初一奥赛培训04：一元一次方程Word文档格式.doc

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（3）

15、a为何值时，方程有无数个解？

无解？

16、当k取何值时，关于x的方程3（x+1）=5﹣kx分别有

（1）正数解；

（2）负数解；

（3）不大于1的解．

答案与评分标准

考点：

解一元一次方程。

专题：

计算题。

分析：

先去小括号，再去中括号，然后移项合并、化系数为1可得出答案．

解答：

解：

去小括号得：

﹣[x﹣x+]﹣=x+，

去中括号得：

﹣x+x+﹣=x+，

移项合并得：

，

系数化为1得：

x=﹣．

点评：

本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：

去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．

同解方程。

本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．

由方程①可求得3x﹣5x=﹣6，所以x=3．

由已知，x=3也是方程②的解，

根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，

应有：

4×

3﹣3（a﹣3）=6×

3﹣7（a﹣3），

解得：

a=4．

本题考查同解方程的知识，难度不大，关键是根据①求出方程②的解．

一元一次方程的解。

方程思想。

解一元一次方程2（x+1）=3（x﹣1）求得方程的解，即可求得a的值，代入方程2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]=3a，然后解方程即可求得方程的解．

由方程2（x+1）=3（x﹣1）解得x=5．

由题设知a+2=5，

所以a=3．于是有

2[2（x+3）﹣3（x﹣3）]=3×

3，

即﹣2x=﹣21，

∴x=10．

本题主要考查了方程的解的定义，根据方程的解的定义可以把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

计算题；

分类讨论。

先将方程整理为m（m+n）x=n（m+n），然后分情况讨论，①m+n=0且m≠0，②m+n=0且m=0，③m+n≠0，然后可分别解得x的值．

分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．

把原方程化为：

m2x+mnx﹣mn﹣n2=0，

整理得：

m（m+n）x=n（m+n）．

①m+n≠0且m≠0时，方程的唯一解为x=；

②当m+n≠0，且m=0时，方程无解；

③当m+n=0时，方程的解为一切实数．

本题考查解一元一次方程的知识，有一定难度，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．

本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．

将原方程整理化简得

（a﹣b）2﹣x2=a2b2+a2x﹣b2x﹣x2﹣a2b2，

即（a2﹣b2）x=（a﹣b）2．

（1）当a2﹣b2≠0时，即a≠±

b时，方程有唯一解；

x=，

x=；

（2）当a2﹣b2=0时，即a=b或a=﹣b时．

若a﹣b≠0，即a≠b，即a=﹣b时，方程无解；

若a﹣b=0，即a=b，方程有无数多个解．

本题虽表面上有x2项，但实际考查解一元一次方程的解法，有一定的难度，注意分类讨论思想的应用．

一元一次方程的定义；

代数式求值。

根据一元一次方程的定义：

只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．列出等式，求出m的值，代入即可．

∵（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，

∴m2﹣1=0，即m=±

1．

（1）当m=1时，方程变为﹣2x+8=0，因此x=4，∴原式=199（1+4）（4﹣2×

1）+1=1991；

（2）当m=﹣1时，原方程无解．

所以所求代数式的值为1991．

本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．

先将方程变形为ax=b的形式，再根据一元一次方程无解的情况：

a=0，b≠0，求得方程a（2x﹣1）=3x﹣2中a的值．

将原方程变形为

2ax﹣a=3x﹣2，

即（2a﹣3）x=a﹣2．

由已知该方程无解，所以

解得a=．

故a的值为．

本题考查了一元一次方程解的情况．一元一次方程的标准形式为ax=b，它的解有三种情况：

①当a≠0，b≠0时，方程有唯一一个解；

②当a=0，b≠0时，方程无解；

③当a=0，b=0时，方程有无数个解．

一元二次方程的解；

一元二次方程的定义。

对方程ax=b，当a≠0时，方程有唯一解x=，此解的正负由a，b的取值范围确定：

（1）当ab＞0时，方程的解是正数，

（2）当ab＜时，方程的解是负数．

按未知数x整理方程得

（k2﹣2k）x=k2﹣5k．

要使方程的解为正数，需要

（k2﹣2k）（k2﹣5k）＞0．

看不等式的左端

（k2﹣2k）（k2﹣5k）=k2（k﹣2）（k﹣5）．

因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，

所以k＞5或0＜k＜2即为所求．

本题考查的是方程的解，根据方程的解的概念，运用不等式的性质，确定k的取值范围．

将方程中的1用abc代替，然后化简整理可约去abc+bc+b，进而能得出答案．

因为abc=1，所以原方程可变形为：

++=1

化简整理为：

+=1，

=1，

∴x=为原方程的解．

