　12l的方程.　　　　6．已知M（0,?

2），点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足，　　?

AP?

PB，MA?

AP?

0.　　当点A在x轴上移动时，求动点P的轨迹C方程；　　过（?

2,0）的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、l2，当l1?

l2，求直线l的方程.　　7．已知点C为圆（x?

1）?

8的圆心，点A，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且MQ?

AP?

0,AP?

2AM.　　当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；　　若直线y?

kx?

k2?

1与中所求点Q　　的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，　　且　　2223?

OF?

OH?

，求△FOH的面积34　　　　　　　　　　　　x2y28．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:

1（a?

0）的离　　aby心率e＝　　3，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与x轴垂直的2AF1oBF2MxN直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．　　（Ⅰ）求椭圆C的方程；　　?

（Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足PA?

AB?

4，试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.　　　　　　9．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A?

2,0?

、B?

2,0?

、C?

1,?

三点．　　求椭圆E的方程；　　若直线l：

与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x?

4上．　　　　10．如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）（m>0）作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

　　（Ⅰ）设点P分有向线段AB所成的比为λ，证明QP?

（QA?

QB）;　　（Ⅱ）设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

　　x22?

1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，11．已知椭圆C1的方程为4而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。

求双曲线C2的方程；　　?

若直线l:

kx?

2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA?

OB?

2，求k的范围。

　　　　12．如图,过抛物线x2?

4y的对称轴上任　　一点P（0,m）（m?

0）作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．　　yA?

⑴．设点P满足AP?

PB，　　BP?

证明：

QP?

（QA?

QB）；　　⑵．设直线AB的方程是x?

2y?

12?

0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．　　　　OxQ13．一束光线从点F1（?

1,0）出发，经直线l:

2x?

0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1,0）．　　求点F1关于直线l的对称点F1?

的坐标；求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；　　设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点　　Q的坐标．　　14．已知平面上一定点C（?

1,0）和一定直线l:

4.Ｐ为该平面上一动点，作PQ?

l,垂足为　　Q，（PQ?

2PC）?

（PQ?

2PC）?

（1）问点Ｐ在什么曲线上？

并求出该曲线方程；　　?

（2）点Ｏ是坐标原点，A、B两点在点Ｐ的轨迹上，若OA?

OB?

求?

的取值范OC，围．　　　　|FG|?

10，15．如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF|?

6，且2EH?

EG，HP·GE?

0，　　建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；　　若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与EF　　9相交于一点C，则|OC|＜．　　5G　　P　　　　H　　　　　　E　　F

　　　　　　16．已知动圆过定点?

1,0?

，且与直线x?

1相切.　　

（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；　　

（2）是否存在直线l，使l过点，并与轨迹C交于P,Q两点，且满足　　?

OP?

OQ?

0？

若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理.　　　　17．已知M（4,0）,N（1,0）若动点P满足MNMP?

6|NP|　　求动点P的轨迹方C的方程；　　设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l:

2y?

12?

0的距离的最小值.　　　　18．已知抛物线x=2py（p>0），过动点M（0,a），且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p,　　求a的取值范围；　　若p=2，a=3，求直线L与抛物线所围成的区域的面积；　　　　19．如图，直角梯形ABCD中，∠DAB?

90?

，AD∥BC，AB=2，AD=　　椭圆F以A、B为焦点且过点D，　　建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；　　D　　A　　231，BC=221若点E满足EC?

AB,是否存在斜率　　2k?

0的直线l与椭圆F交于M、N两点，且　　CB　　|ME|?

|NE|，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理。

　　20．已知P?

x0,y0?

是函数f（x）?

lnx图象上一点，过点P的切线与x轴交于B，过点P作　　x轴的垂线，垂足为A.　　求点B坐标；　　若x0?

0,1?

，求?

PAB的面积S的最大值，并求此时x0的值.　　　　　　　　　　　　参考答案　　1．解已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=25，半焦距c1=16?

20?

6，∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴b2=62?

42?

20，　　x2y2?

1　　　　∴所求的椭圆方程为　　3620已知A（?

6,0）,F（4,0），设点P的坐标为（x,y），则　　AP?

（x?

6,y）,FP?

（x?

4,y）,已知得?

x2y2?

　　　　3620?

（x?

6）（x?

4）?

y2?

32则2x?

9x?

18?

0，解之得x?

或x?

6，　　　　235?

35?

3，所以点P的坐标为?

于y>0，所以只能取x?

，于是y?

9分　　22?

22?

6直线AP:

3y?

0，设点M是（m,0），则点M到直线AP的距离是，　　2m?

