八年级上数学自创拔高练习习题集解答题Word下载.docx
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(2)在x轴上画出点P,使PA+PC最小.
11.(2014•菏泽)
(1)在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,求线段DE的长.
(2)已知x2﹣4x+1=0,求
﹣
的值.
12.如图:
在△ABC,AB=AC,AD=DE=EF=BF=BC,求△ABC各内角的度数.
13.如图,△ABC中,AB=AC,D在BC上(D不在BC中点),DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BG⊥AC于G,求证:
DE+DF=BG.
14.如图,△ABC是正三角形,将各边三等分,设分点分别为D、E、F、G、H、I.求证:
六边形DEFGHI是正六边形.
15.(2012•房山区二模)已知x=y+4,求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值.
16.(2008•丰台区一模)分解因式:
x3﹣4x.
17.(2013•大庆)已知ab=﹣3,a+b=2.求代数式a3b+ab3的值.
18.已知m2a+3b=25,m3a+2b=125,求ma+b的值.
19.若(x2+2nx+3)(x2﹣5x+m)中不含奇次项,求m、n的值.
20.计算:
(
)2.
21.计算:
(2+1)(22+1)(24+1)•…•(22048+1)+1.
22.计算题:
(1)
;
(2)a•a2•a3+(a3)2﹣(﹣2a2)3.
23.计算:
1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12.
24.计算:
(2)分解因式:
﹣4x2+9
(3)(x﹣y)2﹣(y+2x)(y﹣2x)
(4)(﹣2xy2)2•3x2y÷
(x3y4)
25.如图:
△ABC是等边三角形,O是∠B、∠C两角平分线的交点,EO⊥BO,FO⊥CO.求证:
△AEF的周长等于BC的长.
参考答案与试题解析
考点:
三角形三边关系;
轴对称的性质.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
延长BA,取点F使AF=AC,连接EF,构造三角形全等,再利用三角形三边关系找到BC、BE、CE和BC、AB、AC之间的关系即可找到结论.
解答:
证明:
延长BA到F,使AF=AC,连接EF,
∠FAE=∠NAB=90°
﹣∠BAD=90°
﹣∠CAD=∠CAE,
在△ACE和△AFE中,
,
∴△ACE≌△AFE(SAS),
∴CE=EF,
∵BE,EF,BF为△BEF三边,
∴BE+EF>BF,
∴BE+CE>AB+AF,
∴BE+CE>AB+AC,
∴BC+BE+CE>BC+AB+AC,
即R>S.
点评:
本题主要考查三角形全等的判定和性质及三角形的三边关系,构造三角形全等找到边之间的关系是解题的关键.
多边形内角与外角;
翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
根据四边形的内角和为180°
,有∠1+∠2+∠FEA1+∠EFB1+∠D+∠C=360°
,又,∠C=72°
,则∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=207°
又∠AEF+∠BFE+∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=360°
,∠FEA1+∠EFB1=∠AEF+∠BFE,即可求出答案.
解:
由题意得:
∠1+∠2+∠FEA1+∠EFB1+∠D+∠C=360°
又∠C=72°
则∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=207°
又四边形A1B1FE是四边形ABEF翻转得到的,
∴∠FEA1+∠EFB1=∠AEF+∠BFE,
∴∠FEA1+∠EFB1=153°
∴∠1+∠2=54°
.
本题考查了翻转变换及多边形的内角和的知识,有一定难度,找准各个角的关系是关键.
多边形内角与外角.菁优网版权所有
根据多边形的内角和与外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可.
设该多边形的边数为n
则(n﹣2)×
180°
:
360=9:
2,
解得:
n=11.
故它的边数为11.
本题考查了多边形的内角与外角,解题的关键是牢记多边形的内角和公式与外角和定理.
三角形内角和定理;
角平分线的定义;
三角形的外角性质.菁优网版权所有
根据三角形外角定理和角平分线的定义求得同位角∠BAC=∠BED;
然后由平行线的判定定理推知DE∥AC;
最后根据两直线平行,同位角相等可以求得∠BDE=∠C=76°
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BAC=2∠BAD;
又∵∠BED=∠BAD+∠ADE(外角定理),∠BAD=∠ADE(已知),
∴∠BED=2∠BAD,
∴∠BAC=∠BED(等量代换),
∴DE∥AC(同位角相等,两直线平行),
∴∠BDE=∠C(两直线平行,同位角相等),
∴∠C=76°
本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质.三角形外角定理:
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
证明题;
压轴题.
欲证DE=DF,可利用三角形全等来证,经过观察我们不难发现要证的两条线段分别放在三角形DCE和三角形DBF中,首先我们根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出一对边CD与BD的相等,再根据等边对等角得一对对应角的相等,最后根据题中已知的CF=BE,都加上中间的公共部分BC可得CE和BF这对对应边的相等,利用SAS证得到三角形的全等,根据全等三角形的对应边相等即可得证.
∵在△ABC中,∠ACB=90°
,点D是AB的中点,
∴CD=BD,
∴∠DCE=∠DBF,
∵CF=BE,
∴CF+BC=BE+BC,即CE=BF,
在△DCE和△DBF,
∴△DCE≌△DBF(SAS),
∴DE=DF.
熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,以及等角对等边这一性质的运用.全等三角形的判定与性质是我们初中数学的重点,是中考必考的题型.
求出∠BAD=∠EAC,根据SAS证△BAD≌△EAC,根据全等三角形的性质推出即可.
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,
∴∠BAD=∠EAC,
在△BAD和△EAC中
∴△BAD≌△EAC(SAS),
∴BD=EC.
本题考查了全等三角形的性质和判定,注意:
全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应边相等.
全等三角形的判定与性质;
等边三角形的判定与性质;
等腰直角三角形.菁优网版权所有
(1)根据等腰直角△ABC,求出CD是边AB的垂直平分线,求出CD平分∠ACB,根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠CDE=60°
即可.
(2)连接MC,可得△MDC是等边三角形,可求证∠EMC=∠ADC.再证明△ADC≌△EMC即可.
(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠ABC=45°
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠BAD=∠ABD=45°
﹣15°
=30°
,∠ABD=∠ABC﹣15°
∴BD=AD,
∴D在AB的垂直平分线上,
∵AC=BC,
∴C也在AB的垂直平分线上,
即直线CD是AB的垂直平分线,
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠CDE=15°
+45°
=60°
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°
∴∠CDE=∠BDE,
即DE平分∠BDC.
(2)如图,连接MC.
∵DC=DM,且∠MDC=60°
∴△MDC是等边三角形,即CM=CD.∠DMC=∠MDC=60°
∵∠ADC+∠MDC=180°
,∠DMC+∠EMC=180°
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA,
∴∠DAC=∠CEM.
在△ADC与△EMC中,
∴△ADC≌△EMC(AAS),
∴ME=AD=BD.
此题主要考查等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质的等知识点,难易程度适中,是一道很典型的题目.
根据已知条件∠BAD=∠EAC,可知∠BAC=∠EAD,所以有
,可证△ABC≌△AED(SAS);
然后根据全等三角形的对应角相等求得∠ABC=∠AED.
∵∠BAD=∠EAC(已知),
∴∠BAC=∠EAD.
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS).
∴∠ABC=∠AED(全等三角形的对应角相等).
本题考查三角形全等的性质和判定方法.判定两个三角形全等的一般方法有:
ASA、SSS、SAS、SSA、HL.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
等腰三角形的判定.菁优网版权所有
探究型.
根据全等三角形的判定定理SAS证明△ABC≌△ECB,又有全等三角形的对应角相等知,∠BAC=∠CEB;
然后由平角是180°
∠CEB+∠DEC=180°
、已知条件∠BAC+∠BDC=180°
,依据等量代换求得△EDC的两个底角∠DEC=∠BDC,即可判定CE=CD,所以△EDC是等腰三角形.
△EDC是等腰三角形;
证明如下:
在△ABC和△ECB中,
∴△ABC≌△ECB(SAS).
∴∠BAC=∠CEB.
又∵∠BAC+∠BDC=180°
,∠CEB+∠DEC=180°
∴∠DEC=∠BDC.
∴CE=CD.即△EDC是等腰三角形.
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定.解题时,借助于平角是180°
的知识,利用等量代换求得△EDC的两个底角∠DEC=∠BDC,所以由等角对等边即可判定CE=CD.
轴对称-最短路线问题;
作图-轴对称变换.菁优网版权所有
作图题.
(1)根据轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点A′、B′、C′,分别连接各点即可;
(2)先找出C先找出C点关于x轴对称的点C″(4,﹣3),连接C″A交x轴于点P,则点p即为所求点.
分别作A、B、C的对称点,A′、B′、C′,由三点的位置可知:
A′(﹣1,2),B′(﹣3,1),C′(﹣4,3)
(2)先找出C点关于x轴对称的点C″(4,﹣3),连接C″A交x轴于点P,
(或找出A点关于x轴对称的点A″(1,﹣2),连接A″C交x轴于点P)则P点即为所求点.
本题考查的是最短路线问题及轴对称的性质,解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识.
等腰三角形的判定与性质;
分式的化简求值;
平行线的性质;
直角三角形斜边上的中线.菁优网版权所有
(1)求出∠CAD=∠BAD=∠EDA,推出AE=DE,求出∠ABD=∠EDB,推出BE=DE,求出AE=BE,根据直角三角形斜边上中线性质求出即可.
(2)化简以后,用整体思想代入即可得到答案.
(1)∵AD平分∠BAC,
∵DE∥AC,
∴∠CAD=∠ADE,
∴∠BAD=∠ADE,
∴AE=DE,
∵AD⊥DB,
∴∠ADB=90°
∴∠EAD+∠ABD=90°
,∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°
∴∠ABD=∠BDE,
∴DE=BE,
∵AB=5,
∴DE=BE=AE=
=2.5.
(2)原式=
=
∵x2﹣4x+1=0,∴x2﹣4x=﹣1,
原式=
本题考查了平行线的性质,等腰三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质的应用,关键是求出DE=BE=AE.学会用整体思想解答有关问题是我们学习的关键.
