第3章习题Word格式.doc
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oa
P
x
y
A
C
B
习题图3-3
由毕奥—沙伐定律，求得AB段线电流在P点产生的磁感应强度为
式中，，，即
由于轴对称关系，可知BC段及AC段电流在P点产生的磁感应强度与AB段产生的磁感应强度相等。
因此，P点的磁感应强度为
3.4两条半无限长直导线与一个半圆环导线形成一个电流回路，如习题图3.4所示。
若圆环半径r=10cm，电流I=5A，试求半圆环圆心处的磁感应强度。
r
①
②
③
X
习题图3.4
Y
解根据毕奥—沙伐定律，载流导线产生的磁场强度为
设半圆环圆心为坐标原点，两直导线平行于X轴，如图所示。
那么，对于半无限长线段①
，，
因此，在圆心处产生的磁场强度为
同理线段③在圆心处产生的磁场强度为
对于半圆形线段②
,
因此，它在半圆心处产生的磁场强度为
那么，半圆中心处总的磁感应强度为
3.5通过电流密度为的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所示。
计算各部分的磁感应强度，并证明腔内的磁场是均匀的。
解将空腔中视为同时存在和的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：
一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内，另一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内。
由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。
题3.5图
由安培环路定律，可得到电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为
电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为
这里和分别是点和到场点的位置矢量。
将和叠加，可得到空间各区域的磁场为
圆柱外：
圆柱内的空腔外：
空腔内：
式中是点和到点的位置矢量。
由此可见，空腔内的磁场是均匀的。
3.6若无限长的半径为a的圆柱体中电流密度分布函数，试求圆柱内外的磁感应强度。
解取圆柱坐标系，如习题图3.3所示。
当时，通过半径为r的圆柱电流为
o
z
习题图3.6
由
求得
当时
由
求得
3.7若在处放置一根无限长线电流，在y=a处放置另一根无限长线电流，如习题图3.7所示。
试求坐标原点处的磁感应强度。
解根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于处的无限长线电流在原点产生的磁场为
Z
-a
习题图3.7
位于处的无限长线电流产生的磁场为
因此，坐标原点处总磁感应强度为
3.8下面的矢量函数中哪些可能是磁场？
如果是，求其源变量。
（1）（圆柱坐标）
（2）
（3）
（4）（球坐标系）
解根据恒定磁场的基本性质，满足的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。
若是磁场的场矢量，则可由求出源分布。
（1）在圆柱坐标中
该矢量不是磁场的场矢量。
（2）
该矢量是磁场的矢量，其源分布为
（3）
该矢量是磁场的场矢量，其源分布为
（4）在球坐标系中
该矢量是磁场的场矢量，其源分布为
3.9有一电流分布，求矢量位和磁感应强度。
解由于电流只有分量，且仅为的函数，故也只有分量，且仅为的函数，即。
在圆柱坐标系中，由满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出，然后由可求出。
记和的矢量位分别为和。
由于在时电流为零，所以
（）
（）
由此可解得
和满足的边界条件为
①时，为有限值
②时，，
由条件①、②，有，，
由此可解得，
故
（）
（）
式中常数由参考点确定，若令时，，则有。
空间的磁感应强度为
（）
3.10如题3.10图所示，边长分别为和、载有电流的小矩形回路。
求远处的任一点的矢量位
题5.6图
解电流回路的矢量位为
式中：
根据矢量积分公式，有
而
所以
对于远区场，，所以，故
3.11已知某电流在空间产生的矢量磁位是
求磁感应强度。
解
3.12半径为磁介质球，具有磁化强度为
其中和为常数，求磁化电流和等效磁荷。
解磁介质球内的磁化电流体密度为
等效磁荷体密度为
磁介质球表面的磁化电流面密度为
等效磁荷面密度为
3.13如题5.8所示图，无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面，试求：
（1）两种磁介质中的磁感应强度和；
（2）磁化电流分布。
题5.8图
解
（1）由安培环路定理，可得
所以得到
（2）磁介质在的磁化强度
则磁化电流体密度
在处，具有奇异性，所以在磁介质中处存在磁化线电流。
以轴为中心、为半径作一个圆形回路，由安培环路定理，有
故得到
在磁介质的表面上，磁化电流面密度为
因此
3.14已知空间y<
0区域为磁性媒质，其相对磁导率区域为空气。
试求：
①当空气中的磁感应强度时，磁性媒质中的磁感应强度B；
②当磁性媒质中的磁感应强度时，空气中的磁感应强度B0。
解根据题意，建立的直角坐标如图3.14所示。
①设磁性媒质中的磁感应强度为
已知在此边界上磁感应强度的法向分量连续，磁场强度的切向分量连续。
因此
习题图3.14
，
求得 ，
即
②设空气中的磁感应强度为
则由边界条件获知
，
求得 ，
即
3.15一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场中，并使它们的轴与平行，（铁的磁导率为）。
求两样品内的和；
若已知、，求两样品内的磁化强度。
解对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件，有
对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件，有
3.16如题3.16图所示，一环形螺线管的平均半径cm，其圆形截面的半径cm，鉄芯的相对磁导率，环上绕匝线圈，通过电流。
（1）计算螺旋管的电感；
（2）在鉄芯上开一个的空气隙，再计算电感。
（假设开口后鉄芯的不变）
（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。
题3.16图
解
（1）由于，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。
由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为
与螺线管铰链的磁链为
故螺线管的电感为
（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。
根据边界条件，有，但空气隙中的磁场强度与铁芯中的磁场强度不同。
根据安培环路定律，有
又由于、及，于是可得
所以螺线管得磁链为
故螺线管得电感为
（3）空气隙中的磁场能量为
鉄芯中的磁场能量为
故
3.17如题3.17图所示，两个长的矩形线圈，放置在同一平面上，长度分别为和，宽度分别为和，两线圈最近的边相距为，两线圈中分别载有电流和。
设>
>
，且两线圈都只有一匝，略去端部效应。
证明：
两线圈的互感是
题3.17图
解由于>
，因此可近似认为线圈①中的电流在线圈②的回路中产生的磁场与两根无限长的平行直线电流产生的磁场相同。
线圈①中的电流在线圈②的回路中产生的磁场为
与线圈②交链的磁通为
故两线圈间的互感为
3.18长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题3.18图（）所示。
直导线与矩形回路间的互感是
题5.15图（）
解设长直导线中的电流为，则其产生的磁场为
由题5.15图（）可知，与矩形回路交链的磁通为
其中
故直导线与矩形回路间的互感为
3.19如题3.19图所示的长螺旋管，单位长度密绕匝线圈，通过电流，鉄心的磁导率为、截面积为，求作用在它上面的磁场力。
解由安培环路定理可得螺旋管内的磁场为
设铁心在磁场力的作用下有一位移，则螺旋管内改变的磁场能量为
则作用在鉄心上的磁场力为
磁力有将铁心拉进螺旋管的趋势。
题5.16图
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