初中几何证明题五大经典(含答案)Word文档下载推荐.doc
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∵∠BPA=∠MPA,∠CPD=∠MPD
∴∠MPA=∠MPD=75°
∴∠BPC=360°
-75°
×
4=60°
∵MP=BP,MP=CP∴BP=CP∴△BPC是正三角形
3、已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.
∠DEN=∠F.
证明:
连接AC,取AC的中点G,连接NG、MG
∵CN=DN,CG=DG
∴GN∥AD,GN=AD
∴∠DEN=∠GNM
∵AM=BM,AG=CG
∴GM∥BC,GM=BC
∴∠F=∠GMN
∵AD=BC
∴GN=GM
∴∠GMN=∠GNM
∴∠DEN=∠F
经典题
(二)
△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.
(1)求证:
AH=2OM;
(2)若∠BAC=600,求证:
AH=AO.(初二)
(1)延长AD交圆于F,连接BF,过点O作OG⊥AD于G
∵OG⊥AF
∴AG=FG
∵=
∴∠F=∠ACB
又AD⊥BC,BE⊥AC
∴∠BHD+∠DBH=90°
∠ACB+∠DBH=90°
∴∠ACB=∠BHD
∴∠F=∠BHD
∴BH=BF又AD⊥BC
∴DH=DF
∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH)=2GD
又AD⊥BC,OM⊥BC,OG⊥AD
∴四边形OMDG是矩形
∴OM=GD∴AH=2OM
(2)连接OB、OC
∵∠BAC=60∴∠BOC=120°
∵OB=OC,OM⊥BC
∴∠BOM=∠BOC=60°
∴∠OBM=30°
∴BO=2OM
由
(1)知AH=2OM∴AH=BO=AO
2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.
AP=AQ.
作点E关于AG的对称点F,连接AF、CF、QF
∵AG⊥PQ∴∠PAG=∠QAG=90°
又∠GAE=∠GAF∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF
即∠PAE=∠QAF
∵E、F、C、D四点共圆
∴∠AEF+∠FCQ=180°
∵EF⊥AG,PQ⊥AG
∴EF∥PQ
∴∠PAF=∠AFE
∵AF=AE
∴∠AFE=∠AEF
在△AEP和△AFQ中
∠AFQ=∠AEP
AF=AE
∠QAF=∠PAE
∴△AEP≌△AFQ
∴AP=AQ
∴∠AEF=∠PAF
∵∠PAF+∠QAF=180°
∴∠FCQ=∠QAF
∴F、C、A、Q四点共圆
∴∠AFQ=∠ACQ
又∠AEP=∠ACQ
∴∠AFQ=∠AEP
3、设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.
AP=AQ.(初二)
作OF⊥CD于F,OG⊥BE于G,连接OP、OQ、OA、AF、AG
∵C、D、B、E四点共圆
∴∠B=∠D,∠E=∠C
∴△ABE∽△ADC
∴△ABG∽△ADF
∴∠AGB=∠AFD
∴∠AGE=∠AFC
∵AM=AN,
∴OA⊥MN
又OG⊥BE,
∴∠OAQ+∠OGQ=180°
∴O、A、Q、E四点共圆
∴∠AOQ=∠AGE
同理∠AOP=∠AFC
∴∠AOQ=∠AOP
又∠OAQ=∠OAP=90°
,OA=OA
∴△OAQ≌△OAP
4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF的中点,OP⊥BC
BC=2OP(初二)
分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、N
∵OF=OD,DN∥OP∥FL
∴PN=PL
∴OP是梯形DFLN的中位线
∴DN+FL=2OP
∵ABFG是正方形
∴∠ABM+∠FBL=90°
又∠BFL+∠FBL=90°
∴∠ABM=∠BFL
又∠FLB=∠BMA=90°
,BF=AB
∴△BFL≌△ABM
∴FL=BM
同理△AMC≌△CND
∴CM=DN
∴BM+CN=FL+DN
∴BC=FL+DN=2OP
经典题(三)
1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
CE=CF.(初二)
连接BD交AC于O。
过点E作EG⊥AC于G
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC又EG⊥AC
∴BD∥EG又DE∥AC
∴ODEG是平行四边形
又∠COD=90°
∴ODEG是矩形
∴EG=OD=BD=AC=AE
∴∠EAG=30°
∵AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=75°
又∠AFD=90°
