一次函数与一元一次方程.docx

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一次函数与一元一次方程

§14．2．2一次函数（第1课时）

主备人：

杨军

一、课时学习目标

１．掌握一次函数解析式的特点及意义．毛

２．知道一次函数与正比例函数关系．

３．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．

４．会用简单方法画一次函数图象．

教学重点

１．一次函数解析式特点．

２．一次函数图象特征与解析式联系规律．

３．一次函数图象的画法．

教学难点

１．一次函数与正比例函数关系．

２．一次函数图象特征与解析式的联系规律．．

二、课前预习导学

Ⅰ．，创设情境

问题：

某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y与x的关系．

这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？

它的图象又具备什么特征？

我们这节课将学习这些问题．

我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？

它们又有什么共同特点？

１．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C的值约是t的7倍与35的差．

２．一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值．

３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：

月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．

４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．

三、课堂学习研讨：

1、上面的函数解析式有什么共同特点

它们的形式与y=-6x+15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．

一般地，形如的函数，叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．

[活动一]

活动内容设计：

画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象．并比较两个函数图象，探究它们的联系及解释原因．

活动设计意图：

通过活动，加深对一次函数与正比例函数关系的理解，认清一次函数图象特征与解析式联系规律．

学生活动：

在教师引导下，顺利完成并准确理解所得结论．

活动过程与结论：

列表：

x

-2

-1

0

1

2

y=-6x

y=-6x+5

描点画图：

观察思考

这两个函数的图象形状都是，并且，即倾斜程度相同；函数y=-6x的图象经过原点．函数y=-6x+5的图象与y轴交于点，它可以看作由直线y=-6x向单位长度而得到．

其实，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，其中决定直线倾斜程度，决定直线与y轴交点位置，直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移个单位长度而得到（当b>0时，向平移；b<0时，向平移）．

尝试练习：

１．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

（1）y=-8x．

（2）y=

．（3）y=5x2+6．（3）y=-0．5x-1．

２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．

（1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？

（2）求第2．5秒时小球的速度．

３．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？

画出函数y=2x-1与y=-0．5x+1的图象．

[活动二]

活动内容设计：

画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象．由它们联想：

一次函数解析式y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？

活动设计意图：

通过活动，熟悉一次函数图象画法．经历观察发现图象的规律，并根据它归纳总结出关于数值大小的性质．体会数形结合的探究方法在数学中的重要性，进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系．

规律：

当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降．

性质：

当k>0时，y随x增大而增大．

当k<0时，y随x增大而减小．

Ⅲ．随堂练习

１．直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为_________，图象经过第________象限，y随x增大而_________．

２．分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限？

（1）k>0b>0

（2）k>0b<0

（3）k<0b>0（4）k<0b<0

课后反思

§11．2．2一次函数

（二）

主备人：

杨军

课时学习目标：

１．学会用待定系数法确定一次函数解析式．

２．具体感知数形结合思想在一次函数中的应用

教学重点

待定系数法确定一次函数解析式．

教学难点

灵活运用有关知识解决相关问题．

教学过程

１．提出问题，创设情境

我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢？

这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？

Ⅱ．导入新课

有这样一个问题，大家来分析思考，寻求解决的办法．

[活动]

活动设计内容：

P31例4

联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？

活动设计意图：

通过活动掌握待定系数法在函数中的应用，进而经历思考分析，归纳总结一次函数解析式与图象之间转化规律，增强数形结合思想在函数中重要性的理解．

学生活动：

在教师指导下经过独立思考，研究讨论顺利完成转化过程．概括阐述一次函数解析式与图象转化的一般过程．

叫做待定系数法．

练习：

P32

补：

生物学家研究表明,某种蛇的长度y（CM）是其尾长x（CM）的一次函数,当蛇的尾长为6CM时,蛇的长为45.5CM;当蛇的尾长为14CM时,蛇的长为105.5CM.当一条蛇的尾长为10CM时,这条蛇的长度是多少?

作业:

教科书第35页第5,6，7题.

备选题:

1.已知一次函数y=3x-b的图象经过点P（1,1）,则该函数图象必经过点（）

A.（-1,1）B.（2,2）C.（-2,2）D.（2,-2）

2.若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，求b的值．

3．点M（-2，k）在直线y=2x+1上，求点M到x轴的距离d为多少?

课后反思

§11．2．2一次函数（三）

主备人：

杨军

课时学习目标：

利用一次函数知识解决相关实际问题．

教学重点

灵活运用知识解决相关问题．

教学难点

灵活运用有关知识解决相关问题．

教学过程

1．提出问题，创设情境

我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？

这将是我们这节课要解决的主要问题.

