九年级数学上册课时提升作业十五 222.docx
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九年级数学上册课时提升作业十五222
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2019-2020年九年级数学上册课时提升作业（十五）22.2
一、选择题（每小题4分,共12分）
1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选A.抛物线与y轴总有一个交点,由于（-1）2-4×（-3）×4=49>0,抛物线与x轴有两个交点,于是抛物线与坐标轴有3个交点.
2.（2014·黄冈马畈中学质检）函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c-2=0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
【解析】选A.由图知,函数y=ax2+bx+c的最大值是3,所以函数y=ax2+bx+c-2的图象的最大值是1,且开口向下,与x轴有两个交点,所以一元二次方程ax2+bx+c-2=0有两个不相等的实数根,C,D错;而函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两交点都在x轴的正半轴上,此图象向下平移两个单位,与x轴的两交点还在x轴的正半轴上,所以ax2+bx+c-2=0有两个同号的根,都是正的,B错;所以选A.
3.（2013·江西中考）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点,坐标分别为（x1,0）,（x2,0）,且x1A.a>0B.b2-4ac≥0
C.x1【解析】选D.抛物线与x轴有不同的两个交点,则b2-4ac>0,与B矛盾,可排除B选项;剩下A,C,D不能直接判断,我们分a>0,a<0两种情况画出两个草图来分析（如图）.
由图可知a的符号不能确定（可正可负,即抛物线的开口可向上,也可向下）,所以x0,x1,x2的大小就无法确定;在图1中,a>0且有x1二、填空题（每小题4分,共12分）
4.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根,作出了如图所示的图象,观察后得一个近似根为x1=-4.5,则方程的另一个近似根为x2= （精确到0.1）.
【解析】由函数图象可知,此函数的对称轴为x=-1,若x1=-4.5,则
=-1,解得x2=2.5.
答案:
2.5
5.已知二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点,则抛物线的顶点坐标为 _________.
【解析】因为二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点,所以b2-4ac=0,即22-4m=0,解得m=1,此时二次函数解析式为y=x2+2x+1=（x+1）2.顶点坐标为（-1,0）.
答案:
（-1,0）
【变式训练】已知二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点,则一元二次不等式x2+2x+m>0的解集为 .
【解析】因为二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点,且开口向上,所以y≥0,只有在顶点处,当x=-
=-
=-1时,y=0,即一元二次不等式x2+2x+m>0的解集为x≠-1.
答案:
x≠-1
6.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示.当y<0时,自变量x的取值范围是 .
【解析】该抛物线与x轴的交点为（-1,0）和（3,0）,当y<0时,自变量x的取值范围是-1答案:
-1【知识归纳】抛物线与x轴有两个交点时函数值的正负与x的取值范围的关系
（1）a>0时,抛物线与x轴有两个交点（x1,0）,（x2,0）,不妨令x10时的x的取值范围是xx2;y<0时的x的取值范围是x1（2）a<0时,抛物线与x轴有两个交点（x1,0）,（x2,0）,不妨令x10时的x的取值范围是x1x2.
三、解答题（共26分）
7.（8分）（2014·邮亭中学月考）已知抛物线y=
x2+x+c与x轴有两个不同的交点.
（1）求c的取值范围.
（2）抛物线y=
x2+x+c与x轴的两交点间的距离为2,求c的值.
【解题指南】解答本题的关键:
抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,且x1+x2=-
x1·x2=
.
【解析】
（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点,
∴Δ>0,即1-2c>0,解得c<
.
（2）设抛物线y=
x2+x+c与x轴的两交点的横坐标为x1,x2（x1>x2）,
∵两交点间的距离为2,
∴x1-x2=2.
由题意,得x1+x2=-2,
解得x1=0,x2=-2,
∴2c=x1x2=0,即c的值为0.
8.（8分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根.
（2）写出不等式ax2+bx+c>0的解集.
（3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【解析】
（1）由图象知,对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（3,0）,与x轴的另一个交点坐标为（1,0）,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3.
（2）由图知,当10的解集是1（3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,则二次函数y=ax2+bx+c-k的图象与x轴有两个交点,所以k<2.
【互动探究】若第（3）小题中“有两个不相等的实数根”改为“没有实数根”,则k的取值范围是什么?
【解析】若方程ax2+bx+c=k没有实数根,则二次函数y=ax2+bx+c-k的图象与x轴没有交点,即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移的距离大于2,所以k的取值范围是k>2.
【培优训练】
9.（10分）（2013·广州中考）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0,a≠c）过点A（1,0）,顶点为B,且抛物线不经过第三象限.
（1）用a,c表示b.
（2）判断点B所在象限,并说明理由.
（3）若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C（
b+8）,求当x≥1时y1的取值范围.
【解析】
（1）∵抛物线过点A（1,0）,
∴a+b+c=0,∴b=-a-c.
（2）B在第四象限.理由如下:
因为方程ax2+bx+c=0两根为x1=1,x2=
a≠c,
所以抛物线与x轴有两个交点.
又因为抛物线不经过第三象限,
所以a>0,且顶点在第四象限.
（3）由
（2）知抛物线与x轴两个交点为A（1,0）与
.
∵直线y2=2x+m与该抛物线交于点B、点C
∴点C就是抛物线与x轴的一个交点,即b+8=0,b=-8,此时-a-c=-8,y1=ax2-8x+c,抛物线顶点B的坐标为
.
把B,C两点代入直线解析式y2=2x+m,得ac+2c=24.
又a+c=8,解得a=c=4（与a≠c矛盾,舍去）或a=2,c=6.∴y1=2x2-8x+6,B（2,-2）.
画出上述二次函数的图象,观察图象知,当x≥1时,y1的最小值为顶点纵坐标-2,且无最大值.
