ARIMA 模型在我国对外贸易中的应用文档格式.docx

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其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归，p为自回归项;

MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。

如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA（p，q）模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregressiveintegratedmovingaverage）时间序列，记为ARIMA（p，d，q）。

ARIMA模型的基本思想是：

将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。

这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。

现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。

ARIMA模型预测的基本程序：

（1）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。

一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。

（2）对非平稳序列进行平稳化处理。

如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。

（3）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。

若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；

若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；

若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。

（4）进行参数估计，检验是否具有统计意义。

（5）进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。

（6）利用已通过检验的模型进行预测分析。

（二）随机时间序列模型的平稳性条件

自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。

1.AR（p）模型的平稳性条件

随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断。

如果一个p阶自回归模型AR（p）生成的时间序列是平稳的，就说该AR（p）模型是平稳的，否则，就说该AR（p）模型是非平稳的。

考虑p阶自回归模型AR（p）：

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t（*）

引入滞后算子（lagoperator）L：

LXt=Xt-1，L2Xt=Xt-2，…，LpXt=Xt-p

（*）式变换为（1-1L-2L2-…-pLp）Xt=t

记（L）=（1-1L-2L2-…-pLp），则称多项式方程（z）=（1-1z-2z2-…-pzp）=0为AR（p）的特征方程（characteristicequation）。

可以证明：

如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于1），则AR（p）模型是平稳的。

对高阶自回模型AR（p）来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：

（1）AR（p）模型稳定的必要条件是：

1+2++p<

1

（2）由于i（i=1，2，p）可正可负，AR（p）模型稳定的充分条件是：

|1|+|2|++|p|<

2.MA（q）模型的平稳性

对于移动平均模型MR（q）：

Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q

其中t是一个白噪声，于是

当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。

因此：

有限阶移动平均模型总是平稳的。

3.ARMA（p，q）模型的平稳性

由于ARMA（p，q）模型是AR（p）模型与MA（q）模型的组合：

而MA（q）模型总是平稳的，因此ARMA（p，q）模型的平稳性取决于AR（p）部分的平稳性。

当AR（p）部分平稳时，则该ARMA（p，q）模型是平稳的，否则，不是平稳的。

（三）时间序列模型的建立过程

1.模型的识别

所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。

所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相关函数（partialautocorrelationfunction，PACF）。

ARMA（p，q）的自相关函数，可以看作MA（q）的自相关函数和AR（p）的自相关函数的混合物。

当p=0时，它具有截尾性质；

当q=0时，它具有拖尾性质；

当p、q都不为0时，它具有拖尾性质

从识别上看，通常：

ARMA（p，q）过程的偏自相关函数（PACF）可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零；

而它的自相关函数（ACF）则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。

ARMA（p，q）模型的ACF与PACF理论模式

模型

ACF

PACF

AR（p）

衰减趋于零（几何型或振荡型）

p阶后截尾

MA（q）

q阶后截尾

ARMA（p，q）

q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）

p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）

2.随机时间序列ARMA（p，q）模型的矩估计

在ARMA（p，q）中共有（p+q+1）个待估参数1，2，，p与1，2，，q以及2，其估计量计算步骤及公式如下：

第一步，估计1，2，，p

是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关函数rk代替。

第二步，改写模型，求1，2，，q以及2的估计值

将模型

改写为：

令

于是（*）可以写成：

构成一个MA模型。

按照估计MA模型参数的方法，可以得到1，2，，q以及2的估计值。

3.模型的检验

（1）残差项的白噪声检验

由于ARMA（p，q）模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。

如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。

在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。

可用QLB的统计量进行2检验：

在给定显著性水平下，可计算不同滞后期的QLB值，通过与2分布表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假设。

若大于相应临界值，则应拒绝所估计的模型，需重新识别与估计。

（2）.AIC与SBC模型选择标准：

另外一个遇到的问题是，在实际识别ARMA（p，q）模型时，需多次反复偿试，有可能存在不止一组（p，q）值都能通过识别检验。

显然，增加p与q的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低了自由度。

因此，对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性”与模型的拟合优度的权衡选择问题。

常用的模型选择的判别标准有：

赤池信息法（Akaikeinformationcriterion，简记为AIC）与施瓦兹贝叶斯法（SchwartzBayesiancriterion，简记为SBC）：

其中，n为待估参数个数（p+q+可能存在的常数项），T为可使用的观测值，RSS为残差平方和（Residualsumofsquares）。

在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好。

显然，如果添加的滞后项没有解释能力，则对RSS值的减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，因此使得AIC或SBC的值增加。

需注意的是：

在不同模型间进行比较时，必须选取相同的时间段。

二、样本数据的选取及实证研究

（一）数据的选取

在实证中，本文所用数据为1950年－2005年全国进出口贸易总额，数据来源于《新中国50年统计年鉴》第60页。

（二）时间序列模型的建立

首先在Eviews5.0中，做出全国进出口贸易总额的曲线图。

图1序列全国进出口贸易总额的曲线图

从图中可以看出，中国从1950年到2005年的全国进出口贸易总额具有明显的上升趋势，显现出指数增长的趋势，初步识别为一个非平稳序列。

NullHypothesis：

NEhasaunitroot

Exogenous：

Constant

LagLength：

10（AutomaticbasedonSIC，MAXLAG=10）

t-Statistic

Prob.*

AugmentedDickey-Fullerteststatistic

0.913640

0.9948

Testcriticalvalues：

1%level

-3.584743

5%level

-2.928142

10%level

-2.602225

*MacKinnon（1996）one-sidedp-values.

