小学数学难题选解.docx

小学数学难题选解.docx

《小学数学难题选解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学难题选解.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

小学数学难题选解

小学数学难题选解

第一章牛顿问题

解题关键：

牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。

解题环节主要有四步：

1、求出每天长草量；

2、求出牧场原有草量；

3、求出每天实际消耗原有草量（牛吃的草量--生长的草量=消耗原有草量）；

4、最后求出可吃天数。

1、牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。

这片青草供给10头牛可以吃20天，供给15头牛吃，可以吃10天。

供给25头牛吃，可以吃多少天？

分析：

如果草的总量一定，那么，牛的头数与吃草的天数的积应该相等。

现在够10头牛吃20天，够15头牛吃10天，10×20和15×10两个积不相等，这是因为10头牛吃的时间长，长出的草多，所以，用这两个积的差，除以吃草的天数差，可求出每天的长草量。

①、求每天的长草量

（10×20－15×10）÷（20－10）＝5（单位量）

说明牧场每天长出的草够5头牛吃一天的草量。

②、求牧场原有草量

因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，那么，10头牛去吃，每天只有10－5＝5（头）牛吃原有草量，20天吃完，原有草量应是：

（10－5）×20＝100（单位量）

或：

10头牛吃20天，一共吃草量是10×20＝200（单位量）

一共吃的草量－20天共生长的草量＝原有草量

200－100＝100（单位量）

③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量

因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，25头牛去吃，（吃的－长的＝消耗原草量）

即：

25－5＝20（单位量）

④、25头牛去吃，可吃天数

牧场原有草量÷25头牛每天实际消耗原有草量＝可吃天数

100÷20＝5（天）

解：

（10×20－15×10）÷（20－10）＝50÷10＝5（单位量）---每天长草量

（10－5）×20＝5×20＝100（单位量）-------原有草量

100÷（25－5）＝100÷20＝5（天）

答：

可供给25头牛吃5天。

2、牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100头羊吃，可以吃12天。

如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？

分析：

1头牛每天相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛就相当于4×20＝80（只）羊吃草量。

每天长草量：

（80×20－100×12）÷（20－12）＝400÷8＝50（单位量）

原有草量：

（80－50）×20＝30×20＝600（单位量）

20头牛和100只羊同时吃的天数：

600÷（80＋100－50）＝600÷130

＝4（天）

答：

20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃4天。

3、有三片牧场，牧场上的草长得一样密，一样快。

它的面积分别是3.3公顷、2.8公顷和4公顷。

22头牛54天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草；17头牛84天能吃完第二片牧场原有的草和新长出的草。

问，多少头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草？

分析：

①、第一片牧场22头牛54天吃完3.3公顷所有的草，那么，每公顷草量是（包括生长的）：

22×54÷3.3＝360（单位量）

②、第二片牧场：

17头牛84天吃完2.8公顷所有的草，那么，每公顷草量是：

17×84÷2.8＝510（单位量）

③、每公顷每天的长草量是：

（510－360）÷（84－54）＝5（单位量）

④、每公顷原有草量是：

360－5×54＝90（单位量）

⑤、第三片4公顷24天共有草量是：

90×4＋5×24×4＝840（单位量）

⑥、可供多少头牛吃24天：

840÷24＝35（头）

解：

（17×84÷2.8－22×54÷3.3）÷（84－54）＝150÷30

＝5（单位量）------每公顷每天长草量

22×54÷3.3－5×54＝360－270＝90（单位量）----每公顷原有草量

90×4＋5×4×24＝360＋480＝840（单位量）----4公顷24天共有草量

840÷24＝35（头）

答：

35头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草。

4、用3台同样的水泵抽干一个井里的泉水要40分钟；用6台这样的水泵抽干它只要16分钟。

问，用9台这样的水泵，多少分钟可以抽干这井里的水？

分析：

用水泵抽井里的泉水，泉水总是按一定大小不断往上涌，这就跟牧场的草一样均匀地生长，因此，把它当作牛吃草问题同解。

每分钟泉水涌出量：

（3×40－6×16）÷（40－16）＝24÷24＝1（单位量）

井里原有水量：

（3－1）×40＝2×40＝80（单位量）

9台几分钟可以抽干：

80÷（9－1）＝80÷8＝10（分钟）

答：

用9台这样的水泵，10分钟可以抽干这井里的水。

5、火车站的售票窗口8点开始售票，但8点以前早就有人来排队，假如每分钟来排队的人一样多，开始售票后，如果开3个窗口售票，30分钟后，不再有人排队；如果开5个窗口售票，15分钟后，不再有人排队。