6于是?

6，　　　　　　　　2又∵点M在椭圆的长轴上，即?

2　　∴当m?

2时，椭圆上的点到M（2,0）的距离　　5x249d?

（x?

2）?

4x?

20?

（x?

）2?

15　　　　9929　　又?

6∴当x?

时，d取最小值15　　　　2　　22222．解：

23?

1|OF|?

|FP|?

sin?

得|OF|?

|FP|?

43,cos?

OF?

FP?

tsin?

，　　2sin?

|OF|?

|FP|43　　得tan?

43.…………………………………………………………………3分　　t?

43?

tan?

[0,?

]∴夹角?

的取值范围是43………………………………………………………………6分　　设P（x0,y0）,则FP（x0?

c,y0）,OF?

（c,0）.　　　　?

OF?

FP?

（x0?

c,y0）?

（c,0）?

（x0?

c）c?

（3?

1）c2?

43S?

OFP?

|OF|?

|y0|?

23?

y0?

2c?

x0?

3c　　…………………………………………………………………………………………8分　　?

4324322?

|OP|?

x0?

y0?

（3c）2?

（）?

23c?

26………………10分　　cc∴当且仅当3c?

43,即c?

2时,|OP|取最小值26,此时,OP?

（23,?

23）c?

OM?

3（23,23）?

（0,1）?

（2,3）33或OM?

3（23,?

23）?

（0,1）?

（2,?

1）　　…………12分椭圆长轴　　2a?

（2?

2）2?

（3?

0）2?

（2?

2）2?

（3?

0）2?

4,b2?

12　　或2a?

（2?

2）2?

（?

0）2?

（2?

2）2?

（?

0）2?

17?

1721?

17　　,b?

22x2y2?

1.或x2?

y2?

1…………14分故所求椭圆方程为　　16129?

171?

17223．

（1）解:

依题意,可设直线AB的方程为y=k（x－1）＋3,代入3x2＋y2=λ,整理得（k2＋3）x2　　－2k（k－3）x＋（k－3）2－λ=0①　　设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1,x2是方程①的两个不同的根,∴△=4[λ（k2＋3）－3（k－3）2]>0.②且x2＋x1=　　2k（k－3）x1＋x2,N（1,3）是线段AB的中点,得=1,∴k（k－3）=k2＋322k＋3　　解得k=－1,代入②得λ>12,即λ的取值范围是（12,＋∞）,∴　　直线AB的方程为y－3=－（x－1）,即x＋y－4=0　　

（2）∵CD垂直平分AB,直线CD的方程为y－3=x－1,即x－y＋2=0,代入椭圆方程,整理得4x2＋4x＋4－λ=0③又设C（x3,y3）,D（x4,y4）,CD的中点C（x0,y0）,则x3,x4是方程③的两根,11313　　∴x3＋x4=－1,且x0=（x3＋x4）=－,y0=x0＋2=,即M（－,）　　22222（3）弦长公式可得|CD|=　　11+（--）2|x1－x2|=　　k　　2（λ－3）④　　将直线AB的方程x＋y－4=0,代入椭圆方程得4x2－8x＋16－λ=0⑤　　同理可得|AB|=1＋k2·|x1－x2|=2（λ－12）⑥　　∵当λ>12时,2（λ－3）>2（λ－12）,∴|AB|12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心,点M到直线AB的距离为13|－＋－4|22|x0＋y0－4|32　　d===..⑦于是④、⑥、⑦式和勾股定理可得.　　222　　λ－3AB9λ－12CD　　|MA|2=|MB|2=d2＋||2=＋==||2.故当λ>12时,A、B、C、D四点　　22222CD　　均在以M为圆心,||为半径的圆上.　　2　　→→　　4.解：

∵OP·OQ＝0，则x1x2＋y1y2＝0，　　……………………1分　　又P、Q在抛物线上，∴y12＝2px1，y22＝2px2，　　y12y22∴·＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2，2p2p　　∴|y1y2|＝4p2，　　　　　　……………………3分又|y1y2|＝4，∴4p2＝4，p=1．　　　　……………………4分设E（a,0），直线PQ方程为x＝my＋a,　　　　?

x＝my＋a联立方程组?

