(教案)反比例函数拓展应用Word文档格式.doc
《(教案)反比例函数拓展应用Word文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(教案)反比例函数拓展应用Word文档格式.doc(12页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
4
5
教学内容
内容讲解
1.反比例函数:
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.
2.反比例函数的图象和性质.
利用画函数图象的方法,可以画出反比例函数的图象,它的图象是双曲线,反比例函数y=具有如下的性质①当k>
0时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左到右下降,也就是在每个象限内,y随x的增加是减小;
②当k<
0时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左到右上升,也就是在每个象限内,y随x的增加而增大.
3.反比例函数的确定方法:
由于在反比例函数关系式y=中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数.因此,只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标,代入y=中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式.
4.用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是:
①设所求的反比例函数为:
y=(k≠0);
②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程;
③由代入法解待定系数k的值;
④把k值代入函数关系式y=中.
例题剖析
例1如果函数y=k的图象是双曲线,且在第二、四象限,那么k的值是多少?
分析:
若函数的图象是双曲线,则此函数为反比例函数y=,且k≠0,若图象在第二、四象限,则k<
0,故可求出k的值.
解:
由反比例函数定义,得
所以k=-1,这时函数为y=-.
评注:
函数y=kxm反比例函数,则m=-1,k≠0;
若y=是反比例函数,则m=1,k≠0.
例2函数y=kx和y=(k<
0)在同一坐标系中的图象是()
对于y=kx来说,当k>
0时,图象经过一、三象限,当k<
0时,图象经过二、四象限;
对于y=来说,当k>
0时,图象在一、三象限,当k<
0时,图象在二、四象限,所以应选(C).
(C).
由于两个函数中的k是相同的,所以可以把k分为两类进行讨论,当k>
0时的图象是什么?
当k<
0时的图象是什么?
例3如图,正比例函数y=3x的图象与反比例函数y=(k>
0)的图象交于点A,若取k为1,2,3,…,20,对应的Rt△AOB的面积分别为S1,S2,…,S20,则S1+S2+…+S20=_________.
因为过正比例函数与反比例函数的交点作x轴的垂线,x轴,正比例函数与垂线所围成的Rt△AOB的面积是k的一半.
105.
若k取大于0的自然数1,2,3,……n,则对应的Rt△AOB的面积分别为S1,S2,S3……Sn,则S1+S2+S3+……+Sn=.
例4正比例函数y=-x与反比例函数y=-的图象相交于A、C两点,AB⊥x轴于B,CD⊥x轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为________.
易知四边形ABCD是一平行四边形,故可知其面积为S的4倍,为一常数.
函数y=x与y=的图象交点A、C的坐标分别为(1,1),(-1,-1),所以△AOB的面积等于,根据反比例函数的图象是中心对称图形,得平行四边形ABCD的面积为2.
理解反比例函数中的不变量k的几何意义是解题的关键.
例5两个反比例函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示,点P1,P2,P3,…,P2005在反比例函数y=图象上,它们的横坐标分别是x1,x2,x3,…,x2005,纵坐标分别是1,3,5,…,共2005个连续奇数,过点P1,P2,P3,…,P2005分别作y轴的平行线,与y=的图象交点依次是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),Q3(x3,y3),…,Q2005(x2005,y2005),则y2005=________.
分析:
解题关键是抓住点P1,P2,P3,…,P2005与点P1,P2,P3,…,P2005的横坐标相同.
当点P1,P2,P3,…,P2005在函数y=的图象上,它们的纵坐标分别取1,3,5,…,4009时相应的横坐标分别为,….Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),Q3(x3,y3),…,Q2005(x2005,y2005)在函数y=的图象上,且这些点的横坐标分别与点P1,P2,P3,…,P2005的横坐标相同,点Q2005横坐标是.所以点Q2005的纵坐标是y2005==.
本题以能力立意,一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力,另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力.此类题背景较新颖,有时规律较隐蔽,而成为填空题中的“把关题”.
例6反比例函数y=(k>
0)在第一象限内的图像如图所示,P为该图像上任意一点,PQ垂直于x轴,垂足为Q.设△POQ的面积为S,那么S的值与k的值是否存在关系?
若有关系,请写出S与k之间的关系式;
若没有关系,请说明理由.
因为S△POQ=·
OQ·
PQ,若设P点坐标为P(x,y),则OQ=│x│,PQ=│y│,又因为P点在第一象限,所以x>
0,y>
0,因此可以得到S△POQ=xy,而由y=可以得到xy=k,于是可以确定S与k的关系式.