求第一个来排队的人是几点钟到的？

分析：

到窗口排队售票的人，包括两部分，一部分是8点以前已等候的人（相似于牛吃草问题中的原有草量），另一部分是开始售票时，逐步来的人（相似于每天长草量），开售票窗口多少，相似于“吃草的牛”多少，售票时间相似于“牛吃草”天数。

因此，按“牛吃草问题”来解答。

每分钟来排队的人：

（3×30－5×15）÷（30－15）＝15÷15＝1（人）

售票前已到的人数：

3×30－1×30＝90－30＝60（人）

售票前已到的人共享的时间：

60÷1＝60（分钟）

60分钟是1小时，即第一个来排队的人是售票前1小时到达的，8－1＝7

答：

第一个来排队的人是7点钟到达的。

第二章鸡兔问题

解题关健：

鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。

解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差一个（4－2）只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以（4－2），就可求出兔的只数。

同理，假设全部是兔，可求出鸡。

1、鸡兔同笼共80头，208只脚，鸡和兔各有几只？

分析：

假设这80头全是鸡，那么，脚应是2×80＝160（只），比实际少208－160＝48（只）脚，这是因为1只兔有4只脚，把它看成是2只脚的鸡了，每只兔少算了2只脚，共少算了48只脚，48里面有几个2，就是几只兔。

解：

（208－2×80）÷（4－2）＝48÷2＝24（只）------兔

80－24＝56（只）

答：

鸡有56只，兔有24只。

也可以假设80只全是兔，解答如下：

解：

（4×80－208）÷（4－2）＝112÷2＝56（只）------鸡

80－56＝24（只）

2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5分，小明共得了70分，他做对了几道题？

分析：

假设他做对了10道题，那么应得10×10＝100（分），而实际只得70分，少30分，这是因为每做错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会少10＋5＝15（分），看30分里面有几个15分，就错了几题。

解：

（10×10－70）÷（10＋5）＝30÷15＝2（道）------错题

10－2＝8（道）

答：

他做对了8道题。

3、有面值5元和10元的钞票共100张，总值为800元。

5元和10元的钞票各是多少张？

分析：

假设100张钞票全是5元的，那么总值就是5×100＝500（元），与实际相差800－500＝300元

差的300元，是因为将10元1张的算作了5元的，每张少计算10－5＝5（元），差的300元里面有多少个5元，就是多少张10元的钞票。

解：

（800－5×10）÷（10－5）＝300÷5＝60（张）------10元面值

100－60＝40（张）

答：

有10元的钞票60张，5元的钞票40张。

4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，三种动物各多少只？

（蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀）

分析：

假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿，那么总腿数是6×21＝126（条），比实际少140－126＝14（条），这是因为一只蜘蛛是8条腿，把它算作6条腿，每只蜘蛛少计算了8－6＝2（条），少算的14条里面有几个2条，就是几只蜘蛛，即14÷2＝7（只）。

从总只数里减7只蜘蛛，就得21－7＝14（只）是蜻蜓和蝉的和。

再假设这14只全是蜻蜓，那么翅膀应是2×14＝28（对）比实际多28－23＝5（对），这是因为蝉是1对翅膀，把它算成2对了，每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里面有几个1对，就是几只蝉。