Ⅱ．导入新课

下面我们来学习一次函数的应用．

P32例5

我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．

例6通过这一活动让学生逐步学会应用有关知识寻求出解决实际问题的方法，提高灵活运用能力．

教师活动：

引导学生讨论分析思考．从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题．

总结:

解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样就可以利用函数知识来解决了．

在解决实际问题过程中，要注意根据实际情况确定自变量取值范围．就像刚才那个变形题一样，如果自变量取值范围弄错了，很容易出现失误，得到错误的结论．

Ⅲ练习P34

Ⅳ．小结

本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性．

Ⅴ．课后作业

习题11．2─7、9、11、12题．

课后反思

一次函数与一元一次方程学案（第4课时）

主备人：

杨军

课时学习目标：

1、理解一次函数与一元一次方程的关系；

2、会根据一次函数的图像解决一元一次方程的求解。

学习重点：

用一次函数的图像来联系求解一元一次方程。

学习难点：

一次函数与一元一次方程的关系的发现、归纳、和运用。

学习过程：

一，引入与探讨：

探讨一次函数与一元一次方程的关系。

问题1：

解方程2x＋20=0它的解为

问题2：

自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？

联想：

问题

（1），

（2）是同一个问题吗？

问题3：

画出直线y=2x＋20的图像，并确定它与x轴交点的坐标。

析：

由图像可知，直线y=2x＋20与x轴的交点坐标是（　，）。

联想：

直线y=2x＋20与x轴交点的坐标与方程2x＋20=0的解有什么关系？

通过探究可以发现：

由于任何一元一次方程都可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为求一次函数y=函数值为0时的相应的自变量的值。

从图像上看，这又相当于求直线y=与轴交点的横坐标。

简言之：

求一元一次方程的解就是求一次函数与x轴交点的横坐标。

二、例题演示

例、一个物体现在的速度为5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，那么，再过几秒，其速度是17米/秒？

解：

速度y与时间x的函数关系是

当y=时，=17,即2x-12=0

画出y=2x-12的图像

显然，直线y=2x-12与x轴的交点为（）。

∴x=

[做一做]当x满足什么条件时，函数y=3x＋8的值满足下列条件：

（1）y=0

（2）y=-7

三．巩固检测

1.直线y=3x＋9与x轴的交点是（）

2．画出函数y=2x-1的图像，并利用图像求方程1-2x=0的解。

【分析】画出函数图像后，求出直线y=2x-1与x轴交点的横坐标，即为2x-1=0的解，也就是1-2x=0的解。

3.已知函数y=-2x＋4,从一次函数的角度求方程-2x＋4=0的解。

4.已知直线y=-2x＋4与x轴交点A,与y轴交点B，求⊿AOB的面积。

四．你本节收获了什么？

课后反思

一次函数与一元一次方程学案（第5课时）自我测验

主备人：

杨军

★我真的很聪明，我会选﹗

1.直线y=kx+3与x轴的交点是（1，0），则k的值是（）。

A、3B、2C、-2D、-3

2.已知直线y=kx+b与直线y=3x-1交于y轴同一点，则b的值是（）

A.1B.-1C1/3D-1/3

3.已知y=y1+y2,其中y1=2x,y2=3x-1,则y=y1+y2的图像经过（）象限。

A.一，二，三B一，二，四C二，三，四D一，三，四

★我很棒，我能填﹗

4.已知关于Ｘ的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交战坐标是_______.

5.方程3x+2=8的解是_____,则函数y=3x+2在自变量x等于____时的函数值是8.

6.直线y=2x+b与直线y=3x-4的交点在x轴上，则b的值为_______.

7.在直角坐标系中，若直线y=1/2x-2与直线y=-1/4x+a相交与x轴，则直线y=-1/4x+a不经过第_______象限。

★探究乐园

8.有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个特征。

可心：

图象与x轴交于点（６，０）。

黄瑶：

图象与x轴、y轴围成的三角形的面积是9.

