C．将电荷量为q的正电荷从A点移到B点，电场力做正功，电势能减少
D．将电荷量为q的负电荷分别放在A，B两点，电荷具有的电势能EpA>EpB
例6：
如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。
已知A点的电势φA＝30V，B点的电势φB＝－10V，则C点的电势（ ）
A．φC＝10VB．φC>10V
C．φC<10VD．上述选项都不正确
解：
由图看出，ac段电场线比bc段电场线密，ac段场强较大，根据公式U=Ed可知，a、c间电势差Uac大于b、c间电势差Ucb，即φa-φc＞φc-φb，得到φc＜．所以选项C正确．
4.电势高低与电势能大小的判断
1．电势高低常用的两种判断方法
（1）依据电场线的方向——沿电场线方向电势逐渐降低
（2）依据UAB＝，若UAB>0，则φA>φB，若UAB<0，则φA<φB。
（3）取无穷远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷近处电势高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷近处电势低。
2．电势能增、减的判断方法
（1）做功判断法——电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加。
（2）公式法——由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大电势能越大，Ep的负值越小，电势能越大。
（3）能量守恒法——在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，电势能增加。
例7：
某形状不规则的导体置于静电场中，由于静电感应，在导体周围出现了如图所示的电场分布，图中虚线表示电场线，实线表示等势面，A、B、C为电场中的三个点。
下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势高于B点的电势
B．将电子从A点移到B点，电势能减小
C．A点的电场强度大于B点的电场强度
D．将电子从A点移到C点，再从C点移到B点，电场力做功为零
5.图象在电场中的应用
1．vt图象：
根据vt图象的速度变化、斜率变化（即加速度大小的变化），确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化。
2．φx图象：
（1）斜率表示电场强度大小，电场强度为零处，φx图线存在极值，其切线的斜率为零。
（2）在φx图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
（3）在φx图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，作出判断。
3．Ex图象：
（1）反映了电场强度随位移变化的规律。
（2）E>0表示场强沿x轴正方向；E<0表示场强沿x轴负方向。
（3）图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，电场方向判定电势高低。
例8：
在如图甲所示的电场中，一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，则它运动的vt图象可能是图乙中的（ B ）
例9：
（多选）如图甲所示，有一绝缘圆环，圆环上均匀分布着正电荷，圆环平面与竖直平面重合。
一光滑细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环，细杆上套有一个质量为m＝10g的带正电的小球，小球所带电荷量q＝5.0×10－4C。
小球从C点由静止释放，其沿细杆由C经B向A运动的vt图象如图乙所示。
小球运动到B点时，速度图象的切线斜率最大（图中标出了该切线）。
则下列说法正确的是（ ）
A．在O点右侧杆上，B点场强最大，场强大小为E＝1.2V/m
B．由C到A的过程中，小球的电势能先减小后变大
C．由C到A电势逐渐降低
D．C、B两点间的电势差UCB＝0.9V
例10：
（多选）在x轴上有平行于x轴变化的电场，各点电场强度随x轴变化如图。
规定x轴正向为E的正方向。
一负点电荷从坐标原点以一定的初速度沿x轴正方向运动，点电荷到达x2位置速度第一次为零，在x3位置第二次速度为零，不计粒子的重力。
下列说法正确的是（ ）
A．O点与x2和O点与x3电势差UOx2＝UOx3
B．点电荷的加速度先减小再增大，然后保持不变
C．O～x2之间图象所包围的面积大于0～x3之间Ex图象所包围的面积
D．点电荷在x2、x3位置电势能最大
6.三点电荷平衡模型
建模条件:
两个点电荷在第三个点电荷处的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等、方向相反。
模型特点
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上。
“两同夹异”——正负电荷相互间隔。
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小。