求出了蝉，蜻蜓可求。

解：

（140－6×21）÷（8－6）＝14÷2＝7（只）------蜘蛛

21－7＝14（只）

（2×14－23）÷（2－1）＝5÷1＝5（只）-------蝉

14－5＝9（只）------蜻蜓

答：

蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只。

第三章年龄问题

解题关键：

“年龄问题”的基本规律是：

不管时间如何变化，两人的年龄的差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。

分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。

1、爸爸今年42岁，女儿今年10岁，几年前爸爸的年龄是女儿的5倍？

分析：

要求几年前爸爸的年龄是女儿的5倍，首先应求出那时女儿的年龄是多少？

爸爸的年龄是女儿的5倍，女儿的年龄是1倍，爸爸比女儿多5－1＝4（倍），年龄多42－10＝32（岁），对应，可求出1倍是多少，即女儿当时的年龄。

解：

（42－10）÷（5－1）＝32÷4＝8（岁）

10－8＝2（年）

答：

2年前爸爸的年龄是女儿的5倍。

2、父亲今年比儿子大36岁，5年后父亲的年龄是儿子的4倍，今年儿子几岁？

分析：

父亲今年比儿子大36岁，5年后仍然大36岁。

父亲年龄是儿子的4倍，说明儿子的年龄是1倍，父亲比儿子大4－1＝3（倍），可求出1倍是多少岁，即5年后儿子的年龄，那么，现在几岁可求出。

解：

36÷（4－1）＝36÷3＝12（岁）

12－5＝7（岁）

答：

今年儿子7岁。

3、今年母女年龄和是45岁，5年后母亲的年龄正好是女儿的4倍，今年妈妈和女儿各多少岁？

分析：

今年母女年龄和是45岁，五年后母女年龄和是45＋5×2＝55（岁），母亲年龄是女儿的4倍，女儿年龄是1倍，母女年龄和的倍数是4＋1＝5（倍），对应，可求出5年后女儿的年龄，今年她们的年龄可求。

解：

（45＋5×2）÷（4＋1）＝55÷5＝11（岁）

11－5＝6（岁）45－6＝39（岁）

答：

妈妈今年39岁，女儿6岁。

4、今年甲、乙、丙三人的年龄和为60岁，3年后甲比乙大6岁，丙比乙小3岁，三年后甲、乙、丙三人各几岁？

分析：

如图：

甲|--------------------------------------------------------|

乙|-----------------------------------------|6岁

丙|----------------------------------|3岁

三年后，三人年龄和是60＋3×3＝69（岁），但三人的年龄差不变。

从图中可以看出，从三人年龄和中减6加3，刚好等于3个乙的年龄。

解：

（60＋3×3－6＋3）÷3＝66÷3＝22（岁）

22＋6＝28（岁）22－3＝19（岁）

答：

三年后甲28岁，乙22岁，丙19岁。

第四章植树问题

解题关键：

1、要注意总距离、棵距及棵数三个量之间的关系。

2、要分清图形是否封闭，然后确定是沿线段栽，还是沿周长栽。

3、关系式为：

沿线段植树棵数＝总距离÷棵距＋1

沿周长植树棵数＝总距离÷棵距

1、在一段40米长的人行道一侧栽树，每隔5米栽一棵樟树，共需要栽樟树多少棵？

分析：

如图：

♀♀♀♀♀♀♀♀♀

5米

从图上可以看出，“每隔5米栽一棵”就是将40÷5＝8，平均分成8段，因两端都有一棵树，所以，沿人行道一侧栽树，属沿线段植树。

解：

40÷5＋1＝8＋1＝9（棵）

答：

需要栽樟树9棵。

想一想：

如果这条人行道两侧都这样栽，需要栽多少棵？

应怎样算？

2、沿一段公路两旁种杨树，每隔3米种一棵，一共种了502棵。

这段公路长多少米？

分析：

沿公路两旁共种502棵，将502÷2＝251（棵），就得到公路一旁种树棵数（注意将两旁总棵数除以2），它属于沿线段植树问题，根据关系式，将棵数减1，乘棵距，可求出总距离。

解：

502÷2＝251（棵）

3×（251－1）＝3×250＝750（米）

答：

这段公路长750米。

3、把一根48厘米的铁棒锯成8厘米长的短铁棒，如果锯一段需要4分钟，锯完这根铁棒需要多少分钟？

分析：

如图，将48厘米长铁棒锯成8厘米长的短铁棒，就是求48厘米里面有几个8厘米，就可锯成几段，从图上可以看出“锯的次数比段数要少1”，锯一段需要4分钟，实际是锯一次要4分钟，求锯完这根铁棒需要多少分钟，先要求出共锯多少次。