等腰三角形的性质.菁优网版权所有
设∠A=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.
设∠A=x.
∵AD=DE,
∴∠AED=∠A=x,
∴∠CDE=2x,
∵DE=EF,
∴∠EFD=∠EDF=2x;
∴∠BEF=3x,
∵EF=BF,
∴∠FBE=∠BEF=3x;
∴∠BFC=4x,
∵BF=BC,
∴∠BFC=∠BCA=4x,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠BCA=4x,
∵x+4x+4x=180°
∴x=20°
故∠A=20°
,∠ABC=∠ACB=80°
本题考查等腰三角形的性质;
利用了三角形的内角和定理得到相等关系,通过列方程求解是正确解答本题的关键.
等腰三角形的性质;
三角形的面积.菁优网版权所有
连结AD.根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积,以及AB=AC,即可得到DE+DF=BG.
连结AD.
则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积,
AB•DE+
AC•DF=
AC•BG,
∴DE+DF=BG.
考查了三角形的面积和等腰三角形的性质,本题关键是根据三角形面积的两种不同表示方法求解.
等边三角形的性质.菁优网版权所有
由条件可证明△ADI、△BEF、△CGH均为正三角形,可得到六边形DEFGHI的六个边都相等,再利用等边三角形的角都为60°
,可证明六边形DEFGHI的六个内角也都相等,可得结论.
∵△ABC为正三角形,
∴∠A=60°
,AB=AC,
∵D、I三等分AB和AI,
∴AD=AI,
∴△ADI为正三角形,
同理可得△BEF、△CGH均为正三角形,
∴DE=EF=FG=GH=HI=ID,
且∠ADI=∠AID=∠BEF=∠BFE=∠CGH=∠CHG=60°
∴∠EDI=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHI=∠HID=120°
∴六边形DEFGHI是正六边形.
本题主要考查正三角形的性质和判定,掌握证明六边形的所有的边都相等,所有的内角都相等是解题的关键.
因式分解的应用.菁优网版权所有
根据已知条件“x=y+4”可知“x﹣y=4”;
然后将所求的代数式转化为含有x﹣y的形式,将x﹣y的值代入求值即可.
∵x=y+4,
∴x﹣y=4,
∴2x2﹣4xy+2y2﹣25=2(x2﹣2xy+y2)﹣25=2(x﹣y)2﹣25=2×
16﹣25=7.
本题主要考查完全平方公式,熟记公式结构是解题的关键.完全平方公式:
(a±
b)2=a2±
2ab+b2.
提公因式法与公式法的综合运用.菁优网版权所有
先提取公因式x,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.
原式=x(x2﹣4),
=x(x+2)(x﹣2).
本题考查了提公因式法,公式法分解因式.注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻底.
由a+b=2,ab=﹣3,可得a2+b2=10,因为(a2+b2)ab=a3b+ab3,所以a3b+ab3=﹣30.
∵a+b=2,
∴(a+b)2=4,
∴a2+2ab+b2=4,
又∵ab=﹣3,
∴a2﹣6+b2=4
∴a2+b2=10,
∴(a2+b2)ab=a3b+ab3=﹣30.
本题为代数式求值题,主要考查整体思想,是一道比较基础的题目,要认真掌握,并确保得分.
幂的乘方与积的乘方;
同底数幂的乘法.菁优网版权所有
先根据同底数幂相乘得出m2a+3b•m3a+2b=m5a+5b再根据幂的乘方底数不变指数相乘得到(ma+b)5=25×
125,可得答案.
∵m2a+3b•m3a+2b=m5a+5b=(ma+b)5=25×
125,
∴ma+b=
=5.
本题考查了同底数幂相乘以及幂的乘方的逆运算,熟练掌握运算法则是解题的关键.
多项式乘多项式.菁优网版权所有
把式子展开,让x4的系数,x2的系数为0,得到m,n的值.
(x2+2nx+3)(x2﹣5x+m)
=x4﹣5x3+mx2+2nx3﹣10nx2+2mnx+3x2﹣15x+3m
=x4+(2n﹣5)x3+(m﹣10n+3)x2+(2mn﹣15)x+3m,
∵结果中不含奇次项,
∴2n﹣5=0,2mn﹣15=0,
解得m=3,n=
本题主要考查了多项式乘多项式的运算,注意当要求多项式中不含有哪一项时,应让这一项的系数为0.
完全平方公式.菁优网版权所有
先把分子分母分别乘方,再把分子利用完全平方公式计算即可.
)2
本题主要考查完全平方公式,熟记公式是解题的关键.
平方差公式.菁优网版权所有
把前面的算式乘(2﹣1),进一步利用平方差公式计算即可.
原式=(2﹣1)×
(2+1)×
(22+1)×
(24+1)×
…×
(22048+1)+1
=(22﹣1)×
=(24﹣1)×
=(28﹣1)×
=(22048﹣1)×
=24096﹣1+1
=24096
本题考查了平方差公式,运用平方差公式计算时,关键要找相同项和相反项,其结果