第26章反比例函数全章优质PPT.ppt

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,不具备的形式，所以y不是x的反比例函数。

y是x的反比例函数，比例系数k=4。

可以改写成所以y是x的反比例函数，比例系数k=,y=3x-1,y=2x,y=3x,下列函数中哪些是反比例函数?

哪些是一次函数?

反比例函数,一次函数,1.在下列函数中，y是x的反比例函数的是（）（A）（B）+7（C）xy=5（D）2.已知函数是正比例函数,则m=_；

已知函数是反比例函数,则m=_。

C,8,6,3.关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗?

若是，比例系数k等于多少？

若不是，请说明理由。

xy+4=0可以改写成,比例系数k等于4,所以y是x的反比例函数,4.当m时，关于x的函数y=（m+1）xm2-2是反比例函数？

分析:

m2-2=-1,m+10,即,m=1,m-1,1,例2.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6.写出y与x的函数关系式:

求当x=4时y的值.,例题讲析,因为当x=2时y=6，所以有,y与x的函数关系式为,把x=4代入得,【待定系数法求反比例函数的表达式】,变式:

y是x-1的反比例函数,当x=2时,y=-6.

（1）写出y与x的函数关系式.

（2）求当y=4时x的值.,

（2）.根据函数表达式完成上表.,2,-4,1,例3.,例题讲析,

（1）.写出这个反比例函数的表达式;

解:

y是x的反比例函数,解：

由题意知,由x=1时，y=4,知识点1,反比例函数的定义,1.判别下列式子是否表示y是关于x的反比例函数？

如果是，请指出相应的k值是多少？

解：

是反比例函数，k值分别为5,123,3.反比例函数定义式及常见的变式（k为常数，,【跟踪训练】,1下列函数中，是反比例函数的是（）,D,2已知函数ykxk2是反比例函数，求k的值解：

由题意得，k21且k0，解得k1.,8,6,-3,判断一个等式为反比例函数,要两个条件:

（1）自变量的指数为-1;

（2）自变量系数不为0.,知识点2,求反比例函数解析式（重点）,2.

（1）已知变量y与x成反比例，并且当x3时，y7，写出y与x之间的函数解析式；

求当x7时函数的值；

（2）已知函数yy1y2，y1与x成正比例，y2与（x2）成反比例，且当x3时，y5；

当x1时，y1，求出y与x的函数解析式,【跟踪训练】,2,【课堂练习】,1.y是x成反比例,当x=3时,y=4.

（1）写出y与x的函数关系式.

（2）求当y=1.5时x的值.,2.已知函y=m+n,其中m与x成正比例,n与x成反比例,且当x=1时,y=4;

x=2时y=5.

（1）求y与x的函数关系式.

（2）当x=4时,求y的值.,26.1.2反比例函数的图象和性质

（1）,知识回顾,1、什么是反比例函数？

2、反比例函数的定义中还需要注意什么？

自变量x的取值范围,一般地，形如的函数叫做反比例函数,自变量x的次数为,3、请回忆：

正比例函数的图象和性质,-2,（k是常数，k0）,-1,x0,若函数y=（m-2）xm2-5是反比例函数，则m=，,1、列表:

2、描点:

3、连线:

-0.5,-1,-2,-4,4,2,1,0.5,请你另外取一个正整数k的值，作出其反比例函数图象,图象会和坐标轴相交吗？

反比例函数的图象,通过对k取不同的正值，作出了反比例函数的图象，你发现了反比例函数的图象是什么?

分别在哪个象限内？

思考：

-4-2-1-0.50.5124,注意：

图象不会与x轴、y轴相交,图象不是直线，是两支曲线，分别在一、三象限内,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,1,6,2,3,3,2,4,1.5,5,1.2,6,1,6,-1,-6,-2,-3,-3,-1.5,-2,-4,-5,-1.2,-6,-1,图象由两条曲线组成，叫做双曲线，,只要k取正值，图象都位于第一、三象限内,K的值还可以取其他一些什么值？

说说看,再认真观察,列表、描点、连线,对称性,反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：

直线y=x和y=-x。

对称中心是：

原点,x,y,0,1,2,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？

A,B,如图xBxA,但yByA,D,C,xA,xB,1、在每一个象限内,2、在整个自变量的取值范围内,K0,K0,当k0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.,当k0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.,1.反比例函数的图象是双曲线;

2.图象性质：

反比例函数的图象和性质,D,活学活用,例.已知反比例函数的图象的一支如图所示.

