高中数学选修11优质学案章末复习Word格式文档下载.docx
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p∧q中p，q有一假即为假，p∨q有一真即为真，p与綈p必定是一真一假．
4．全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称命题：
全称量词用符号“∀”表示．
全称命题用符号简记为∀x∈M，p（x）．
（2）存在量词与特称命题：
存在量词用符号“∃”表示．
特称命题用符号简记为∃x0∈M，p（x0）．
5．含有一个量词的命题的否定
命题的否定
∀x∈M，p（x）
∃x0∈M，綈p（x0）
∃x0∈M，p（x0）
∀x∈M，綈p（x）
1．命题“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”的否命题是假命题．（ √ ）
2．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．（ √ ）
3．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．（ ×
）
4．已知命题p：
∃x0∈R，x0－2＞0，命题q：
∀x∈R，x2＞x，则命题p∨（綈q）是假命题．（ ×
类型一 命题及其关系
例1
（1）有下列命题：
①“若x＋y>
0，则x>
0且y>
0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”．
其中是真命题的是（ ）
A．①②③B．②③④
C．①③④D．①③
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
[答案] D
（2）设a，b，c是非零向量，已知命题p：
若a·
b＝0，b·
c＝0，则a·
c＝0；
命题q：
若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨qB．p∧q
C．（綈p）∧（綈q）D．p∨（綈q）
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
[答案] A
[解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；
命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．
反思与感悟
（1）互为逆否命题的两命题真假性相同．
（2）“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．
跟踪训练1
（1）命题“若x2>
1，则x<
－1或x>
1”的逆否命题是（ ）
A．若x2>
1，则－1≤x≤1
B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－1<
x<
1，则x2>
1
D．若x<
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
[答案] B
（2）设命题p：
函数y＝sin2x的最小正周期为
；
函数y＝cosx的图象关于直线x＝
对称．则下列判断正确的是（ ）
A．p为真B．q为真
C．p∧q为假D．p∨q为真
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
[答案] C
[解析] 由题意知p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
类型二 充分条件与必要条件
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
例2
（1）设x∈R，则“x2－3x>
0”是“x>
4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
[解析] ∵x2－3x>
0⇏x>
4，
x>
4⇒x2－3x>
0，
故“x2－3x>
4”的必要不充分条件．
（2）已知a，b是实数，则“a>
0且b>
0”是“a＋b>
0且ab>
0”的（ ）
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
[解析] ∵a>
0⇔a＋b>
∴“a>
0”的充要条件．
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
（1）定义法：
直接判断若p则q，若q则p的真假．
（2）等价法：
利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）利用集合间的包含关系判断：
若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；
若A＝B，则A是B的充要条件．
跟踪训练2 使a>
b>
0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a2>
b2>
0B．
C．lna>
lnb>
0D．xa>
xb且x>
0.5
题点 充分不必要条件的判定
[解析] 设条件p符合条件，则p是a>
0的充分条件，但不是a>
0的必要条件，即有“p⇒a>
0，a>
0⇏p”．
A选项中，a2>
0⇏a>
0，有可能是a<
b<
0，故A不符合条件；
B选项中，
⇔0<
a<
1⇏a>
0，故B不符合条件；
C选项中，lna>
0⇔a>
1⇒a>
0，而a>
1，符合条件；
D选项中，xa>
xb且0<
1时a<
b；
1时a>
b，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件．
命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例3 设p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<
0，a<
0.q：
实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>
0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 设A＝{x|x2－4ax＋3a2<
0}＝{x|3a<
a，a<
0}．
B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>
0}
＝{x|x<
－4或x≥－2}．
因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以q是p的必要不充分条件．
所以AB，所以
或
解得a≤－4或－
≤a<
0.
故实数a的取值范围为（－∞，－4]∪
.
反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
（2）注意利用转化的方法理解充分必要条件：
若綈p是綈q的充分不必要（必要不充分、充要）条件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充要）条件．
跟踪训练3 已知p：
2x2－9x＋a<
0，q：
2<
3且綈q是綈p的必要条件，则实数a的取值范围为________．
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
[答案] （－∞，9]
[解析] ∵綈q是綈p的必要条件，
∴q是p的充分条件，
令f（x）＝2x2－9x＋a，
则
解得a≤9，
∴实数a的取值范围是（－∞，9]．
类型三 逻辑联结词与量词的综合应用
例4 已知p：
∃x0∈R，mx
＋2≤0.q：
∀x∈R，x2－2mx＋1>
0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．（－∞，－1]
C．（－∞，－2]D．[－1,1]
题点 由“p∨q”形式命题的真假求参数的范围
[解析] 因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题．
由p：
＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2>
0，所以m≥0.①
由q：
0为假，得∃x0∈R，x
－2mx0＋1≤0，
所以Δ＝（－2m）2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：
p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．
跟踪训练4 已知命题p：
＋1≤0，命题q：
∀x∈R，x2＋mx＋1>
0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）B．[－2,0）
C．（－2,0）D．（0,2）
题点 已知p且q命题的真假求参数（或其范围）
[解析] 因为p∧q为真命题，
所以命题p和命题q均为真命题，
若p真，则m<
0，①
若q真，则Δ＝m2－4<
所以－2<
m<
2.②
所以p∧q为真，由①②知－2<
1．下列说法正确的是（ ）
A．命题“若x2>
1，则x>
1”的否命题为“若x2>
1，则x≤1”
B．命题“∃x0∈R，x
>
1”的否定是“∀x∈R，x2>
1”
C．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆否命题为假命题
D．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆命题为假命题
[解析] A中，命题“若x2>
1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，∴A错误．
B中，命题“∃x0∈R，x
1”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，∴B错误．
C中，“若x＝y，则cosx＝cosy”为真命题，则其逆否命题也为真命题，∴C错误．
D中，命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆命题“若cosx＝cosy，则x＝y”为假命题，∴D正确．
2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，
即两个平面相交；
但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点．
3．命题“∃x0∈R，f（x0）<
0”的否定是（ ）
A．∃x0∉R，f（x0）≥0B．∀x∉R，f（x）≥0
C．∀x∈R，f（x）≥0D．∀x∈R，f（x）<
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
4．已知p：
x2＋2x－3>
0；
q：
1.若“（綈q）∧p”为真命题，求x的取值范围．
解 因为“（綈q）∧p”为真，所以q假p真．
而当q为真命题时，有
<
0，即2<
3，
所以当q为假命题时有x≥3或x≤2；
当p为真命题时，由x2＋2x－3>
解得x>
1或x<
－3，
由
解得x<
－3或1<
x≤2或x≥3.
5．已知条件p：
x2－3x－4≤0，条件q：
|x－3|≤m，若綈q是綈p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解 ∵由x2－3x－4≤0，得－1≤x≤4，
若|x－3|≤m有解，
则m>
0（m＝0时不符合已知条件），
则－m≤x－3≤m，
得3－m≤x≤3＋m，
设A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|3－m≤x≤3＋m}．
∵綈q是綈p的充分不必要条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴p⇒q成立，但q⇒p不成立，即AB，
（等号不同时取到），
即
得m≥4，
故m的取值范围是[4，＋∞）．
1．互为逆否命题的两命题是等价命题．
2．充分条件与必要条件的判定应先找准条件p与结论q，可根据定义及集合法进行判别．
3．含有联结词“且”“或”“非”的复合命题的真假判断．
p∧q中p，q有一假为假，p∨q有一真为真，p与綈p是一真一假．
4．全称命题与特称命题的否定
先改量词（全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词）再对结论否定.
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