第3章模态分析.docx
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第3章模态分析
第三章模态分析
3.1为什么要计算固有频率和模态
1）评估结构的动力学特性。
如安装在结构上的旋转设备，为避免其过大的振动，必须看转动部件的频率是否接近结构的任何一阶固有频率。
2）评估载荷的可能放大因子。
3）使用固有频率和正交模态，可以指导后续动态分析（如瞬态分析、响应谱分析、瞬态分析中时间步长
的选取等）
4）使用固有频率和正交模态，在结构瞬态分析时，可以用模态扩张法
5）指导实验分析，如加速度传感器的布置位置。
6）评估设计
3.2模态分析理论
考虑
假设其解为
代入得到特征方程
或
其中，
1）对N自由度系统，有N个固有频率（
，j=1,2,…,N）,特征频率，基本频率或共振频率。
2）与固有频率
对应的特征向量称为自然模态或模态形状，模态形状对应于结构扰度图
3）当结构振动时，在任意时刻，结构的形状为它的模态的线性组合
例子：
3.3自然模态与固有频率性质
（1）
正交性
（2）
的单位
单位为rad/s,也可以表示为Hz（cycles/seconds）,二者换算关系为
（3）刚体模态
图为一未约束结构，有刚体模态
如果结构完全未约束，有刚体模态存在（应力-自由模态）或机构运动，至少有一固有频率为0。
（4）自然模态的倍数依然为自然模态
如：
代表相同的振动模态
（5）模态的标准化
3.4模态能量
（1）应变-位移关系
（2）应力-应变关系
（3）静力-位移关系
（4）单元应变能
因此，对给定的模态位移
模态应变为
模态应力为
模态力为
模态应变能为
3.5特征值解法
对于方程
MSC/NASTRAN提供三类解法
a）跟踪法（Trackingmethod）
b）变换法（Tromsformationmethod）
c）兰索士法（Lamczosmethod）
3.5.1跟踪法
跟踪法解特征值问题，实质是迭代法。
对仅求几个特征值（或固有频率）的问题是一种方便方法。
MSC/NASTRAN中，提供两种迭代解法，即为逆幂法（INV）和移位逆幂法（SINV）
前者存在丢根现象；后者采用STRUM系列，避免丢根，改善收敛性。
逆幂法和移位逆幂法均用模型数据卡EIGR来定义，并用情况控制指令METHOD来选取。
3.5.2变换法
特征方程变换为：
式中矩阵[A]是用Givens法或Householder法变换得到的三角矩阵，一次求解可得全部特征值。
对于维数小、元素满的矩阵，且需求全部或大部分特征值问题十分有效；
MSC/NASTRAN提供Givens法（GIV）和修正MGIV法；
MSC/NASTRAN提供郝斯厚德（HOU）法和修正郝斯厚德（MHOU）法；
吉文斯（GIV）法和郝斯厚德（HOU）法要求[M]矩阵正定；修正吉文斯法（MGIV）与修正的郝斯厚德法（MHOU）允许[M]是奇异的，从而可求解刚体模态；
变换法用模型数据卡EIGR来描述，用情况控制METHOD选取。
5.3.3兰索士（Lanczos）法
兰索士（Lanczos）法是一种将跟踪法和变换组合起来的新的特征值解法;
对计算非常大的稀疏矩阵几个特征值问题最有效;
兰索士法用模型数据卡EIGRL描述，用情况控制METHOD选取。
5.3.4特征值方法比较
上面介绍特征值解法各有用处。
比较而言，兰索士法首先推荐的
变换法
跟踪法
兰索士法
最有效的应用
小的密的矩阵
许多特征值
大而稀疏的矩阵
许多特征值
非常大的特征值问题
会丢根吗？
HOU
GIV
MHOU
MGIV
INV
SINV
不会
不会
不会
会
不会
允许奇异质量矩阵吗？
否
是
是
是
是
得到的特征值数量
一次求解得全部特征值
一个，接近移位点
几个，接近移位点
计算量级
N为刚度矩阵的维数，B为半带宽，E为特征值个数
5.3.5Lanczos法卡片
5.3.6模态分析求解控制
（1）
执行控制
（2）
情况控制
（3）
数据模型
（4）输出控制
a）结点输出
b）单元输出
c）其他
5.3.7模态分析例子
问题：
平板的模态分析
（1）结点与单元
（2）载荷与边界条件
（3）材料与几何
（4）输入文件
（a）几何模型文件plate.bdf
$geometricinputfileforplatemodel
PSHELL11.111
CQUAD411121312
CQUAD421231413
CQUAD431341514
CQUAD441451615
CQUAD451561716
CQUAD461671817
CQUAD471781918
CQUAD481892019
CQUAD4919102120
CQUAD410110112221
CQUAD411112132423
CQUAD412113142524
CQUAD413114152625
CQUAD414115162726