（1）判断k是正数还是负数；

（2）求这个反比例函数的解析式；

（3）补画这个反比例函数图象的另一支。

1、下列反比例函数的图象分别在哪个象限？

y,x,0,2、已知反比例函数（k0）的图象的一个分支如图，请补画它的另一个分支。

（4，1）.,1、函数的图象在第_象限,在每一象限内，y随x的增大而_.2、函数的图象在第_象限,在每一象限内，y随x的增大而_.3、函数,当x0时,图象在第_象限,y随x的增大而_.,一、三,二、四,一,减小,增大,减小,函数y=kx-k与在同一条直角坐标系中的图象可能是.,已知反比例函数若函数的图象位于第一三象限，则k_;

若在每一象限内，y随x增大而增大，则k_.,4,4,D,由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;

当k0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;

当k0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;

当k0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;

当k0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.,反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴,反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；

反比例函数与的图象关于x轴对称,也关于y轴对称。

反比例函数的图象和性质,形状,位置,增减性,图象的发展趋势,对称性,26.1.2反比例函数的图象和性质

（2）,知识回顾,在每一个象限内:

当k0时，y随x的增大而减小;

当k0时，y随x的增大而增大.,y=kx（k0）（特殊的一次函数）,当k0时，y随x的增大而增大;

当k0时，y随x的增大而减小.,知识回顾,y=kx（k0）（特殊的一次函数）,既轴对称又中心对称,既轴对称又中心对称,对称中心：

原点,对称中心：

原点,对称轴：

直线y=-kx,对称轴：

直线y=x和直线y=-x,例1.已知函数为反比例函数

（1）求m的值.

（2）它的的图象在第几象限?

在各个象限内，y随x的增大如何变化?

（3）当时，求此函数的最大值和最小值,例2.已知反比例函数的图象经过点A（2，6）.

（1）这个函数的图象分布在哪些象限?

y随x的增大如何变化?

（2）点B（3，4）、C（）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？

（）设这个反比例函数为，,解得：

这个反比例函数的表达式为,这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，随的增大而减小。

图象过点A（2，6）,1、反比例函数的图象经过（2，-1），则k的值为；

2、反比例函数的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数图象上，则n等于（）A、10B、5C、2D、-6,-2,A,B,例3.如图是反比例函数的图象一支，根据图象回答下列问题：

（1）图象的另一支在哪个象限？

常数m的取值范围是什么？

（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和B（a，b），如果aa，那么b和b有怎样的大小关系？

（）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限。

这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。

函数的图象在第一、第三象限,解得,（），在这个函数图象的任一支上，随的增大而减小，,当时,例3.如图是反比例函数的图象一支，根据图象回答下列问题：

A,1、在反比例函数的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1x20x3，则下列各式中正确的是（）A、y3y1y2B、y3y2y1C、y1y2y3D、y1y3y2,2.已知点A（-2,y1）,B（-1,y2）都在反比例函数的图象上,则y1与y2的大小关系（从大到小）为.,y1y2,3.已知点A（-2,y1）,B（-1,y2）都在反比例函数的图象上,则y1与y2的大小关系（从大到小）为.,A（x1,y1）,B（x2,y2）且x10x2,y10y2,4.若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函数的图象上，则（）,A、y1y2y3B、y2y1y3C、y3y1y2D、y3y2y1,B,例4.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，,

（1）根据图象，求反比例函数和一次函数的解析式.

