经济数学基础作业4(电大).doc

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经济数学基础作业4

（一）填空题

1.函数的定义域为

求初等函数的定义域，一般要满足：

（1）分式中分母的表达式不为零；

（2）根式中偶次根号下的表达式大于或等于零；

（3）对数中真数的表达式大于零。

解：

要使有意义，则要求，

解不等式组得：

，

因此，定义域为。

2.函数的驻点是，极值点是，它是极值点.

1．使的点称为函数的驻点。

2．设，且

（1）若，则为极小值点；

（2）若，则为极大值点。

解：

=

令得：

因此，所求驻点是，

极值点是，它是极小值点。

3.设某商品的需求函数为，则需求弹性.

解：

有弹性公式=。

4.若线性方程组有非零解，则=

齐次方程组有非零解的充分必要条件为：

，（为方程组中未知量的个数）。

解：

系数矩阵

当方程有非零解，则（未知量个数），

则。

5.设线性方程组，且，则时，方程组有唯一解.

解：

要使线性方程组有唯一解，则要求（方程未知量个数），

因此，当时，，方程组有唯一解。

（二）单项选择题

1.下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．

A．sinxB．exC．x2 D．3–x

解：

函数sinx，ex，x2均为基本初等函数，由它们的性质知：

函数ex在区间上是单调增加。

该题正确答案为：

B．

2.设，则（）

A．B．C．D．

解：

因为，则，

该题正确答案为：

C．

3.下列积分计算正确的是（　）．

A．　　　B．　　　

C．　　　　D．

解：

注意到：

定积分，

（1）当为奇函数时，则；

（2）当为偶函数时，则。

答案A中设，=，

因此，，

该题正确答案为：

A．

4.设线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（）．

A．B．C．D．

解：

该题正确答案为：

D．

5.设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）．

A．B．

C．D．

解：

方程组有解的充分必要条件是：

，

即，即，

该题正确答案为：

C．

三、解答题

1．求解下列可分离变量的微分方程：

（1）

解：

原方程变形为：

方程两边积分得：

即为方程通解.

（2）

解：

原方程变形为：

方程两边积分得：

即为方程通解.

2.求解下列一阶线性微分方程：

（1）

解：

由一阶线性微分方程通解公式：

得原方程通解：

=

=

=

（2）

解：

由一阶线性微分方程通解公式：

得原方程通解：

=

=

=

3.求解下列微分方程的初值问题：

（1）,

解：

原方程变形为：

方程两边积分得：

即为方程通解

将代人通解得：

则

因此，原方程特解为：

（2）,

解：

原方程变形为：

由一阶线性微分方程通解公式：

得方程通解：

=

=

将代人通解得：

，则

原方程特解为：

4.求解下列线性方程组的一般解：

（1）

解：

所以，方程的一般解为

（其中是自由未知量）

（2）

解：

一般解：

（其中是自由未知量）

5.当为何值时，线性方程组

有解，并求一般解。

解：

当时，，方程有无穷多解.

方程的一般解为：

（其中是自由未知量）

5．为何值时，方程组

解：

当且时，方程组无解；

当时，方程组有唯一解；

当且时，方程组无穷多解。

6．求解下列经济应用问题：

（1）设生产某种产品个单位时的成本函数为：

（万元）,

求：

①当时的总成本、平均成本和边际成本；

②当产量为多少时，平均成本最小？

解：

①（万元）；

（万元/单位）；

求经济最值问题的解题步骤：

（1）列出目标函数（就是所求实际问题达到最值的经济函数，比如利润函数或平均成本函数等）；

（2）对目标函数求导，令目标函数的导数等于0，求出驻点；

（3）若驻点唯一，再判定该驻点为极值点；

（4）在驻点唯一的情况下，极大（小）值点即为最大（小）值点，得出结论，回答问题。

=（万元/单位）.

②平均成本：

，

令得唯一驻点

因此，当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。

（2）.某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价格为（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？

最大利润是多少．

解：

收入函数

利润函数=

令得唯一驻点

因此，当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为：

（元）。

（3）投产某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为（万元/百台）．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．

解：

当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

（万元）

总成本函数

平均成本：

令得唯一驻点

因此，当产量为6百台时，平均成本达到最低.

（4）已知某产品的边际成本=2（元/件），固定成本为0，边际收益

，求：

①产量为多少时利润最大？

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解：

①边际利润

令得唯一驻点，

因此，当产量为500件时，利润最大.

②在最大利润产量的基础上再生产50件，

利润增量

即利润将减少25元.