图2序列全国进出口总额的ADF检验结果

由上图可看出，全国进出口总额序列以较大的P值，即99.48％的概率接受原假设，即存在单位根，序列非平稳。

因此应该先对其做平稳化处理。

1．序列平稳化

首先考虑取对数，做出全国进出口总额序列的曲线图及ADF检验，发现其仍然呈现非平稳趋势。

因此考虑取对数后再进行一阶差分，记为DL。

DLhasaunitroot

0（AutomaticbasedonSIC，MAXLAG=10）

-4.588086

0.0005

-3.557472

-2.916566

-2.596116

通过看图，可初步识别序列已平稳。

并且ADF的值为－4.588086，分别小于不同检验水平的三个临界值，因此它通过了ADF检验，为一平稳序列。

在这里应该注意的是要防止过度差分。

一般来说平稳序列差分得到的仍然是平稳序列，但当差分次数过多时存在两个缺点，

（1）序列的样本容量减小；

（2）方差变大；

所以建模过程中要防止差分过度。

对于一个序列，差分后若数据的极差变大，说明差分过度。

此处，我们认为一阶差分已可以消除序列的非平稳性。

2．模型识别

利用Eviews5.0做出二阶对数差分的自相关以及偏相关函数图，以判断模型阶数。

可以看出，自相关系数在2阶后结尾，偏相关系数也在2阶后结尾，初步取识别模型结果为p=2，q=2，建立ARIMA（2，1，2）模型。

3．模型建立与参数估计

利用Eviews5.0对模型进行估计，结果如下：

DependentVariable：

DL

Method：

LeastSquares

Date：

01/17/08Time：

20：

08

Sample（adjusted）：

19532005

Variable

Coefficient

Std.Error

Prob. 

C

0.256667

0.082550

3.109236

0.0032

AR

（1）

0.660588

0.194123

3.402938

0.0014

AR

（2）

0.282792

0.197955

1.428564

0.1596

MA

（1）

-0.251587

0.143024

-1.759052

0.0849

MA

（2）

-0.743195

0.153422

-4.844119

0.0000

R-squared

0.357912

Meandependentvar

0.141529

AdjustedR-squared

0.304405

S.D.dependentvar

0.167683

S.E.ofregression

0.139852

Akaikeinfocriterion

-1.006881

Sumsquaredresid

0.938807

Schwarzcriterion

-0.821005

Loglikelihood

31.68236

F-statistic

6.689030

Durbin-Watsonstat

1.879405

Prob（F-statistic）

0.000231

InvertedARRoots

.96

-.30

InvertedMARoots

1.00

-.75

下面是拟合效果图：

由上面的输出结果可以看出，ARIMA（2，1，2）模型的AIC=-1.006881，SC＝-0.821005。

根据AIC准则和SBC准则，ARIMA（2，1，2）模型可以通过检验。

其具体形式如下：

NE

＝0.256667＋0.660588

＋0.282792

－0.251587

－0.743195

三、结语

随着经济日渐成为人们生活的焦点，经济领域的一个重要指标进出口贸易总额越来越受到社会的关注。

附表

Time

lnNE

一阶差分

1950

41.5

1.6180481

1951

59.5

1.77451697

0.15646887

1952

64.6

1.81023252

0.03571555

1953

80.9

1.90794852

0.097716

1954

84.7

1.92788341

0.01993489

1955

109.8

2.04060234

0.11271893

1956

108.7

2.03622954

-0.0043728

1957

104.5

2.01911629

-0.0171133

1958

128.7

2.10957855

0.09046226

1959

149.3

2.17405981

0.06448126

1960

128.4

2.10856502

-0.0654948

1961

90.7

1.95760729

-0.1509577

1962

-0.0496588

1963

85.7

1.93298082

0.0250323

1964

97.5

1.98900462

0.05602379

1965

118.4

2.0733517

0.08434709

1966

127.1

2.10414555

0.03079385

1967

112.2

2.04999286

-0.0541527

1968

108.5

2.03542974

-0.0145631

1969

107.7

2.0322157

-0.003214

1970

112.9

2.05269394

0.02047824

1971

120.9

2.0824263

0.02973236

1972

146.9

2.1670218

0.08459549

1973

220.5

2.34340859

0.1763868

1974

292.2

2.46568021

0.12227162

1975

290.4

2.46299661

-0.0026836

1976

264.1

2.4217684

-0.0412282

1977

272.5

2.43536651

0.01359811

1978

355

2.55022835

0.11486185

1979

454.6

2.65762943

0.10740108

1980

570

2.75587486

0.09824542

1981

735.3

2.86646457

0.11058971

1982

771.3

2.88722333

0.02075877

1983

860.1

2.93454895

0.04732562

1984

1201

3.07954301

0.14499406

1985

2066.7

3.31527744

0.23573443

1986

2580.4

3.41168703

0.09640959

1987

3084.2

3.48914253

0.0774555

1988

382