（2）根据图象，直接写出不等式的解集.,观察函数的图象,当x=-2时,y=_,当x-2时,y的取值范围是_;

当y-1时,x的取值范围是_.,-1,-1y0,x0,活学活用,1.如图：

一次函数的图象与反比例函数交于M（2，m）、N（-1，-4）两点.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.,N（-1，-4）,M（2，m）,

（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.,

（2）观察图象得：

当x-1或0x2时，反比例函数的值大于一次函数的值.,2.如图已知A（-4，2）、B（n，-4）是一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.,3如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2=（k0）分别交于点C、D，且C点坐标为（-1，2）,（3）利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时，y1y2,

（2）求出点D的坐标；

（1）分别求直线AB与双曲线的解析式；

m2,3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是（）,二、四,B,1、已知反比例函数的函数图象位于第一、三象限，则m的取值范围是。

4、函数的图象在第象限。

2、下列函数中，其图象位于第二、四象限的有,在其图象所在的象限内，y随x的减小而增大的有。

（1）,（4）,

（2）,（3）,6.正比例函数y=x与反比例函数图象交点有个，,解：

不一定y1y2,则y1y2,则y1y2,两,零,正比例函数y=x与反比例函数图象交点有个。

D,不在,5.在反比例函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2）,若x1x2，则y1y2吗？

1.作函数图象的一般方法和步骤,2.反比例函数的图象和性质：

当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小。

当k0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

反比例函数（k为常数，k0）的图象是双曲线,26.1.2反比例函数的图象和性质（3）,1.若点P（2,3）在反比例函数的图象上,则k=_,2.若点P（m,n）在反比例函数图象上，则mn=_,复习导入,6,6,3.如图，S矩形ABCD=_SABD=_,6,3,SABD=S矩形ABCD,S矩形ABCD与SABD有何关系？

4.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线若P的坐标是（-1,3）则PM=_,PN=_若P的坐标是（-0.5，6），则PM=_,PN=_若P的坐标是（x，y），则PM=_,PN=_,平面直角坐标系内任意一点P（x,y）P到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值,即是P到y轴的距离是这点横坐标的绝对值,即是,3,1,6,0.5,议一议：

已知点P是双曲线上任意一点，过点P作x轴的垂线PA，y轴的垂线PB,垂足分别为A,B.,矩形OAPB的面积会随P点的移动而发生改变吗？

若不变，请求出其面积；

若改变，试说明理由。

问题:

（1）该反比例函数的解析式是什么？

（2）矩形ABOC的面积是多少？

探究1,A,反比例函数图象上有一点A（-4，3）,B,C,已知反比例函数上任意一点P（x，y），求：

矩形PBCO的面积？

P,x,y,B,C,探究1,P1（-1,-4）,P2（-2,y）,P3（-4,y）,已知反比例函数解析式为求：

各矩形的面积,探究1,o,P1（-3,y）,P2（-4,y）,P3（x,-4）,P（8,3）,已知P（8,3）在反比例函数上,求：

（1）反比例函数的解析式

（2）各矩形的面积分别是多少？

1.各矩形面积有什么关系？

2.各矩形面积与什么有关？

探究1,归纳:

反比例函数图象上任意一点作两轴垂线，与两轴围成的矩形面积相等，并且等于（）,P（x,y）,A,B,反比例函数中K的几何意义,题型1.已知K值求面积,注意：

无论矩形图象在哪个象限，矩形面积都为正。

学以致用,1.

（1）如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,则长方形ONPM的面积是多少？

（2）如图,点P是反比例函数图象上的一点,PAx轴于A,PBy轴于B.求长方形PAOB的面积。

2.若四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数的图象过点B，则k的值为（）,题型2.已知面积求K值,注意：

当图像在第一、三象限时，K0;

当图像在第二、四象限时，K0。

C（3,-1）,A（-3,1）,B,D,思路拓展1,已知A（-3,1）、C（3,-1）在反比例函数上，将四边形沿着x轴（y轴）做出他们的对称图形，求：

四边形ABCD的面积为多少？

若A（-x,y）、C（x,-y），那么四边形ABCD的面积又为多少？

C（x,-y）,A（-x,y）,E,F,四边形AEFD的面积呢？

反比例函数的图象如图，点M是函数图象上一点，MN垂直x轴于N,则（）（）,M,N,探究2,P,4,2,2.观察图中各个三角形的面积，你有什么发现？

1.如图，S矩形OAPB=_,SOAP=.,你能总结一下规律吗？

思考,反比例函数上一点P（m，n），过点P分别作PAy轴，PBX轴，垂足分别为A、B，则S矩形AOBP=，SAOP=SBOP=.,归纳,1.如图，A、C是反比例函数的图,C,A,象上的点，且A（3，-4），过C点作y轴的垂线，则COD的面积是多少？