解：

48÷8－1＝5（次）

4×5＝20（分钟）

答：

锯完这根铁棒需要20分钟。

4、在一个人工湖周围每隔6米种一棵柳树，一共种了180棵。

再在相邻的两棵柳树间每隔2米种一株月季，问，一共需要多少株月季？

分析：

在人工湖周围种树，属于在封闭图形上栽树问题，即沿周长植树，根据关系式：

总距离＝棵距×棵数，人工湖周长为6×180＝1080（米）

如果湖的周围没有柳树，全是每隔2米种的月季，月季共1080÷2＝540（株），而实际其中种有柳树180棵，那么，月季株数应为540－180＝360（株）。

解法一：

6×180÷2－180＝540－180＝360（株）

答：

一共需要360株月季。

解法二：

人工湖周围每隔6米种一棵柳树，共种180棵，就是将湖的周长平均分成180段，每段长6米，因为这6米的两头已种柳树，所以这中间只能种6÷2－1＝2（株）月季，共需月季列式为：

（6÷2－1）×180＝2×180＝360（株）

第五章盈亏问题

解答公式：

两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数

或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据

第一种分法的人数＝第二种分法的人数

第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数，列出方程来解。

1、一批树苗，如果每人种树苗8棵，则缺少3棵；如果每人种7棵，则有4棵没人种。

求参加种树的人数是多少？

这批树苗共有多少棵？

分析：

每人种8棵，则缺少3棵，也就是少3棵。

每人种7棵，则有4棵没人种，也就是多4棵。

那么两次分配的结果差是3＋4＝7，两次分配的数差是8－7＝1

种树人数是：

7÷1＝7（人）树苗总数是：

8×7－3＝53（人）

解法一：

（3＋4）÷（8－7）＝7÷1＝7（人）

8×7－3＝53（棵）

答：

参加种树的人数是7人，这批树苗共有53棵。

解法二：

这道题种树人数不变，树苗总棵数不变，若设种树人数为X人，根据第一种分法的树苗总棵数＝第二种分法的树苗总棵数，列方程解。

解：

设种树人数为X人，列方程得

8X－3＝7X＋4

8X－7X＝4＋3

X＝7

8×7－3＝53（棵）答：

（略）

2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少10个，每人分4个，还少2个。

有多少小朋友？

有多少个苹果？

分析：

两次分配都不足，则两次不足数量差就是两次分配的结果差，结果差÷分配差＝人数

解：

（10－2）÷（6－4）＝8÷2＝4（人）

6×4－10＝14（个）

答：

有4个小朋友，有14个苹果。

3、学校安排新生住宿，若每间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？

分析：

每间住6人，多出34人，就是不足34张床位；每间住7人，多出4间宿舍，就是多出7×4＝28张床位。

两次分配的结果差就是（34＋28），结果差÷分配差＝宿舍

解：

（34＋28）÷（7－6）＝62÷1＝62（间）

6×62＋34＝406（人）

答：

住宿的学生共406人，宿舍有62间。

4、学生分练习本，其中两个人每人分6本，其余每人分4本，则多2本；如果有一个学生分8本，其余每人分6本，则不足18本。

学生有多少人？

练习本有多少本？

分析：

1、有两人分6本，其余每人分4本，余2本，若将分6本的这两人也分4本，那么这两人又每人余2本，共余2×2＋2＝6（本）。

2、一个学生分8本，其余分6本，不足18本。

若将分8本这个学生也同样分6本，则不足应是18－2＝16（本）。

那么，两次分配的结果差是16＋6＝22（本），分配差是6－4＝2（本）

结果差÷分配差＝人数

解：

6－4＝2（本）2×2＋2＝6（本）8－6＝2（本）18－2＝16（本）

（16＋6）÷（6－4）＝22÷2＝11（人）

4×11＋6＝50（本）

答：

学生有11人，练习本有50本。

5、一工人加工一批机器零件，限期完成，他计划每小时做10个，还差3个零件完成任务，每小时做11个，恰好限期内完成了任务。

他加工的零件是多少个？

限几小时完成？

分析：

每小时做10个，差3个，每小时做11个，恰好完成，那么，两次分配的结果差是3个，两次分配的数差是11－10＝1（个）。

根据，结果差÷分配差＝限时数

解法一：

3÷（11－10）＝3÷1＝3（小时）