∴∠CFE=∠AFD=75°
=∠AEC
∴CE=CF
2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
AE=AF.(初二)
连接BD,过点E作EG⊥AC于G
∴BD⊥AC,又EG⊥AC
∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°
在△AFC中∠F=180°
-∠FAC-∠ACF
=180°
-∠FAC-∠GCE
=180°
-135°
-30°
=15°
∴∠F=∠CEA
∴AE=AF
∴EG=OD=BD=AC=CE
∴∠GCE=30°
∵AC=EC
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
PA=PF.(初二)
过点F作FG⊥CE于G,FH⊥CD于H
∵CD⊥CG∴HCGF是矩形
∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG
∴HCGF是正方形
设AB=x,BP=y,CG=z
z:
y=(x-y+z):
x
化简得(x-y)·
y=(x-y)·
z
∵x-y≠0
∴y=z
即BP=FG
∴△ABP≌△PGF
∴CG=GF
∵AP⊥FP
∴∠APB+∠FPG=90°
∵∠APB+∠BAP=90°
∴∠FPG=∠BAP
又∠FGP=∠PBA
∴△FGP∽△PBA
∴FG:
PB=PG:
AB
4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.
AB=DC,BC=AD.(初三)
过点E作EK∥BD,分别交AC、AF于M、K,取EF的中点H,
连接OH、MH、EC
∵EH=FH
∴EM=KM
∵EK∥BD
∴OB=OD
又AO=CO
∴四边形ABCD的对角线互相平分
∴ABCD是平行四边形
∴AB=DC,BC=AD
∴OH⊥EF,∴∠PHO=90°
又PC⊥OC,∴∠POC=90°
∴P、C、H、O四点共圆
∴∠HCO=∠HPO
又EK∥BD,∴∠HPO=∠HEK
∴∠HCM=∠HEM
∴H、C、E、M四点共圆
∴∠ECM=∠EHM
又∠ECM=∠EFA
∴∠EHM=∠EFA
∴HM∥AC
经典题(四)
△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.
求∠APB的度数.(初二)
解:
将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°
得△BCQ,连接PQ
则△BPQ是正三角形
∴∠BQP=60°
,PQ=PB=3
在△PQC中,PQ=4,CQ=AP=3,PC=5
∴△PQC是直角三角形
∴∠PQC=90°
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°
+90°
=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.
∠PAB=∠PCB.(初二)
过点P作AD的平行线,过点A作PD的平行线,
两平行线相交于点E,连接BE
∵PE∥AD,AE∥PD
∴ADPE是平行四边形
∴PE=AD,
又ABCD是平行四边形
∴AD=BC
∴PE=BC
又∠ADP=∠ABP
∴∠AEP=∠ABP
∴A、E、B、P四点共圆
∴∠BEP=∠PAB
∴∠PAB=∠PCB
又PE∥AD,AD∥BC
∴PE∥BC
∴BCPE是平行四边形
∴∠BEP=∠PCB
∵ADPE是平行四边形
∴∠ADP=∠AEP
3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:
AB·
CD+AD·
BC=AC·
BD.(初三)
在BD上去一点E,使∠BCE=∠ACD
∵=∴∠CAD=∠CBD
∴△BEC∽△ADC
∴AD·
BC=BE·
AC……………………①
∵∠BCE=∠ACD
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE
即∠BCA=∠ECD
①+②得AB·
CD+AD·
BC=DE·
AC+BE·
AC
=(DE+BE)·
=BD·
∵=,∴∠BAC=∠BDC
△BAC∽△EDC
∴AB·
CD=DE·
AC……………………②
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且
P
AE=CF.求证:
∠DPA=∠DPC.(初二)
过点D作DG⊥AE于G,作DH⊥FC于H,连接DF、DE
∴S△ADE=AE·
DG,S△FDC=FC·
DH
又S△ADE=S△FDC=S□ABCD
∴AE·
DG=FC·
又AE=CF
∴DG=DH
∴点D在∠APC的角平分线上
∴∠DPA=∠DPC
经典题(五)
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:
≤L<2.