D,2.如图，若点A在反比例函数的图象上，ABx轴，ACy轴，SABO=3；

求k的值；

当点A在反比例函数图像上运动时，ABO的面积发生变化吗？

为什么？

3.如图，已知点A在反比例函数图象上,AMx轴于点M，且AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为。

思路拓展2,C,A,B,F,E,如图，A、C是反比例函数的图象上两点，过A作y轴的垂线，过C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，垂足分别为E、F，记S为ABC的面积，则S=?

反比例函数中K的几何意义,如图，在坐标平面上有两点A（2,3）和B（6,1）,求AOB的面积；

k的几何意义,练习1：

用含k的代数式表示下列阴影部分的面积,练习2,1,练习3,图中面积相等的图形有哪些？

图中面积相等的图形有哪些？

例1.如图，在坐标平面上有两点A（2,3）和B（6,1）,求AOB的面积；

学以致用,图中面积相等的图形有哪些？

学以致用,重要的图形,练习3,例3,学以致用,A,y,O,B,x,M,N,1.已知,如图,反比例函数与一次函数y=kx+1的图象交于A、B两点,点A的纵坐标是3.,

（1）求这个一次函数的解析式

（2）求AOB的面积.,2.如图，已知A、B是双曲线上的两点,

（1）若A（2,3），求K的值.

（2）在

（1）的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求OAB的面积.,（3）若A,B两点的横坐标分别为a,2a，线段AB的延长线交X轴于点C，若，求K的值,M,N,3,4.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交与A，B两点且点A的横坐标与B点的纵坐标都是，求一次函数的解析式；

求AOB的面积。

x,y,O,A,B,C,E,F,PBy轴于点B,直线PC经过原点。

A.S1=S2=S3B.S1S2S3,S1,S3,S2,面积性质的应用,A.S=1B.12,解:

由性质

（2）可得,4.如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作ACx轴于点C若ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（）,A.B.C.D.,（x0）,思考：

1.你能求出S2和S3的值吗？

2.S1的值呢？

1,5.,6.如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标是6。

（1）求这个一次函数的解析式

（2）求三角形POQ的面积,点拨：

先利用反比例函数求出P点的坐标，再将P点坐标代入一次函数的解析式，求出K即可.,面积规律总结,1.

（1）如图1，反比例函数图像上一点A与坐标轴围成的矩形ABOC的面积是8，则该反比例函数的解析式为.,图1,x,y,O,C,B,A,

（2）如图,点P是反比例函数图象上的一点,PDx轴于D.则POD的面积为.,（3）如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为12,则这个反比例函数的关系式是_。

2.如图2，P1、P2、P3是双曲线上的三点过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（）AS1S2S3BS2S1S3CS1S3S2DS1=S2=S3,图2,x,y,A,B,O,图3,S1,S2,4,4.如图4，矩形OABC的两边在坐标轴上，且与反比例函数的图像交于点E、F，其中点E、F分别是BC、AB的中点，若四边形OFBE的面积,，则k的值=_.,F,A,B,C,O,E,图4,O,y,x,s1,s2,5.如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1（黄色三角形）S2（绿色三角形）的面积大小关系是：

S1_S2.,P,Q,=,如图，直线AB过点A（m,0）、B（0,n）（其中m0,n0）反比例函数（p0）,的图象与直线AB交于C、D两点，连结OC、OD

（1）已知mn10，AOB的面积为S，问：

当n何值时，S取最大值？

并求这个最大值；

（2）若m=8，n=6，当AOC、COD、DOB的面积都相等时，求p的值。