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
例11：
如图所示三个点电荷q1、q2、q3在同一条直线上，q2和q3的距离为q1和q2距离的两倍，每个点电荷所受静电力的合力为零，由此可以判定，三个点电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为（ ）
A．（－9）∶4∶（－36） B．9∶4∶36
C．（－3）∶2∶（－6） D．3∶2∶6
例12：
两个可自由移动的点电荷分别在A、B两处，如图，A处电荷带正电Q1，B处电荷带负电Q2，且Q2＝4Q1，另取一个可以自由移动的点电荷Q3，放在直线AB上，欲使整个系统处于平衡状态，则（ ）
A．Q3为负电荷，且放于A左方
B．Q3为负电荷，且放于B右方
C．Q3为正电荷，且放于A与B之间
D．Q3为正电荷，且放于B右方
7.带电粒子在电场中的偏转
示波管
1.构造如图所示，它主要由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。
2．工作原理
（1）如果偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，则电子枪射出的电子沿直线运动，打在荧光屏中心，在那里产生一个亮斑。
（2）示波管的YY′偏转电极上加的是待显示的信号电压，XX′偏转电极上加的是仪器自身产生的锯齿形电压，叫做扫描电压。
若所加扫描电压和信号电压的周期相同，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内变化的稳定图象。
设粒子带电荷量为q，质量为m，两平行金属板间的电压为U，板长为l，板间距离为d（忽略重力影响），则有
（1）加速度：
a＝＝＝。
（2）在电场中的运动时间：
t＝。
（3）速度
v＝，tanθ＝＝。
（4）位移
两个结论
（1）不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角度和偏移量y总是相同的。
证明：
由qU0＝mv及tanφ＝，得tanφ＝。
y＝＝。
（2）粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到电场边缘的距离为。
例13：
如图所示，真空中水平放置的两个相同极板Y和Y′长为L，相距d，足够大的竖直屏与两板右侧相距b。
在两板间加上可调偏转电压UYY′，一束质量为m、带电量为＋q的粒子（不计重力）从两板左侧中点A以初速度v0沿水平方向射入电场且能穿出。
（1）证明粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心O点；
（2）求两板间所加偏转电压UYY′的范围；（3）求粒子可能到达屏上区域的长度。
答案
（2）－≤UYY′≤（3）
解：
（1）设粒子在运动过程中的加速度大小为a，离开偏转电场时偏转距离为y，沿电场方向的速度为vy，偏转角为θ，其反向延长线通过O点，O点与板右端的水平距离为x，则有
联立可得x=L/2
即粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心
（2）a=Eq/m，e=U/d由上面两式解得
当y=d/2时，
则两板间所加电压的范围
（3）当y=d/2时，粒子在屏上侧向偏移的距离最大（设为y0），则而
解得
则粒子可能到达屏上区域的长度为
8.带电粒子在交变电场中运动的分析方法
（1）注重全面分析（分析受力特点和运动规律），抓住粒子的运动具有周期性和空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的边界条件。
（2）分析时从两条思路出发：
一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
（3）此类题型一般有三种情况：
①粒子做单向直线运动（一般用牛顿运动定律求解）；
②粒子做往返运动（一般分段研究）；
③粒子做偏转运动（一般根据交变电场特点分段研究）。
利用图像和运动独立性解题。
例14：
（多选）如图，A板的电势UA＝0，B板的电势UB随时间的变化规律如图所示。
电子只受电场力的作用，且初速度为零（设两板间距足够大），则（ ）
A．若电子是在t＝0时刻进入的，它将一直向B板运动
B．若电子是在t＝0时刻进入的，它将时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
C．若电子是在t＝时刻进入的，它将时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
D．若电子是在t＝时刻进入的，它将时而向B板运动，时而向A板运动
【答案】ACD
【解析】电子若是在t＝0时刻进入，先受向上的电场力作用，加速向上运动，之后受向下的电场力作用做匀减速直线运动，速度时间图像：
A对，B错；
若0＜t＜，电子先加速向B板运动、再减速运动至零；然后再反方向加速运动、减速运动至零；如此反复运动，每次向上运动的距离大于向下运动的距离，最终打在B板上，C对；
