离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案Word文件下载.docx
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q
pq→p(p→q)→(q→p)
所以公式类型为永真式
(5)公式类型为可满足式(方法如上例)
(6)公式类型为永真式(方法如上例)
第二章部分课后习题参考答案
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3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.
(1)(p∧q→q)
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)
(3)(p∨q)→(p∧r)
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1
(3)P
r
p
∨q
∧r
(p∨q)→(p∧r)
所以公式类型为可满足式
4.用等值演算法证明下面等值式:
(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))
(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)
证明
(2)(p→q)∧(p→r)
(p∨q)∧(p∨r)
p∨(q∧r))
p→(q∧r)
(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q))∧(q∨(p∧q)
(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)
1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1
(p∨q)∧(p∧q)
5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值
(1)(p→q)→(q∨p)
(2)(p→q)∧q∧r
(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
解:
(1)主析取范式
(p→q)→(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)
(pq)(pq)(pq)
m0m2m3
∑(0,2,3)
主合取范式:
(p→q)→(qp)
(p(qp))(q(qp))
1(pq)
(pq)M1
∏
(1)
(1)主合取范式为:
(p→q)qr(pq)qr
(pq)qr0
所以该式为矛盾式.
主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)
矛盾式的主析取范式为0
(3)主合取范式为:
(p(qr))→(pqr)
(p(qr))→(pqr)
(p(qr))(pqr)
(p(pqr))((qr))(pqr))
11
1
所以该式为永真式.
永真式的主合取范式为1
主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)
第三章部分课后习题参考答案
14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
(2)前提:
pq,(qr),r
结论:
p
(4)前提:
qp,qs,st,tr
pq
证明:
(2)
①
(q
r)
前提引入
②
①置换
③q
②蕴含等值式
④r
⑤
③④拒取式
⑥p
⑦¬p(3)
⑤⑥拒取式
证明(4):
①tr
②t
①化简律
③q
s
④s
t
⑤q
③④等价三段论
⑥(q
t)(t
q)⑤置换
⑦(q
t)
⑥化简
⑧q
②⑥假言推理
⑨q
⑩p⑧⑨假言推理
(11)pq⑧⑩合取
15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:
(1)前提:
p(qr),sp,q
sr
证明
①s
附加前提引入
②s
③p
①②假言推理
④p
r)前提引入
③④假言推理
⑥q
⑦r
⑤⑥假言推理
16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:
pq,rq,rs
①p
结论的否定引入
②p
﹁q
③﹁q
④¬r
⑤¬r
④化简律
⑥r
¬s
⑥化简律
⑧r
﹁r
⑤⑦合取
由于最后一步r
﹁r是矛盾式,所以推理正确.
第四章部分课后习题参考答案
3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命
题的真值:
(1)对于任意x,均有2=(x+)(x).
(2)存在x,使得x+5=9.
其中(a)个体域为自然数集合.
(b)个体域为实数集合.
解:
F(x):
2=(x+)(x).
G(x):
x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为xF(x),在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。
(2)在两个个体域中都解释为xG(x),在(a)(b)中均为真命题。
4.在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1)没有不能表示成分数的有理数.
(2)在北京卖菜的人不全是外地人.
解:
(1)F(x):
x能表示成分数
H(x):
x是有理数
命题符号化为:
x(F(x)H(x))
(2)F(x):
x是北京卖菜的人
x是外地人
x(F(x)H(x))
5.在一阶逻辑将下列命题符号化:
(1)火车都比轮船快.
(3)不存在比所有火车都快的汽车.
x是火车;
G(x):
x是轮船;
H(x,y):
x比y快
xy((F(x)G(y))H(x,y))
(2)
(1)F(x):
x是汽车;
y(G(y)x(F(x)H(x,y)))
9.给定解释I如下:
(a)个体域D为实数集合R.
(b)D中特定元素=0.
(c)特定函数(x,y)=xy,x,yD.
(d)特定谓词(x,y):
x=y,(x,y):
x<
y,x,yD.