10×3＋3＝33（个）

答：

他加工的零件是33个，限3小时完成。

解法二：

设限X小时完成，根据第一种分法和第二种分法零件个数相等，列方程得

11X＝10X＋3

11X－10X＝3

X＝3

11×3＝33（个）答：

（略）

第六章流水问题

解题关键：

船速：

船在静水中航行速度；水速：

水流动的速度；

顺水速度：

顺水而下的速度＝船速＋水速；

逆水速度：

逆流而上的速度＝船速－水速。

流水问题具有行程问题的一般性质，即速度、时间、路程。

可参照行程问题解法。

1、一只油轮，逆流而行，每小时行12千米，7小时可以到达乙港。

从乙港返航需要6小时，求船在静水中的速度和水流速度？

分析：

逆流而行每小时行12千米，7小时时到达乙港，可求出甲乙两港路程：

12×7＝84（千米），返航是顺水，要6小时，可求出顺水速度是：

84÷6＝14（千米），顺速－逆速＝2个水速，可求出水流速度（14－12）÷2＝1（千米），因而可求出船的静水速度。

解：

（12×7÷6－12）÷2＝2÷2＝1（千米）

12＋1＝13（千米）

答：

船在静水中的速度是每小时13千米，水流速度是每小时1千米。

2、某船在静水中的速度是每小时15千米，河水流速为每小时5千米。

这只船在甲、乙两港之间往返一次，共用去6小时。

求甲、乙两港之间的航程是多少千米？

分析：

1、知道船在静水中速度和水流速度，可求船逆水速度15－5＝10（千米），顺水速度15＋5＝20（千米）。

2、甲、乙两港路程一定，往返的时间比与速度成反比。

即速度比是10÷20＝1：

2，那么所用时间比为2：

1。

3、根据往返共享6小时，按比例分配可求往返各用的时间，逆水时间为6÷（2＋1）×2＝4（小时），再根据速度乘以时间求出路程。

解：

（15－5）：

（15＋5）＝1：

2

6÷（2＋1）×2＝6÷3×2＝4（小时）

（15－5）×4＝10×4＝40（千米）

答：

甲、乙两港之间的航程是40千米。

3、一只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行24千米，到达乙地后，又从乙地返回甲地，比逆水航行提前2.5小时到达。

已知水流速度是每小时3千米，甲、乙两地间的距离是多少千米？

分析：

逆水每小时行24千米，水速每小时3千米，那么顺水速度是每小时24＋3×2＝30（千米），比逆水提前2.5小时，若行逆水那么多时间，就可多行30×2.5＝75（千米），因每小时多行3×2＝6（千米），几小时才多行75千米，这就是逆水时间。

解：

24＋3×2＝30（千米）

24×[30×2.5÷（3×2）]＝24×[30×2.5÷6]

＝24×12.5＝300（千米）

答：

甲、乙两地间的距离是300千米。

4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行要8小时行完全程，逆水航行要10小时行完全程。

已知水流速度是每小时3千米，求甲、乙两码头之间的距离？

分析：

顺水航行8小时，比逆水航行8小时可多行6×8＝48（千米），而这48千米正好是逆水（10－8）小时所行的路程，可求出逆水速度48÷2＝24（千米），进而可求出距离。

解法一：

3×2×8÷（10－8）＝3×2×8÷2＝24（千米）

24×10＝240（千米）

答：

甲、乙两码头之间的距离是240千米。

解法二：

设两码头的距离为“1”，顺水每小时行1/8，逆水每小时行1/10，顺水比逆水每小时快1/8－1/10，快6千米，对应。

3×2÷（1/8－1/10）＝6÷1/40＝240（千米）答：

（略）

5、某河有相距120千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。

这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物顺水漂浮而下，5分钟后，与甲船相距2千米，预计乙船出发几小时后，可与漂浮物相遇？

分析：

从甲船落下的漂浮物，顺水而下，速度是“水速”，甲顺水而下，速度是“船速＋水速”，船每分钟与物相距：

（船速＋水速）－水速＝船速。

所以5分钟相距2千米是甲的船速5÷60＝1/12（小时），2÷1/12＝24（千米）。

因为，乙船速与甲船速相等，乙船逆流而行，速度为24－水速，乙船与漂浮物相遇，求相遇时间，是相遇路程120千米，除以它们的速度和（24－水速）＋水速＝24（千米）。

解：

120÷[2÷（5÷60）]＝120÷24＝5（小时）

答：

乙船出发5小时后，可与漂浮物相遇。