你知道这个一次函数的关系式吗？

9.已知一次函数的图象过点Ｂ（０，-２），且与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为３.求一次函数的解析式。

10.某同学将父母给的零用钱探疑每朋相等的数额放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内原来有40元，２个月后盒内有80元。

（１）求盒内钱数y（元）与存钱月数x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）

（２）在直角坐标系中作出该函数的图象。

（３）观察图象回答：

按上述方法，该同学经过_____个月能存够200元。

解：

1.y=____________

2.列表

x

0

1

Y=____________

3.作图

课后反思

八年级学案一次函数与二元一次方程（组）（第6课时）

主备人：

杨军

课时学习目标：

理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，掌握用一次函数图像求方程组的解的方法。

学习重点：

利用一次函数图像解二元一次方程组和一些简单的实际问题。

学习难点：

把函数和方程（组）、不等式有机结合起来，灵活解决问题。

教学过程：

（一）思维训练：

问题：

y=3x+1这是什么？

1.____________2.____________

（二）享受探究乐趣

活动一:

探究一次函数与二元一次方程的关系

1.对于方程3x+5y=8如何用x表示y?

y=

【想一想】是不是任意一个二元一次方程都能转化为y=kx+b的形式呢？

2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=的图象。

思考：

在一次函数y=上任取一点（x，y）

则x,y一定是方程3x+5y=8的解吗？

为什么？

归纳:

1.任意一个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.

2.一次函数图象上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解.

活动二:

探究一次函数与二元一次方程组的关系

[观察]方程组

它可转化为两个一次函数｛

在同一直角坐标系中画y=-3/5x+8/5与y=2x-1的图象

这两条直线的交点是（）是方程组的解吗?

______

【思考】是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？

（2）当自变量取何值时,函数y=-3/5x+8/5与y=2x-1的值相等?

x=

这个函数值是多少?

y=______

与方程组是同一个问题吗？

【归纳总结】:

从函数的观点看解二元一次方程组：

1.从“形”的角度看：

解方程组相当于确定两直线的

2.从“数”的角度看：

解方程组相当于考虑当为何值时,两个相等

以及这个函数值是何值。

（三）乘坐智慧快车．

解法1：

设上网时间为x分，若按方式A则收y=元；若按方式B则收

y=，在同一直角坐标系中的图像如图所示：

当0＜x＜400时，＜

当x=400时，=

当0＞400时，＞

因此，当一个月内上网时间少于400分时，选择方式合算，

当一个月内上网时间等于400分时，选择方式，

当一个月内上网时间多于400分时，选择方式合算。

四体验成功喜悦

移动电话有下面两种计费方式

全球通

神州行

月租费

50元∕月

0

本地通话费

0.4元∕分

0.6元∕分

1.分别写出两种通讯业务每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式？

2.在同一坐标系中作出它们的图像。

3.若每月平均通话时间为300分，你选择哪类通讯业务？

4.每月通话多长时间时，两种收费方式所缴话费相同？

五：

你与同学们分享一下收获吧﹗

课后反思

§14．2．3一次函数应用第七课时

主备人：

杨军

课时学习目标：

１．学会用待定系数法确定一次函数解析式．毛

２．具体感知数形结合思想在一次函数中的应用．

３．利用一次函数知识解决相关实际问题．

教学重点

１．待定系数法确定一次函数解析式．

２．灵活运用知识解决相关问题．

教学难点

灵活运用有关知识解决相关问题．

教学过程

１．提出问题，创设情境

我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢？

如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？

这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？

Ⅱ．导入新课

有这样一个问题，大家来分析思考，寻求解决的办法．

[活动一]

活动设计内容：

已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．

联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？

活动设计意图：

通过活动掌握待定系数法在函数中的应用，进而经历思考分析，归纳总结一次函数解析式与图象之间转化规律，增强数形结合思想在函数中重要性的理解．

教师活动：

引导学生分析思考解决由图象到解析式转化的方法过程，从而总结归纳两者转化的一般方法．

学生活动：

在教师指导下经过独立思考，研究讨论顺利完成转化过程．概括阐述一次函数解析式与图象转化的一般过程．

活动过程及结论：

分析：

求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得．

设这个一次函数解析式为y=kx+b．

因为y=k+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以

解之，得

故这个一次函数解析式为y=2x-1。

结论：

[师]像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．

尝试练习：

１．已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k值．

２．已知直线y=kx+b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b值．

解答：

[师]下面我们来学习一次函数的应用．

[例]小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．

[活动二]

活动内容设计：

Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？

活动设计意图：

通过这一活动让学生逐步学会应用有关知识寻求出解决实际问题的方法，提高灵活运用能力．

教师活动：

引导学生讨论分析思考．从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题．

学生活动：

在教师指导下，经历思考、讨论、分析，找出影响总运费的变量，并认清它们之间的关系，确定函数关系，最终解决实际问题．

[师]若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？

Ⅲ．随堂练习

从Ａ、Ｂ两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，Ａ、Ｂ两水库各可调出水14万吨．从Ａ地到甲地50千米，到乙地30千米；从Ｂ地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨·千米）最少．

课后反思