若电子是在t＝T/4时刻进入的先加速向B板运动、再减速运动至零；然后再反方向加速运动、减速运动至零；如此反复运动。
每次向上运动的距离等于向下运动的距离，做往复运动，D对；
故答案选ACD。
例15：
如图甲所示，真空中竖直放置两块相距为d的平行金属板P、Q，两板间加上如图乙所示最大值为U0的周期性变化的电压，在紧靠P板处有粒子源A，自t＝0开始连续释放初速不计的粒子，经一段时间从Q板小孔O射出电场，已知粒子质量为m，电荷量为＋q，不计粒子重力及相互间的作用力，电场变化周期T＝3d。
试求：
（1）t＝0时刻释放的粒子在P、Q间运动的时间；
（2）粒子射出电场时的最大速率和最小速率。
解：
（1）设t=0时刻释放的粒子在时间内一直做匀加速直线运动，其加速度大小为a，位移为x，则由牛顿第二定律、电场力公式和运动学公式得:
解得
可见，该粒子在时间内恰好运动到O处，该粒子在P、Q间运动的时间为：
（2）分析可知，在t=0时刻释放的粒子一直在电场中加速，对应进入磁场时的速率最大． 设最大速率为vmax，由运动学公式得，vmax
设在t1时刻释放的粒子先做匀加速直线运动，经△t后，再做匀速直线运动，在T时间恰好由小孔O射入磁场．设此时粒子的速度大小为v1，则由运动学公式得：
解得：
v1
9.带电粒子在电场运动的综合问题
例16如图所示，整个空间存在水平向左的匀强电场，一长为L的绝缘轻质细硬杆一端固定在O点、另一端固定一个质量为m、电荷量为＋q的小球P，杆可绕O点在竖直平面内无摩擦转动，电场的电场强度大小为E＝。
先把杆拉至水平位置，然后将杆无初速度释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ）
A．小球到最低点时速度最大
B．小球从开始至最低点过程中动能一直增大
C．小球对杆的最大拉力大小为
D．小球可绕O点做完整的圆周运动
解：
如图所示，小球受到的重力和电场力分别为mg和qE＝，此二力的合力为F＝、与竖直方向成30°角，可知杆转到此位置时小球速度最大，A错，B对；设小球的最大速度为v，从释放到小球达到最大速度的过程，应用动能定理有：
F（1+
设小球速度最大时，杆对小球的拉力为Fm，对小球应用向心力公式有：
解得，C对。
根据等效性可知杆最多转过240°角，速度减小为0，小球不能做完整的圆周运动，D错．
例17：
（多选）如图所示，在竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧直立于地面上，上面放一个质量为m的带负电的小球，小球与弹簧不连接。
现用外力将小球向下压到某一位置后撤去外力，小球从静止开始运动到刚离开弹簧的过程中，小球克服重力和电场力做功分别为W1和W2，小球刚好离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则在上述过程中下列说法错误的是（ ）
A．带电小球电势能增加W2
B．弹簧弹性势能最大值为W1＋W2＋mv2
C．弹簧弹性势能减少量为W2＋W1
D．带电小球和弹簧组成的系统机械能减少W2
解：
据题意，小球电势能增加量等于电场力所做的功，即 ，选项A正确；从撤去外力到弹簧回复原长，据动能定理有：
，又因为弹性势能变化量等于弹力所做的功，即：
，故选项B正确而选项C错误；系统机械能变化量等于电场力做的功，即：
，故选项D正确。
注：
表述错误的是C
例18：
（多选）如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平。
a、b是两个完全相同的带正电小球（视为点电荷），b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q（图中未画出）时速度为零。
则小球a（ ）
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，速率先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
解：
A、a由N到Q的过程中，重力竖直向下，而库仑力一直沿二者的连线方向，则可知，重力与库仑力的夹角一直减小，故合力一直在增大；故A错误；
B、在整个过程中合力先与运动方向的夹角均为锐角，合力做正功；而后一过程中合力与运动方向夹角为钝角，合力做负功；故从N到P的过程中，速率先增大后减小；故B正确；
C、由于在下降过程中，库仑力一直与运动方向夹角大于90度，故库仑力一直做负功；电势能一直增加；故C正确；
D、从P到Q的过程中，由动能定理可知，-mgh-WE=0-mv2；故动能的减小量等于重力势能增加量和电势能的增加量；故D错误；
故选：
BC．
例19：
（多选）如图所示，两块较大的金属板A、B相距为d，平行放置并与一电源相连，开关S闭合后，两板间恰好有一质量为m、带电荷量为q的油滴处于静止状态，以下说法正确的是（ ）
A．若将S断开，则油滴将做自由落体运动，G表中无电流
B．若将A向左平移一小段位移，则油滴仍然静止，G表中有b→a的电流
C．若将A向上平移一小段位移，则油滴向下加速运动，G表中有b→a的电流
D．若将A向下平移一小段位移，则油滴向上加速运动，G表中有b→a的电流
