高中数学选修本理科复数的有关概念Word格式.docx

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　　②为虚数

　　③且。

　　④为纯虚数且

（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

　　①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

　　①任何一个复数都可以由一个有序实数对（）唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对（）叫做复数的．

　　②复数用复平面内的点Z（）表示．复平面内的点Z的坐标是（），而不是（），也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是．由于=0＋1·

，所以用复平面内的点（0，1）表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点（0，1）标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度．

　　③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点（）（）都是表示纯虚数．但当时，是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

　　由此可见，复平面（也叫高斯平面）与一般的坐标平面（也叫笛卡儿平面）的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

　　④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z（a，b）中的Z，书写时大写．要学生注意．

（5）关于共轭复数的概念

　　设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数（不能认为与或是共轭复数）．

　　教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：

5和－5也是互为共轭复数．当时，与互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．

（6）复数能否比较大小

　　教材最后指出：

“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

　　①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

　　②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：

“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<

’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

　　（i）对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

　　（ii）如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

　　（iii）如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

　　（iv）如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．（不必向学生讲解）

（二）教法建议

　　1．要注意知识的连续性：

复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系．

　　2．注意数形结合的数形思想：

由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

　　3．注意分层次的教学：

教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．

复数的有关概念

　　1．了解复数的实部，虚部；

　　2．掌握复数相等的意义；

　　3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数．

教学重点

　　复数的概念，复数相等的充要条件．

教学难点

　　用复平面内的点表示复数Ｍ．

教学用具：

直尺

课时安排：

1课时

教学过程：

一、复习提问：

　　1．复数的定义。

　　2．虚数单位。

二、讲授新课

　　1．复数的实部和虚部：

　　复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

　　2．复数相等

　　如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

　　即：

的充要条件是且。

　　例如：

　　例1：

已知 

其中，求x与y.

　　解：

根据复数相等的意义，得方程组：

　　∴

　　例2：

m是什么实数时，复数

（1） 

是实数，

（2）是虚数，（3）是纯虚数.

（1）∵时，z是实数,

∴,或.

（2） 

∵时，z是虚数,

∴，且

　　（3） 

∵且时，

　　z是纯虚数.∴

　　3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数

复平面的定义

　　建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．

　　复数可用点来表示．（如图）其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

原点只在实轴x上，不在虚轴上．

　　4．复数的几何意义：

　　复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的．

　　5．共轭复数

（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

（虚部不为零也叫做互为共轭复数）

（2）复数z的共轭复数用表示．若，则：

；

　　（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．

　　（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称．

三、练习 

1,2,3,4.

四、小结：

　　1．在理解复数的有关概念时应注意：

（1）明确什么是复数的实部与虚部；

（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；

　　（3）弄清复平面与复数的几何意义；

　　（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。

　　2．复数集与复平面上的点注意事项：

（1）复数中的z，书写时小写，复平面内点Z（a，b）中的Z，书写时大写。

（2）复平面内的点Z的坐标是（a，b），而不是（a，bi），也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

　　（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

　　（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

五、作业 

1,2,3,4,

六、板书设计：

§

8,2　复数的有关概念

1定义：

　　例1　 

3定义:

　　　4几何意义:

……　　 

……　　…… 

……

2定义：

　　例2 

5共轭复数:

……　　　

2019-2020年高中数学选修本（理科）定积分在几何上的应用

目的要求

1．掌握定积分解决实际问题的思想方法：

分割、近似代替、作和、求极限．能应用定积分求出某些平面图形的面积，知道某些简单的定积分表达式的几何意义．

2．通过学习，对“面积”的概念有较为完整的认识．知道在求平面图形的面积时，定积分是一种普遍适用的方法．

内容分析

1．定积分在几何中的应用源于最初对积分的研究．但是，作为一种数学方法，定积分有广泛的应用．本节课主要研究运用定积分求一些平面图形的面积，同时，通过应用加深对定积分概念的理解，进一步体会学习微积分的重要性．

2．本节的教学重点是运用定积分求一些平面图形的面积，教学难点是使学生理解“当x∈[a，b]时，若f（x）＜0，即f（x）的图象位于x轴下

3．微积分的思想方法产生于实践，形成一般理论后，又回过来广泛应用于实践．它体现了唯物主义的认识论，教学中要充分发挥教科书的优势，寓思想教育于教学过程之中，这对正在成长中的青年一代世界观的形成，将会产生积极的影响．

教学过程

1．复习引入

（1）板演练习：

分别用初等数学方法和定积分方法计算由x＝0、x＝3、x轴及直线y＝x＋3围成的梯形的面积．

（2）复习：

在练习的基础上复习定积分的几何意义、微积分基本公式

（3）提出问题：

如果图形由曲线y1＝f1（x）、y2＝f2（x）（不妨设f1（x）≥f2（x）≥0），及直线x＝a、x＝b（a＜b）围成（见课本图4－13），那么所围成的图形的面积如何用定积分表示？

2．尝试探索

（1）推导公式

观察图形，由学生归纳出面积公式：

练习：

完成教科书第170页练习第

（1）、

（2）、（3）题．

（2）尝试应用

例1计算由曲线y2＝x、y＝x2所围成的图形的面积．

解：

（见教科书例1）

归纳：

求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤．

①画出图形；

②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；

③确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；

④写出平面图形面积的定积分表达式；

⑤运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．

变式一：

求由曲线y＝x2、y＝2x＋3所围成的图形的面积．

[D]

A．①、③　　　　　　　　　　　　　　　B．③、④

C．②、③　　　　　　　　　　　　　　　D．②、④

（3）变形公式

在变式二的基础上，推导出下列变形公式：

①如图54－1，在区间[a，b]上f（x）≤0，这时曲边梯形的面积

②如图54－2，在区间[a，c]上f（x）≤0，在区间[c，b]上f（x）≥0，那么阴影部分的面积为

（此公式应用了定积分的性质，即定积分对积分区间的可加性．）

③如图54－3，在区间[a，b]上，g（x）＜f（x）＜0，则图中阴影部分面积为

（4）拓广公式

①如图54－4，由曲线x＝g（y）和三条直线y＝c、y＝d、x＝0围成的曲边梯形的面积为

②如图54－5，阴影部分图形的面积为

3．强化训练

例2利用定积分的几何意义说明

（见教科书例2解答）

例3计算由曲线y2＝2x、y＝x－4所围成的图形的面积．

解法一：

（见教科书例3解答）

解法二：

若取x为自变量，这时应分为两段求积分：

教师引导学生对比解法一、解法二的繁简程度．

教科书练习第5、6题．

变式二：

由y＝sinx、y＝cosx、x＝0、x＝π所围成的图形的面积可表示为

[B]

4．归纳总结

1．求平面图形面积的基本步骤、理论根据及“面积”概念的完整认识．

2．各种图形中的曲边梯形的面积公式（分两大类）．

3．能利用定积分表达式的几何意义求定积分．

布置作业

1．教科书习题4．5第1、3题．

2．求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成图形的面积．

3．（1996年上海高考题）已知A（－1，2）为抛物线C：

y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：

x＝a（a≠－1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D．

（1）求直线l1的方程；

（2）设△ABD的面积为S1，求|BD|及S1的值；

（3）设由抛物线C及直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：

S1∶S2的值为与a无关的常数．

（答案：

4x＋y＋2＝0；

|BD|＝2（a＋1）2，S1＝|a＋b|3；

S1∶S2＝3∶2．）