说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:
(1)
x
y(G(x,y)
F(x,y))
(2)
y(F(f(x,y),a)G(x,y))
答:
(1)对于任意两个实数x,y,如果x<
y,那么xy.真值1.
(2)对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么x<
y.真值0.
10.给定解释I如下:
(a)个体域D=N(N为自然数集合).
(b)D中特定元素=2.
(c)D上函数=x+y,(x,y)=xy.
(d)D上谓词(x,y):
x=y.
说明下列各式在I下的含义,并讨论其真值.
(1)xF(g(x,a),x)
(2)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)
(1)对于任意自然数x,都有2x=x,真值0.
(2)对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0.
11.判断下列各式的类型:
(3)yF(x,y).
解:
(1)因为p(qp)p(qp)1为永真式;
所以为永真式;
(3)取解释I个体域为全体实数
F(x,y):
x+y=5
所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真;
后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假,]
此时为假命题
再取解释I个体域为自然数N,
:
所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假。
此时为假命题。
此公式为非永真式的可满足式。
13.给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释。
(1)(F(x)
(2)x(F(x)G(x)H(x))
(1)个体域:
本班同学
F(x):
x会吃饭,G(x):
x会睡觉.成真解释
x是泰安人,G(x):
x是济南人.
(2)成假解释
(2)个体域:
泰山学院的学生
x出生在山东,G(x):
x出生在北京,H(x):
x出生在江苏,成假解释.
x会吃饭,G(x):
x会睡觉,H(x):
x会呼吸.成真解释.
第五章部分课后习题参考答案
5.给定解释I如下:
(a)个体域D={3,4};
(b)
f(x)为f(3)
4,f(4)
3
(c)
F(x,y)为F(3,3)
F(4,4)
0,F(3,4)F(4,3)1.
试求下列公式在I下的真值.
(1)xyF(x,y)
(3)
xy(F(x,y)
F(f(x),
f(y)))
yF(x,y)
x(F(x,3)
F(x,4))
(F(3,3)
F(3,4))
(F(4,3)
F(4,4))
(0
1)
(1
0)
y(F(x,y)
F(f(x),f(y)))
x((F(x,3)
f(3)))
(F(x,4)
F(f(x),f(4))))
x((F(x,3)
F(f(x),4))(F(x,4)
F(f(x),3)))
((F(3,3)
F(f(3),4))
(F(3,4)
F(f(3),3)))
((F(4,3)
F(f(4),4))
(F(4,4)
F(f(4),3)))
((0
F(4,4))
(F(3,4)
F(4,3)))
((1F(3,4))(0F(3,3)))
12.求下列各式的前束范式。
xF(x)
yG(x,y)
(5)
x1F(x1,x2)
(H(x1)
x2G(x1,x2))(本题课本上有错误)
yG(x,y)
yG(t,y)
xy(F(x)G(t,y))
x1F(x1,x2)
(H(x1)
x2G(x1,x2))
x1F(x1,x2)(H(x3)
x2G(x3,x2))
x1F(x1,x4)x2(H(x3)G(x3,x2))
x1x2(F(x1,x4)(H(x3)G(x3,x2)))
15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:
(1)前提:
xF(x)y((F(y)G(y))R(y)),xF(x)
结论:
xR(x)
(2)前提:
x(F(x)→(G(a)∧R(x))),xF(x)
x(F(x)∧R(x))
证明
(1)
xF(x)
②F(c)
①EI
③
y((F(y)G(y))
R(y))前提引入
④
y((F(y)
G(y))R(y))
①③假言推理
⑤(F(c)∨G(c))→R(c))④UI
⑥F(c)∨G(c)②附加
⑦R(c)⑤⑥假言推理
⑧xR(x)⑦EG
①xF(x)前提引入
②F(c)①EI
③x(F(x)→(G(a)∧R(x)))前提引入
④F(c)→(G(a)∧R(c))③UI
⑤G(a)∧R(c)②④假言推理
⑥R(c)⑤化简
⑦F(c)∧R(c)②⑥合取引入
⑧x(F(x)∧R(x))⑦EG
