压轴题反比例函数专题复习.docx

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反比例函数压轴题类型

一、反比例函数与几何图形的综合

1、反比例函数与求四边形面积、存在性问题（正方形）

26.（历下区一模、本题满分9分）如图，正比例函数y＝ax与反比例函数＞0）的图象交于点M（，）．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）如图1，若∠AMB＝90°，且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点A、B．求四边形OAMB的面积．（3）如图2，点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，PF交直线OM于点H，过作x轴的垂线，垂足为G．设点P的横坐标为m，当m＞时，是否存在点P，使得四边形PEGH为正方形？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

26．解：

（1）将点M（，）分别带入与得：

＝a，1分解得：

a＝1，k＝62分∴这两个函数的表达式分别为：

y＝x，.…………3分

（2）过点M分别做x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D.

则∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC＝∠BMD＝90°－∠AMD，MC＝MD＝，

∴△AMC≌△BMD，…5分∴S四边形OCMD＝S四边形OAMB＝6，…6分

（3）设P点坐标为（），则PE＝HG＝GE＝，OE＝2x，

∵∠MOE＝45°，∴OG＝GH＝，∴OE＝OG＋GH＝∴2x＝…8分

∴P点坐标为（，）.…9分

2、反比例函数与判断平行四边形、存在性问题（矩形）

26.（市中区一模、本题满分9分）如图1，已知双曲线y＝（k＞0）与直线y＝k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：

（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为__________；当x满足：

________时，≤k′x；

（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y＝（k＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．①四边形APBQ一定是___________；②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．，（3）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？

可能是正方形吗？

若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由。

26.【解答】解：

（1）点B的坐标为（﹣3，﹣1），……1分由图象可知，当﹣3≤x＜0或x≥3时，≤k′x，……3分

（2）①平行四边形；…4分②∵点A的坐标为（3，1），∴k＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点P的横坐标为1，

∴点P的纵坐标为3，∴点P的坐标为（1，3），由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（﹣3，﹣1），如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，则四边形CDEF是矩形，

CD＝6，DE＝6，DB＝DP＝4，CP＝CA＝2，则四边形APBQ的面积＝矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积＝36﹣2﹣8﹣2﹣8＝16．…6分（3）mn＝k时，四边形APBQ是矩形，…7分不可能是正方形.…8分

 理由：

当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠POA≠90°．……………………9分

3、反比例函数与三角形、平行四边形的面积

26.（本小题满分9分）如图1，直线交x轴于点C，交y轴于点D，与反比例函数的图像交于两点A、E，AG⊥x轴，垂足为点G，S△AOG＝3．

（1）k＝；

（2）求证：

AD＝CE；（3）如图2，若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积

26.解：

（1）k＝6‥‥‥3分

（2）证明：

作EH⊥y轴，垂足为H，EH交AG于点P，

设∵AG⊥x轴EH⊥y轴∴

∴又∵

∴△∽△‥5分∴∠PAE＝∠PGH∴HG∥CD

∴四边形DAGH、HECG为平行四边形∴AD＝CE．‥‥‥6分

（3）由上问知：

AD＝CE＝AE，∵AG⊥x轴∴∴∵S△AOG＝3∴S△OAC＝9∴S平行四边形OABC＝18‥‥‥9分

4、反比例函数与中点的证明、存在性问题（菱形）

26．（本小题满分9分、槐荫区一模）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点C，PB丄x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）求证：

点C为线段AP的中点；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形，如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

y

x

O

A

B

C

P

26题图

E

D

y

x

O

A

B

C

P

26题图

26.

（1）∵点A与点B关于y轴对称，∴AO＝BO，∵A（－4，0），∴B（4，0），∴P（4，2）,1分

把P（4，2）代入y＝得m＝8，∴反比例函数的解析式：

y＝2分把A（－4，0），P（4，2）代入y＝kx＋b得：

，解得：

，所以一次函数的解析式：

y＝x＋1.3分

（2）∵点A与点B关于y轴对称，∴OA=OB，4分∵PB丄x轴于点B，∴∠PBA=90°，

∵∠COA=90°，∴PB∥CO，∴点C为线段AP的中点.5分（3）存在点D，使四边形BCPD为菱形.6分∵点C为线段AP的中点，∴BC=，∴BC和PC是菱形的两条边7分

由y＝x＋1，可得点C（0，1），过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝的图象于点D，分别连结PD、BD，∴点D（8，1），BP⊥CD∴PE＝BE＝1，

∴CE＝DE＝4，∴PB与CD互相垂直平分，8分∴四边形BCPD为菱形.