CQUAD415116172827
CQUAD416117182928
CQUAD417118193029
CQUAD418119203130
CQUAD419120213231
CQUAD420121223332
CQUAD421123243534
CQUAD422124253635
CQUAD423125263736
CQUAD424126273837
CQUAD425127283938
CQUAD426128294039
CQUAD427129304140
CQUAD428130314241
CQUAD429131324342
CQUAD430132334443
CQUAD431134354645
CQUAD432135364746
CQUAD433136374847
CQUAD434137384948
CQUAD435138395049
CQUAD436139405150
CQUAD437140415251
CQUAD438141425352
CQUAD439142435453
CQUAD440143445554
MAT113.+7.3.282
GRID10.0.0.
GRID2.50.0.
GRID31.0.0.
GRID41.50.0.
GRID52.0.0.
GRID62.50.0.
GRID73.0.0.
GRID83.50.0.
GRID94.0.0.
GRID104.50.0.
GRID115.0.0.
GRID120..50.
GRID13.5.50.
GRID141..50.
GRID151.5.50.
GRID162..50.
GRID172.5.50.
GRID183..50.
GRID193.5.50.
GRID204..50.
GRID214.5.50.
GRID225..50.
GRID230.1.0.
GRID24.51.0.
GRID251.1.0.
GRID261.51.0.
GRID272.1.0.
GRID282.51.0.
GRID293.1.0.
GRID303.51.0.
GRID314.1.0.
GRID324.51.0.
GRID335.1.0.
GRID340.1.50.
GRID35.51.50.
GRID361.1.50.
GRID371.51.50.
GRID382.1.50.
GRID392.51.50.
GRID403.1.50.
GRID413.51.50.
GRID424.1.50.
GRID434.51.50.
GRID445.1.50.
GRID450.2.0.
GRID46.52.0.
GRID471.2.0.
GRID481.52.0.
GRID492.2.0.
GRID502.52.0.
GRID513.2.0.
GRID523.52.0.
GRID534.2.0.
GRID544.52.0.
GRID555.2.0.
SPC1112345112233445
（b）Nastran输入文件
IDSEMINAR,PROB1
SOL103
TIME600
CEND
TITLE=NORMALMODESEXAMPLE
ECHO=UNSORTED
SUBCASE1
SUBTITLE=USINGLANCZOS
METHOD=1
SPC=1
VECTOR=ALL
BEGINBULK
PARAMCOUPMASS1
PARAMWTMASS.00259
EIGRL1100
PSHELL11.111
CQUAD411121312
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
CQUAD411112132423
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
CQUAD421123243534
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
CQUAD431134354645
=,*1,=,*1,*1,*1,*1
=8
MAT113.+7.3.282
GRID10.0.0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID120..50.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID230.1.0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID340.1.50.
=,*1,=,*0.5,==
=9
GRID450.2.0.
=,*1,=,*0.5,==
=9
SPC1112345112233445
ENDDATA
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