本题考查解一元一次方程的知识，注意像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．

根据题意，首先将方程式进行化简，去分母、移项、合并同类项，再根据题干所给a、b、c的条件进行推理讨论解决．

解法1、原方程两边乘以abc，

得到方程：

ab（x﹣a﹣b）+bc（x﹣b﹣c）+ac（x﹣c﹣a）=3abc，

移项、合并同类项得：

ab[x﹣（a+b+c）]+bc[x﹣（a+b+c）]+ac[x﹣（a+b+c）]=0，

因此有：

[x﹣（a+b+c）]（ab+bc+ac）=0，

因为a＞0，b＞0，c＞0，

所以ab+bc+ac≠0，

所以x﹣（a+b+c）=0，

即x=a+b+c为原方程的解；

解法2、将原方程右边的3移到左边变为﹣3，

再拆为三个“﹣1”，

并注意到：

其余两项做类似处理，

设m=a+b+c，

则原方程变形为：

所以：

（x﹣m）（）=0，

∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴≠0，

∴x﹣m=0，

即：

x﹣（a+b+c）=0，

所以x=a+b+c为原方程的解．

本题主要考查了解一元一次方程，需要熟悉解一元一次方程的步骤，同时需要注意观察，认真推敲所给条件，巧妙变形，从而产生简单优美解法．

取整函数。

要解此方程，必须先去掉[]，根据[x]是整数，2[x]，3[x]，n[x]都是整数，所以x必是整数，即可求解．

由于n是自然数，所以n与（n+1）

中必有一个偶数，因此是整数．因为[x]是整数，2[x]，3[x]，n[x]都是整数，所以x必是整数．

根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为

x+2x+3x+4x+…+nx=

合并同类项得

（1+2+3+…+n）x=

故有

x=

所以x=n（n+1）为原方程的解．

本题主要考查了取整函数的计算，去掉[]，转化为一般的式子是解决本题的关键．

一元二次方程的整数根与有理根。

用x表示出a，找到x的最小的自然数解，也就求得了a的值，进而求得最小值．

由原方程可解得a=x﹣142，

∵a为自然数，

∴x＞142，

∴x＞157，

∵a最小，∴x应取x=160．∴a=2．

所以满足题设的自然数a的最小值为2．

考查二元方程的最小系数的自然数值；

用一个字母表示出另一个字母是解决本题的突破点．

（1）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项即可；

（2）按照去分母、去括号、移项的步骤计算；

（3）先去小括号、再去中括号、最后去大括号、移项即可．

（1）分母化为整数得：

﹣=，

去分母得：

6（4x+9）﹣15（x﹣5）=10（2x+3），

去括号得：

24x+54﹣15x+75=20x+30，

移项得：

11x=99，

同除以11得：

x=9．

（2）去分母得：

1﹣=4，

再去分母得：

3﹣1﹣（1﹣x）=12，

2﹣+x=12，

x=10=，

同除以得：

x=21．

（3）去小括号得：

{[﹣﹣6]+4}=1，

再去中括号得：

{+4}=1，

再去大括号得：

=，

x=5．

本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：

根据题意，去括号、移项、合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解；

②③需要分析好ab的取值．

（1）去括号，得：

a2x﹣2a2﹣3a=x+1，

移项，得：

a2x﹣x=2a2+3a+1，

（a2﹣1）x=2a2+3a+1，

当a2﹣1≠0即a≠±

1时，

方程有唯一解：

当a2﹣1=0即a=±

方程无解；

（2）去分母，得：

6ax+6b﹣（6x+4ab）=3，

去括号，得：

6ax+6b﹣6x﹣4ab=3，

移项合并同类项，得：

（6a﹣6）x=4ab﹣6b+3，

当a≠1时，

当a=1时，方程无解；

（3）去分母，得：

b（x﹣b）=2ab﹣a（x﹣a）

bx﹣b2=2ab﹣ax+a2，

ax+bx=a2+2ab+b2，

（a+b）x=（a+b）2，

∴当a+b≠0时，

x=a+b，

当a+b=0时，

方程无解．

本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：

去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，需要特别注意取值分析．

原方程可整理为0x=6a﹣12，从而讨论a的值可得出答案．

由题意得：

0x=6a﹣12，

①当a=2时，方程有无数个解；

②当a≠2时，方程无解．

本题考查解一元一次方程的知识，关键是整理方程后讨论a的取值．

解一元一次不等式组；

综合题。

先求出方程的解，把问题转化为求不等式

（1）x＞0，

（2）x＜0，（3）x≤1的解集问题．

将原方程变形为（3+k）x=2．

（1）当3+k＞0，即k＞﹣3时，方程有正数解．

（2）当3+k＜0，即k＜﹣3时，方程有负数解．

（3）当方程解不大于1时，有≤1（k≠﹣3），

∴1﹣=≥0．

所以1+k，3+k应同号，即

或

解得或

得解为k≥﹣1或k＜﹣3．

注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的．

本题是考查解一元一次不等式与方程综合性的题目，是常见的考点之一．

参与本试卷答题和审题的老师有：

zhjh；

WWF；

lanchong；

HJJ；

bjy；

caicl；

workholic；

mrlin；

冯延鹏；

bjf。

（排名不分先后）

菁优网

2012年2月13日