2,　　　　……………………5分　　?

y＝2px　　消去x得y2－2pmy－2pa＝0,　　　　……………………6分∴y1y2＝－2pa,　　①　　　　……………………7分　　设F（b,0），R（x3,y3），同理可知：

　　y1y3＝－2pb,②　　　　……………………8分①、②可得　　y3b　　＝,③　　　　……………………9分y2a　　→→　　若TR＝3TQ，设T（c,0），则有　　（x3－c,y3－0）＝3（x2－c,y2－0）,　　y3　　∴y3＝3y2即＝3,④　　……………………10分　　y2　　将④代入③，得b＝3a．　　　　……………………11分→→又知，OP·OQ＝0,　　∴y1y2＝－4p2，代入①，得－2pa＝－4p2∴a＝2p,　　……………………13分∴b＝6p,　　→→　　故，在x轴上，存在异于E的一点F（6p,0），使得TR＝3TQ．………………14分注：

若设直线PQ的方程为y＝kx＋b，不影响解答结果．　　5．解:

（Ⅰ）设M（x,y）……………………………………………………………………………1分　　因为kAM?

kBM?

2,所以22yy?

……………………………………..3分x?

1x?

1化简得:

2x?

.……………………………………………………………..4分（Ⅱ）设C（x1,y1）,D（x2,y2）当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x?

1,则21616C（,）,D（,?

）,其中点不是N,不合题意…………………………………………6分2222设直线l的方程为y?

k（x?

）　　12

　　　　　　将C（x1,y1）,D（x2,y2）代入2x2?

y2?

得　　222x12?

y12?

2…………

（1）2x2?

y2?

2…………

（2）……………………………….8分　　1y?

y22（x1?

x2）2?

1……………………………11分?

（1）-

（2）整理得:

1x1?

x2（y1?

y2）2?

122?

直线l的方程为y?

11（x?

）22即所求直线l的方程为x?

2y?

0……………………………………………12.分　　解法二:

当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x?

不合题意.　　11616,则C（,）,D（,?

）,其中点不是N,22222故设直线l的方程为y?

k（x?

）,将其代入2x2?

y2?

化简得　　12kk（2?

k2）x2?

2k（1?

）x?

（1?

）2?

0　　22k2k2?

224k（1?

）?

4（2?

k）[（1?

）?

2]?

22?

2k（1?

）?

2x1?

x2?

（2）韦达定理得?

22?

k2?

（1?

）?

2x1?

x2?

（3）?

22?

（1）,　　kk（1?

）1x?

x22?

解得k?

1,又已知N为线段CD的中点,得1?

2222?

k2将k?

1代入

（1）式中可知满足条件.　　11此时直线l的方程为y?

（x?

）,即所求直线l的方程为x?

2y?

0　　226．解：

设P（x,y）则　　?

AP?

（x?

xA,y）PB?

（?

x,yB?

y）……………………………………………...2分　　?

AP?

PB得xA?

2x，yB?

2y……………………………………………..4分　　?

又MA?

（xA,2）AP?

（x?

xA,y）即MA?

（2x,2），AP?

（?

x,y）……………6分?

2MA?

AP?

0得x?

y（y?

0）……………………………………………………..8分　　设E（x1,y1），F（x2,y2）　　因为y’?

x，故两切线的斜率分别为x1、x2……………………………10分　　?

x2?

2y2方程组?

得x?

2kx?

4k?

0x1?

x2?

2kx1?

x2?

4k………..12　　?

k（x?

2）1x1?

x2?

1，所以k?

　　81所以，直线l的方程是y?

（x?

2）……………………………….14分　　8当l1?

l2时，，　　7．解：

题意MQ是线段AP的垂直平分线，于是　　|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=22>|CA|=2，于是点Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴a=2的椭圆，短半轴b?

a2?

c2?

1,　　x2?

y2?

1.…………………………4分点Q的轨迹E方程是：

x22?

1设ＦH，则?

2，　　?

kx?

k2?

　　消去y得（2k2?

1）x2?

4kk2?

1x?

2k2?

0,?

8k2?

0（?

0）　　4kk2?

12k2　　?

x1?

x2?

…………………………6分,x1x2?

222k?

12k?

1OF?

OH?

x1x2?

y1y2?

x1x2?

（kx1?

k2?

1）（kx2?

k2?

1）?

（k2?

1）x1x2?

kk2?

1（x1?

x2）?

k2?

7分　　（k2?

1）?

2k24k2（k2?

1）k2?

12?

8分222k?

12k?

12k2?

131?

k2?

1,?

10分32k?

142y?

y22222）]　　?

|FH|?

（x1?

x2）?

（y1?

y2）?

（x1?

x2）[1?

（1x1?

x222k2?

（1?

k）[（x1?

x2）?

4x1x2?

（1?

k）?

1222　　又点O到直线FH的距离d=1，　　2k2（k2?

1）1?

d|FH|?

12分22k2?