(1)将△BPC绕B点顺时针旋转60°
的△BEF,连接PE,
∵BP=BE,∠PBE=60°
∴△PBE是正三角形。
∴PE=PB又EF=PC
∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF
当PA、PE、EF在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF的值最小(如图)
在△ABF中,∠ABP=120°
∴AF=
∴L=PA+PB+PC≤
(2)过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G
则△ADG是正三角形
∴∠ADP=∠AGP,AG=DG
∵∠APD>∠AGP
∴∠APD>∠ADP
∴AD>PA…………………………①
又BD+PD>PB……………………②
CG+PG>PC……………………③
①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG>PA+PB+PC
∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC>PA+PB+PC=L
∵AB=AC=1∴L<2
由
(1)
(2)可知:
P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
将△BCP绕点B顺时针旋转60°
得△BEF,连接PE,
则△BPE是正三角形
∴PE=PB
∴PA+PB+PC=PA+PE+EF
∴要使PA+PB+PC最小,则PA、PE、EF应该在一条直线上(如图)
此时AF=PA+PE+EF
过点F作FG⊥AB的延长线于G
则∠GBF=180°
-∠ABF=180°
-150°
=30°
∴GF=,BG=
∴AF===
∴PA+PB+PC的最小值是
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
将△ABP绕点B顺时针旋转90°
则△BPQ是等腰直角三角形,
∴PQ=PB=×
2a=2a
又QC=AP=a
∴QP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2
∴∠BQC=135°
∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·
CQ·
cos∠BQC
=PB2+PA2-2PB·
PAcos135°
=4a2+a2-2×
2a×
a×
(-)
解得BC=
∴正方形的边长为
4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=80°
,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=30°
,∠EBA=20°
,求∠BED的度数.
在AB上取一点F,使∠BCF=60°
,CF交BE于G,连接EF、DG
∵∠ABC=80°
,∠ABE=20°
,∴∠EBC=60°
,又∠BCG=60°
∴△BCG是正三角形∴BG=BC
∵∠ACB=80°
,∠BCG=60°
∴∠FCA=20°
∴∠EBA=∠FCA
又∵∠A=∠A,AB=AC∴△ABE≌ACF∴AE=AF
∴∠AFE=∠AEF=(180°
-∠A)=80°
又∵∠ABC=80°
=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°
∴△EFG是等边三角形∴EF=EG,∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°
∵ACB=80°
,∠DCA=30°
∴∠BCD=50°
∴∠BDC=180°
-∠BCD-∠ABC=180°
-50°
-80°
=50°
∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG
∠BGD=∠BDG=(180°
-∠ABE)=80°
∴∠FGD=180°
-∠BGD-∠EGF=180°
-60°
=40°
又∠DFG=180°
-∠AFE-∠EFG=180°
∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG,DE=DE∴△EFD≌△EGD
∴∠BED=∠FED=∠FEG=×
60°
5、如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F,若AC=6,BC=8,求线段PD的长。
∵∠ACD=∠BCD∴=∴AD=BD
∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形
∵∠ACB=90°
,AC=6,BC=8∴AB=10
∴AD=AB·
cos∠DAB=10×
=5
又AE⊥CD,∠ACD=45°
∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE=AC·
cos∠CAE=6×
=3
在△ADE中,DE2=AD2-AE2∴DE2=∴DE=
∴CD=CE+DE=3+=
∵∠PDA=∠PCD,∠P=∠P∴△PDA∽△PCD∴
∴PC=PD,PA=PD∵PC=PA+AC∴PD=PD+6解得PD=
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