S与k之间的关系式为S=k,
设P点的坐标为P(x,y),则OQ=│x│,PQ=│y│.
∵点P在第一象限内,∴x>
0,
∴OQ=x,PQ=y.
∴S△POQ=·
PQ=xy.
又∵xy=k,∴S△POQ=k.
评注:
反比例函数的系数k与过双曲线上的点作x轴、y轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关系在解题中作用很大,要熟练掌握.
例7如图所示,已知反比例函数y=的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、Q两点,并且P点的纵坐标是6.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求△POQ的面积.
由已知条件P点的纵坐标是6,而点P在反比例函数y=上,可以求得P点的横坐标为x=2,即P点坐标为(2,6).
又P点也在一次函数y=kx+4上,把点(2,6)代入即可求出一次函数的解析式,△POQ的面积可以分成△PON与△QON两部分,这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到.
(1)∵点P在反比例函数y=的图像上,且其纵坐标为6.
∴=6解得x=2,∴P(2,6).
又∵点P在函数y=kx+4的图像上,
∴6=2k+4,解得k=1.
∴所求一次函数的解析式为y=x+4.
(2)解方程组
∴点Q的坐标为(-6,-2).
令y=0,代入y=x+4,解得x=-4.
∴函数y=x+4的图像与x轴的交点是N(-4,0).
∴△PON和△QON的公共边ON=4,ON边上的高分别为PA=6,QB=2.
∴S△POQ=S△PON+S△QON=×
4×
6+×
2=16.
本题涉及一次函数及反比例函数的图像,识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键.
例8为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧后,y与x成反比例(如图).观测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克,请根据题中提供的信息,解答下列问题:
(1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为________,自变量x的取值范围是__________;
药物燃烧后y关于x的函数关系式为________.
(2)研究表明,当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时,学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过多少分钟后,学生才能回到教室.
(3)研究表示,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?
为什么?
这是一道紧扣生活热点的应用题,应引起同学们的重视,同时要学会看图形.
由图知药物燃烧时,函数为正比例函数
设y与x的解析式为y=kx(k≠0)
∵点(8,6)在直线上,∴6=8k,∴k=,
∴y与x的解析式为y=x(0<
x≤8).
药物燃烧后函数为反比例函数
设y与x的解析式为y=(k′≠0),点(8,6)在曲线上,∴k′=8×
6=48.
∴y与x的解析式为y=(x>
8).
(2)将x=1.6代入反比例函数解析式中
y==30(分钟)
答:
从消毒开始,至少要经过30分钟后学生才能回教室.
(3)把y=3分别代入两个函数解析式,解得x=4和x=16,而16-4=12>
10.
即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续时间为12分钟,∴这次消毒有效.
本题通过具体问题情境,既考数学的应用,又考应用的数学.解答这类问题要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型.
例9某厂从2001年起开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具体数据如下表:
2001
2002
2003
2004
投入技改资金x(万元)
2.5
3
4
4.5
产品成本y(万元/件)
7.2
6
(1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式;
(2)按照这种变化规律,若2005年已投入技改资金5万元.
①预计生产成本每件比2004年降低多少万元?
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需投入技改资金多少万元?
(结果精确到0.01万元)?
观察表格发现“投入技改资金x”与“产品成本y”的积不变,故表中数据满足反比例函数关系.
(1)设其为一次函数,解析式为y=kx+b
当x=2.5时,y=7.2;
当x=3时,y=6
∴一次函数解析式为y=-2.4x+13.2.
把x=4时,y=4.5代入此函数解析式
左边≠右边,∴其不是一次函数.
同理,其也不是二次函数.
设其为反比例函数,解析式为y=
当x=2.5时,y=7.2可得7.2=,得k=18
∴反比例函数为y=.
验证:
当x=3时,y==6,符合反比例函数.
同理可验证:
x=4时,y=4.5;
x=4.5时,y=4成立.
∴可用反比例函数y=表示其变化规律.
(2)解:
①当x=5万元时,y==3.6.
∵4-3.6=0.4(万元),
∴生产成本每件比2004年降低0.4万元.
②当y=3.2时,3.2=,得x=5.625,
∵5.625-5=0.625≈0.63(万元).
∴还需投入0.63万元.
这是一道渗透新课程理念的好题.它没有直接给出函数的解析式,而是让学生从表中获取信息,来索取与其变化规律相合拍的函数,并付诸于具体实际的应用问题之中.较好地考查了学生直觉思维能力和合情推理探索能力、建模能力和解决实际问题的能力.