第六章部分课后习题参考答案
5.确定下列命题是否为真:
(1)
真
假
(3)
{
}
(5){a,b}
{a,b,c,
{a,b,c}}
(6){a,b}
{a,b}}
(7){a,b}
{a,b,{{a,b}}}
(8){a,b}
{a,b,{{a,b}}}
6.设a,b,c各不相同,判断下述等式中哪个等式为真:
(1){{a,b},c,}={{a,b},c}假
(2){a,b,a}={a,b}真
(3){{a},{b}}={{a,b}}假
(4){
,{
},a,b}={{
{
}},a,b}
8.求下列集合的幂集:
(1){a,b,c}
P(A)={
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
(2){1,{2,3}}P(A)={
{1},
{{2,3}},
{1
,{2,3}}}
(3){
}
}}
}}P(A)={
14.化简下列集合表达式:
(1)(AB)B)-(AB)
(2)((ABC)-(BC))A
(1)(AB)B)-(AB)=(AB)B)~(AB)
=(AB)~(AB))B=B=
(2)((ABC)-(BC))A=((ABC)~(BC))A
=(A~(BC))((BC)~(BC))A
=(A~(BC))A=(A~(BC))A=A
18.某班有25个学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。
已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。
求不会打球的人数。
阿A={会打篮球的人},B={会打排球的人},C={会打网球
的人}
|A|=14,|B|=12,|AB|=6,|AC|=5,|ABC|=2,
|C|=6,CAB
如图所示。
25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5
不会打球的人共5人
21.设集合A={{1,2},{2,3},{1,3},{}},计算下列表达式:
(1)A
(2)A
(3)A
(4)A
A={1,2}
{2,3}
{1,3}
}={1,2,3,}
}=
A=123
=
(4)
A=
27、设A,B,C是任意集合,证明
(1)(A-B)-C=A-BC
(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
(A-B)-C=(A
~B)
~C=A
(~B~C)=A~(B
C)=A-BC
(A-C)-(B-C)=(A
~C)
~(B
~C)=(A
~C)
(~BC)
=(A
~C
~B)
(A
~C
C)=(A~C
=A
C)=A-B
C由
(1)得证。
第七章部分课后习题参考答案
7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系IA,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA.
IA={<
2,2>
<
3,3>
4,4>
EA={<
2,2>
2,3>
2,4>
3,4>
3,2>
4,2>
4,3>
LA={<
DA={<
13.设A={<
1,2>
}B={<
1,3>
求AB,AB,domA,domB,dom(AB),ranA,ranB,ran(AB),fld(A-B).
AB={<
AB={<
domA={1,2,3}
domB={1,2,4}
dom(A∨B)={1,2,3,4}
ranA={2,3,4}
ranB={2,3,4}
ran(AB)={4}
A-B={<
},fld(A-B)={1,2,3}
14.设R={<
0,1>
<
0,2>
0,3>
求RR,R-1,R{0,1,},R[{1,2}]
RR={<
R-1,={<
1,0>
2,0>
3,0>
2,1>
3,1>
R{0,1}={<
R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}
16.设A={a,b,c,d},R
R2为A上的关系,其中
1,
R1=
a,a,a,b,b,d
R2
a,d,b,c,b,d
c,b
求R1R2,R2R1,R12,R23。
R1R2={<
a,d>
a,c>
}R2R1={<
c,d>
R12=R1R1={<
a,a>
a,b>
}R22=R2R2={<
b,b>
c,c>
}R23=R2R22={<
b,c>
c,b>
b,d>
36.设A={1,2,3,4},在AA上定义二元关系R,
u,v>
x,y>
AA,〈u,v>
R<
u+y=x+v.
(1)证明R是AA上的等价关系.
(2)确定由R引起的对AA的划分.
(1)证明:
∵<
R<
u+y=x-y
∴<
u-v=x-y
AA
∵u-v=u-v
∴<
∴R是自反的
任意的<
∈A×
A
如果<
,那么u-v=x-y
∴x-y=