解：
A、将电键断开，则电量不变，平行板间的电场强度不变，油滴仍然静止．故A错误．
B、若将上板A向左平称移一小段位移，正对面积减小，根据C=知，电容减小，两端的电势差不变，电场强度不变，所以油滴不动，根据Q=CU知电量减小，G中有由b→a的电流．故B正确。
C、若将上级板A向上平移一小段位移，则d增大，电势差不变，电场强度减小，油滴向下加速，根据C=知，电容减小，两端的电势差不变，则电流量减小，G中有由b→a的电流．故C正确．
D、若将上级板A向下平移一小段位移，则d减小，电势差不变，电场强度增大，油滴向上加速，根据C=知，电容增大，两端的电势差不变，则电流量增大，G中有由a→b的电流．故D错误
例20：
在平行板电容器之间有匀强电场，一带电粒子以速度v垂直电场线射入电场，在穿越电场的过程中，粒子的动能由Ek增加到2Ek，若这个带电粒子以速度2v垂直进入该电场，则粒子穿出电场时的动能为多少？
解：
建立直角坐标系，初速度方向为x轴方向，垂直于速度方向为y轴方向。
设粒子的的质量m，带电量为q，初速度v，匀强电场为E，在y方向的位移为y，速度为2v时通过匀强电场的偏移量为y′，平行板板长为L。
由于带电粒子垂直于匀强电场射入，粒子做类似平抛运动
x方向上：
y方向上：
两次入射带电粒子的偏移量之比为
解方程组得
例21：
如图8－20电路中，电键K1，K2，K3，K4均闭合，在平行板电容器C的极板间悬浮着一带电油滴P，
（1）若断开K1，则P将____不动______；
（2）若断开K2，则P将___向上运动_____；
（3）若断开K3，则P将___向下运动______；
（4）若断开K4，则P将____不动___。
解：
（1）断开K1，电容器两板间的电压不变，场强不变，油滴所受的电场力不变，油滴仍处于平衡状态．故P不动．
（2）断开K2，电容器两板间的电压增大，稳定时，其电压等于电源的电动势，板间场强增大，油滴所受的电场力增大，油滴将向上运动．
（3）断开K2，电容器通过电阻放电，板间场强逐渐减小，油滴所受的电场力减小，油滴将向下运动．
（4）断开K4，电容器的电量不变，板间场强不变，油滴仍处于静止状态．
故答案为：
不动；向上运动；向下运动；不动．
10.综合训练
1．在点电荷Q形成的电场中有一点A，当一个－q的检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，电场力做的功为W，则检验电荷在A点的电势能及电场中A点的电势分别为：
A． B．
C． D．
A
B
2
1
2．如图，平行线代表电场线，但未标明方向，一个带正电、电量为10－6C的微粒在电场中仅受电场力作用，当它从A点运动到B点时动能减少了10－5J，已知A点的电势为－10V，则以下判断正确的是：
A．微粒的运动轨迹如图中的虚线1所示
B．微粒的运动轨迹如图中的虚线2所示
C．B点电势为零
D．B点电势为－20V
3.在点电荷Q的电场中，一个α粒子（）通过时的轨迹如图实线所示，a、b为两个等势面，则下列判断中正确的是（ ）.
（A）Q可能为正电荷，也可能为负电荷
（B）运动中.粒子总是克服电场力做功
（C）α粒子经过两等势面的动能Eka＞Ekb
（D）α粒子在两等势面上的电势能Epa＞Epb
4.如图所示，a、b、c、d是某电场中的四个等势面，它们是互相平行、间距相等的平面，下列判断中正确的是（ ）.
（A）该电场一定是匀强电场
（B）这四个等势面的电势一定满足φa－φb=φb－φc=φc－φd
（C）如果φa＞φb，则电场强度Ea＞Eb
（D）如果φa＜φb，则电场方向垂直于等势面由b指向a
5.如图所示，在沿x轴正方向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心、以r为半径逆时针转动，θ为OA与x轴正方向间的夹角，则O、A两点问电势差为（ ）.
（A）UOA=Er （B）UOA=Ersinθ
（C）UOA=Ercosθ （D）
6.若带正电荷的小球只受到电场力的作用，则它在任意一段时间内（ ）.
（A）一定沿电场线由高电势处向低电势处运动
（B）一定沿电场线由低电势处向高电势处运动
（C）不一定沿电场线，但一定由高电势处向低电势处运动
（D）不一定沿电场线，也不一定由高电势处向低电势处运动
7.如图所示，P、Q是两个电量相等的正的点电荷，它们连线的中点是O，A、B是中垂线上的两点，，用EA、EB、UA、UB分别表示A、B两点的场强和电势，则（ ）.
（A）EA一定大于EB，UA一定大于UB
（B）EA不一定大于EB，UA一定大于UB
（C）EA一定大于EB，UA不一定大于UB
（D）EA不一定大于EB，UA不一定大于UB
8.对于点电荷的电场，我们取无限远处作零电势点，无限远处电场强度也为零，那么（ ）.
（A）电势为零的点，电场强度一定为零，反之亦然
（B）电势为零的点，电场强度不一定为零，但电场强度为零的点，电势一定为零
（C）电场强度为零的点，电势不一定为零；电势为零的点，场强不一定为零
（D）场强为零的点，电势不一定为零，电势为零的一点，电场强度一定为零
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