例10已知,如图所示,正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在函数y=(k>
0,x>
0)的图像上,点P(m,n)是函数y=上的任意一点,过P作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F,并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分面积为S.
(1)求B点的坐标和k的值;
(2)当S=时,求点P的坐标;
(3)写出S关于m的函数关系式.
把矩形面积用坐标表示,A、B坐标可求,S矩形OAGF可用含n的代数式表示,解题的关键是双曲线关于y=x对称,符合题设条件的P点不惟一,故思考须周密.
(1)依题意,设B点坐标为(x0,y0).
所以S正方形OABC=x0y0=9,x0=y0=3
即B(3,3),所以x0y0=k,k=9;
(2)①P(m,n)在y=上,S正方形OEP1F=mn=9,所以S矩形OAGF=3n,由已知可得S=9-3n=,解得n=,m=6,所以P1(6,).
②如图(a)所示,同理可求得P2(,6).
(3)如图(b)所示,当0<
m<
3时,因为点P坐标为(m,n),所以S矩形OEGC=3m,S=S矩形OEPF-S矩形OEGC
所以S=9-3m(0<
3)
如图(c)所示,当m≥3时,因为P点坐标为(m,n)
所以S矩形OAGF=3n,mn=9,n=,所以S=9-3n=9-.
求两个函数图象的交点坐标,一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到,求符合某种条件的点的坐标,需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组),解方程(组)便可求得有关点的坐标,对于几何问题,还应注意图形的分类讨论.
例11三个反比例函数
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=在x轴上方的图象如图所示,由此推出k1,k2,k3的大小关系.
由图象所在的象限可知:
k1<
0,k2>
0,k3>
0;
在
(2)(3)中,为了比较k与k的大小,可取x=a>
0,作直线x=a,与两图象相交,找到y=与y=的对应函数值b和c,由于k2=ab,k3=ac,而c>
b>
0,因而k3>
k2>
k1.
k3>
比较反比例函数的系数k的大小一般先从图象上去考虑,图象在一、三象限的k值比图象在二、四象限的k值大,同一个象限内图象在外部的k值比在内部的k值大.
例12已知点(1,3)在函数y=(k>
0)的图象上,矩形ABCD的边BC在x轴上,E是对角线BD的中点,函数y=(k>
0)的图象.经过A、E两点,点E的横坐标为m.
(1)求k的值;
(2)求点C的横坐标(用m表示);
(3)当∠ABD=45°
时,求m的值.
由点P在反比例函数上,可以先求出k值,利用对称性可以求出点C的坐标.
(1)因为点(1,3)在函数y=(x>
0)的图象上,
所以3=,所以k=3;
(2)因为点E在函数y=的图象上,所以E点的纵坐标为.所以点E的坐标为(m,),设B点的坐标为(b,0),所以A点的坐标为(b,).
因为A点在函数y=的图象上,所以=,所以b=.所以C点的横坐标为OB+BC=b+2(m-b)=+2(m-)=+m=m;
(3)当∠ABD=45°
时,│AB│=│AD│,所以=-=m.所以m2=6,又因为m>
0,所以m=.
此题是函数和几何综合题,所以在解题中一定要先看图、读懂图,找出图形中的内在联系.
例13有一个Rt△ABC,∠A=90°
,∠B=60°
,AB=1,将它放在直角坐标系中,使斜边BC在x轴上,直角顶点A在反比例函数y=的图象上,求点C的坐标.
通过画图可发现:
点A的位置有两种情况(在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上),点B、C的位置也有两种情况(可能点靠近原点,也可能点不靠近原点),解题时要注意利用反比例函数图象的对称性.
本题共有4种情况.
(1)如图①,过点A做AD⊥BC于D,∵AB=1,∠B=60°
,∴BD=,AD=,
∴点A的纵坐标为.将其代入y=,得x=2,即OD=2.
在Rt△ADC中,DC=,所以OC=,即点C1的坐标为(,0).
(2)如图②,过点A作AE⊥BC于E则AE=,OE=2,CE=,
所以OC=.即点C2的坐标为(,0).
根据双曲线的对称性,得点C3的坐标为(-,0),点C4的坐标为(-,0).
所以点C的坐标分别为:
(,0)、(,0)、(-,0)、(-,0).
根据题意,进行分类,是解决本题的突破口.此题涉及与反比例函数相关的综合性问题,能较好地展示学生的思维过程和思维个性,着重考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力,具有较好的选拨功能.
课堂总结:
课后作业:
课堂反馈:
○非常满意○满意○一般○差
学生签字:
校长签字:
___________
全面赶超、亲、要相信自己、