11令t?

2k2?

1t?

[2,3],?

k2?

（t?

1）,　　21111221?

（t?

1）[（t?

1）?

（t?

1）?

2　　t2t22t1113183122?

3,?

即?

.　　9t44t92t3　　?

　　8．解：

（Ⅰ）∵MF2?

x轴，∴|MF2|?

62?

14分4311,椭圆的定义得：

|MF1|?

2a，--------2分221121222∵|MF1|?

（2c）?

，∴（2a?

）?

4c?

，-----------------------------------4分　　424又e?

23232得c?

a　　∴4a2?

2a?

3a2,?

2　　4222∴b?

12a?

1，-------------------------------6分4x2?

y2?

1．------------------------------------------------7分∴所求椭圆C的方程为4（Ⅱ）知点A（－2,0），点B为，设点P的坐标为（x,y）　　?

则PA?

（?

x,?

y），AB?

（2,?

1）,?

PA?

AB?

m－4得－4?

2x?

4，　　∴点P的轨迹方程为y?

2x?

m------------------------------------9分设点B关于P的轨迹的对称点为B’（x0,y0），则轴对称的性质可得：

　　y0?

1x1y?

m，x0222?

4m2m?

3,y0?

，------------------------------11分55?

4m22m?

32）?

4（）?

4，整理得2m2?

0解得∵点B’（x0,y0）在椭圆上，∴（553m?

1或m?

　　23∴点P的轨迹方程为y?

2x?

1或y?

2x?

，-------------------------------------------13分　　23经检验y?

2x?

1和y?

2x?

都符合题设，　　23∴满足条件的点P的轨迹方程为y?

2x?

1或y?

2x?

．----------------14分　　2解得：

x0?

x2y29．解法一：

当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为2?

1，　　ab则a?

2，又点C?

1,?

在椭圆E上，得　　?

192?

1b?

3．．解得2224bx2y2?

1．∴椭圆E的方程为43x2y2当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为2?

1，　　ba则b?

2，又点C?

1,?

在椭圆E上，得　　?

19?

1．解得a2?

3，这与a?

b矛盾．2224ax2y2?

1．　　　　……4分综上可知，椭圆E的方程为43解法二：

设椭圆方程为mx2?

ny2?

1，将A?

2,0?

、B?

2,0?

、C?

1,?

代入椭圆E的方程，得　　?

4m?

1,11?

解得，．?

934m?

1.?

4x2y2?

1．　　　　　　……4分∴椭圆E的方程为43x2y2?

1并整理，得证法一：

将直线l：

代入椭圆E的方程43?

4k?

x22?

8k2x?

k2?

0，　　　　　　……6分　　设直线l与椭圆E的交点M?

x1,y1?

，N?

x2,y2?

，　　4?

k2?

8k2根与系数的关系，得x1?

x2?

，x1x2?

．　　……8分223?

4k3?

4k直线AM的方程为：

6y?

y1?

，它与直线x?

4的交点坐标为P?

4,1?

，x1?

x1?

同理可求得直线BN与直线x?

4的交点坐标为Q?

4,?

2y2?

．　　……10分x2?

下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：

　　∵y1?

x1?

，y2?

x2?

，∴　　6k?

x1?

x2?

2k?

x2?

x1?

6y12y2?

x1?

2x2?

x1?

x2?

k2?

40k2?

2k?

223?

4k2k?

2x1x2?

x1?

x2?

4k?

0．　　?

x1?

x2?

x1?

x2?

因此结论成立．　　综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x?

4上．　　……14分　　x2y2?

1并整理，得证法二：

将直线l：

，代入椭圆E的方程43?

4k?

x22?

8k2x?

k2?

0，　　　　　　……6分　　设直线l与椭圆E的交点M?

x1,y1?

，N?

x2,y2?

，　　4?

k2?

8k2根与系数的关系，得x1?

x2?

，x1x2?

．　　……8分　　3?

4k23?

4k2直线AM的方程为：

x1?

y1，即x?

2y?

．　　x1?

2x1?

2k?

y2?

，即y?

．……10分x2?

2x2?

2直线BN的方程为：

直线AM与直线BN的方程消去y，得　　x?

2x1x2?

x1?

x2?

4x2?

2x1x2?

3x1?

x2?

x1?

3x2?

x1?

x2?

2x2?

k2?

24k2?

4k?

62?

4x2?

x22?

23?

4k3?

4k?

4．　　?

228k4k?

2x?

x223?

4k23?

4k2∴直线AM与直线BN的交点在直线x?

4上．　　　　……14分　　x2y

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