∴点D（8，1）即为所求. 9分

二、反比例函数与一次函数的综合

1、反比例函数与一次函数的求法、两直线的位置关系、角的度数

26.（17天桥一模、本小题满分9分）如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0,3）．过点A（5,0）的直线y＝kx＋b与y轴于点C，且BD＝OC，tan∠OAC＝

（1）求反比例函数y＝和直线y＝kx＋b的解析式；

（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE＝OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．

26．解：

（1）∵A（5,0），∴OA=5.∵∴……...1分∴∵∴

∴∴…….2分设直线AC关系式为

∵过A（5,0），

∴解得：

∴...3分

（2）∵∴∵，∴，…...4分

∴∴，..5分∴

∴．…...6分（3）…..7分连接AD，∵，∴∴四边形AEBD为平行四边形，∴

∴….8分∵，∴∵∴∴＝45°………..9分

2、反比例函数与直角三角形

26.（本小题满分9分、历城区一模）如图，已知点A（5，0），B（0，5），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=45°，ED=2，点G为边FD的中点．

（1）求直线AB的解析式；

（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解析式；

（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？

如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．

26.解：

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（5，0），B（0，5），∴，解得：

，∴直线AB的解析式为：

y=﹣x+5；…3分

（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=45°，ED=2，∴EF=2，DF=2，∵点D与点A重合，∴D（5，0），∴F（3，2），∴G（4，1），5分∵反比例函数y=经过点G，∴k=4，∴反比例函数的解析式为：

y=；…6分

（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：

∵点F在直线AB上，

∴设F（t，﹣t+5），又∵ED=2，∴D（t+2，﹣t+3），∵点G为边FD的中点．∴G（t+1，﹣t+4），…8分若过点G的反比例函数的图象也经过点F，则，t（-t+5）=（t+1）（-t+4）解得：

t=2，则F（2,3）设解析式为y=，∴m=6，∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：

．………………9分

26.（17长清一模）如图，反比例函数y=k/x（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（3，0），tan∠AOB=2/5．

（1）求k的值；

（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=k/x（x＞0）的图象恰好经过DC上一点E，且DE：

EC=3：

1，求直线AE的函数表达式；（3）若直线AE与x轴交于点，N，与y轴交于点M，请你探索线段AM与线段NE的大小关系，写出你的结论并说明理由．

设直线AE的函数表达式为y=kx+b则，5分解得，

∴直线AE的函数表达式为y=-x+5；…6分（3）结论：

AM=NE．理由：

在表达式y=-x+5中，令y=0可得x=15，令x=0可得y=5∴点M（0，5），N（15，0）．延长DA交y轴于点F，则AF⊥OM，且AF=3，OF=4，∴MF=OM-OF=1，∴由勾股定理得AM=．∵CN=15-12=3，EC=1，∴根据勾股定理可得EN=∴AM=NE．9分或由三角形全等证明。

26.（本题满分9分历下区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数y＝k/x在第一象限内的图象相交于点A（m，3）．

（1）求该反比例函数的关系式；

（2）将直线y＝x沿y轴向上平移8个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，连接AB，这时恰好AB⊥OA，求tan∠AOB的值；

（3）在

（2）的条件下，在射线OA上存在一点P，使△PAB∽△BAO，求点P的坐标．

26．解：

（1）∵点A（m，3）在直线y＝x上∴3＝m，m＝，∴点A（，3）……1分∵点A（，3）在反比例函数y＝上,∴k＝×3＝…2分

∴y＝…3分

（2）直线向上平移8个单位后表达式为：

y＝x＋8

∵AB⊥OA，直线AB过点A（，3）∴直线AB解析式：

……4分

∴.∴x＝.∴B（,9）…5分∴AB＝4

又∵OA＝6，∴tan∠AOB＝6分（3）∵△APB∽△ABO,∴7分

即∴AP＝8…8分∴OP＝14∴P（7，7）…9分