∴当x≥1时,y1的取值范围是y1≥-2.
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2019-2020年九年级数学上册课时提升作业（十八）23.1
一、选择题（每小题4分,共12分）
1.（2013·济南中考）如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,0）,B（-2,3）,C（-3,1）.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,得到
△AB′C′,则点B′的坐标为（ ）
A.（2,1）B.（2,3）
C.（4,1）D.（0,2）
【解析】选A.如图所示,点B′的坐标是（2,1）.
2.如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C,若∠A=40°,∠B′=110°,则∠BCA′的度数是（ ）
A.110° B.80°
C.40° D.30°
【解析】选B.根据旋转的性质,对应角相等,可以得到∠ABC=∠B′=110°,因为△ABC的内角和为180°,得到∠ACB=30°,所以∠BCA′=30°+50°=80°.
【变式训练】如图,在Rt△OAB中,∠AOB=30°,将△AOB绕点O逆时针方向旋转得到△OA1B1,如果∠A1OB=70°,则旋转角为 .
【解析】根据旋转的性质,对应角相等,可以得到∠AOA1=∠A1OB+∠BOA,
所以∠AOA1=70°+30°=100°.
答案:
100°
3.如图,在△ABC中,∠CAB=75°.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到
△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=（ ）
A.30°B.35°C.40°D.50°
【解析】选A.∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,
∴AC=AC′,∠BAC=∠B′AC′,
∵CC′∥AB,∠CAB=75°,∴∠ACC′=∠CAB=75°,
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°,
∵∠BAB′=∠CAC′,∴∠BAB′=30°.
二、填空题（每小题4分,共12分）
4.（2013·广州中考）如图,Rt△ABC的斜边AB=16,Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′,则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D′的长度为 .
【解析】旋转是全等变换,
所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′,
∴A′B′=AB=16,∴C′D′=
A′B′=8.
答案:
8
5.如图,在△ABC中,AB=2,BC=3.6,∠B=60°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定的角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,则CD的长为 .
【解析】由旋转的特征知AD=AB,又∠B=60°,所以△ADB为等边三角形,所以BD=AB=2,CD=BC-BD=3.6-2=1.6.
答案:
1.6
【互动探究】若将题干中“CD的长”改为“旋转的角度”,则本题的答案是什么?
【解析】由旋转的特征知AD=AB,又∠B=60°,
所以△ADB为等边三角形,所以∠DAB=60°,
故旋转的角度为60°.
答案:
60°
6.（2013·南京中考）如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α（0°<α<90°）.若∠1=110°,则α= °.
【解析】∵四边形ABCD和AB′C′D′均为矩形,∴∠BAD=∠B=∠D′=90°.
∵∠1=110°,∴∠2=110°,∴∠BAD′=70°,∴α=20°.
答案:
20
【易错提醒】旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角,在本题中∠BAB′和
∠DAD′都表示旋转角,有时候往往误认为∠BAD′表示旋转角.
三、解答题（共26分）
7.（8分）如图,把△ABC绕着点A旋转,使点C和点D重合,画出旋转后的图形.
【解析】分别确定点A,B的对应点,画图如下:
【知识归纳】旋转作图的“四个步骤”
1.连:
连接图形中关键点和旋转中心.
2.转:
把连线按照要求绕旋转中心转动一定的角度.
3.截:
在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,从而得到一个对应点.
4.连:
按照原来的顺序连接各个对应点.
8.（8分）（2013·毕节中考）四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
（1）求证:
△ADE≌△ABF.
（2）填空:
△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点,按顺时针方向旋转 度得到.
（3）若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形,F是CB延长线上一点,∴AB=AD,∠ABF=
∠D=90°,
又∵DE=BF,
∴△ADE≌△ABF（SAS）.
（2）∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵△ADE旋转后能与△ABF重合,
∴∠FAE=∠BAD=90°.
故以A为旋转中心顺时针旋转90°.
答案:
A 90
（3）由
（1）△ADE≌△ABF可得∠FAB=∠EAD,AE=AF,
∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE,即∠FAE=∠BAD=90°,∴△AEF为等腰直角三角形,
∴S△AEF=
AE·AF=
AE·AE=
AE2.
若BC=8,DE=6,则AD=BC=8,
AE=
=
=10,
S△AEF=
AE2=
×102=50.
答:
△AEF的面积为50.
【知识归纳】找旋转中心的两个方法
1.旋转的过程中位置没有变化的点.
2.旋转中心就是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点.
【培优训练】
9.（10分）（2013·北京中考）在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α（0°<α<60°）,将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
（1）如图
（1）,直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）.
（2）如图
（2）,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明.
（3）在
（2）的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.
【解析】
（1）∠ABD=30°-
α.
（2）△ABE为等边三角形.
理由:
连接AD,CD,∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD,
则BC=BD,∠DBC=60°,
又∵∠ABE=60°,∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-
α;
∵△BCD为等边三角形,在△ABD与△ACD中,
∴△ABD≌△ACD（SSS）,
∴∠BAD=∠CAD=
∠BAC=
α,
∵∠BCE=150°,
∴∠BEC=180°-
-150°=
α.
在△EBC与△ABD中,
∴△EBC≌△ABD（AAS）,
∴AB=BE,又∵∠ABE=60°,
∴△ABE为等边三角形.
（3）∵∠BCD=60°,∠BCE=150°.
∴∠DCE=150°-60°=90°,
∵∠DEC=45°.
∴△DCE为等腰直角三角形,
∴DC=CE=BC,
∵∠BCE=150°,∴∠EBC=
=15°.
而∠EBC=30°-
α=15°,∴α=30°.
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