圆锥曲线与向量的综合性问题.doc

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圆锥曲线与向量的综合性问题

一、常见基本题型：

在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。

（1）问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，

例1、设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且．

当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；

解：

（解法一），故为的中点．

设，由点在轴的负半轴上，则

又，

又，

所以，点的轨迹的方程为

（解法二），故为的中点．

设，由点在轴的负半轴上，则-

又由，故，可得

由，则有，化简得：

所以，点的轨迹的方程为

例2、已知椭圆的方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点，且，求直线的方程；

解：

（Ⅰ）设椭圆的右焦点为，因为的焦点坐标为，所以

因为，则，

故椭圆方程为：

（Ⅱ）由（I）得，设的方程为（）

代入，得，

设则，

所以直线的方程为

（2）所求问题以向量的形式呈现

例3、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

解：

（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，

且

故所求方程为即，

（2）假设存在点M符合题意，设AB：

代入

得：

则

要使上式与无关，则有

解得，存在点满足题意。

例4、线段过y轴上一点，所在直线的斜率为，两端点、到y轴的距离之差为.

（Ⅰ）求出以y轴为对称轴，过、、三点的抛物线方程；

（Ⅱ）过该抛物线的焦点作动弦，过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为，求点的轨迹方程，并求出的值.

解：

（Ⅰ）设所在直线方程为，抛物线方程为，

且，，不妨设，

即

把代入得

，

故所求抛物线方程为

（Ⅱ）设，

则过抛物线上、两点的切线方程分别是，

两条切线的交点的坐标为

设的直线方程为，代入得

故的坐标为　点的轨迹为

而

故

（3）问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现

例5、在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．

（I）求曲线E的方程；

（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，当点M在曲线E上时，求的值．

解：

（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．

由＝，得（x－m，y）＝（－x，n－y），

∴得

由||＝＋1，得m2＋n2＝（＋1）2，

∴（＋1）2x2＋y2＝（＋1）2，

整理，得曲线E的方程为x2＋＝1．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由＝＋，知点M坐标为（x1＋x2，y1＋y2）．

设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0，

则x1＋x2＝－，x1x2＝－．

y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2＝，

由点M在曲线E上，知（x1＋x2）2＋＝1，

即＋＝1，解得k2＝2．

这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋1）（kx2＋1）＝（1＋k2）x1x2＋k（x2＋x2）＋1＝－，

（x＋y）（x＋y）＝（2－x）（2－x）＝4－2（x＋x）＋（x1x2）2

＝4－2[（x1＋x2）2－2x1x2]＋（x1x2）2＝，

cosá，ñ＝＝－．

二、针对性练习

1.已知圆M：

及定点，点

P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，

且满足

（1）求点G的轨迹C的方程；

（2）过点K（2，0）作直线与曲线C交于A、B两点，

O是坐标原点，设,是否存在这样的直线使四边形OASB的对角

线相等？

若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解：

（1）由为PN的中点，且是PN的中垂线，

∴＞

∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，又

∴

（2）∵.四边形OASB为平行四边行，

假设存在直线1，使四边形OASB为矩形

若1的斜率不存在，则1的方程为

由＞0.

这与相矛盾，∴1的斜率存在.

设直线1的方程

，化简得：

∴

∴

由∴

∴存在直线1：

或满足条件.

二、针对性练习

1.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于,

（）两点，且．

（1）求该抛物线的方程；

（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．

解：

（1）直线AB的方程是,与联立，

消去，得，所以，

由抛物线定义得：

，所以p=4，

抛物线方程为：

（2）由p=4，化简得，

从而,从而A（1,）,B（4,）

设=，

又因为，即8（4），

即，解得

2、在平面直角坐标系内已知两点、，若将动点的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足.

（Ⅰ）求动点所在曲线的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为的直线交曲线于、两点，且，又点关于原点的对称点为点，试问、、、四点是否共圆？

若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.

解（Ⅰ）设点的坐标为，则点的坐标为，

依据题意，有

动点所在曲线的方程是

（Ⅱ）因直线过点，且斜率为，故有

联立方程组，消去，得

设、，可得，于是.

又，得即

而点与点关于原点对称，于是，可得点

若线段、的中垂线分别为和，，则有

联立方程组，解得和的交点为

因此，可算得

所以、、、四点共圆，且圆心坐标为半径为