初中数学规律探究题的解题方法Word格式文档下载.doc

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①1、4、9、16......n2②1、3、6、10……

③1、3、7、15……2n-1④1+2+3+4+…n=

⑤1+3+5+…+（2n-1）=n2⑥2+4+6+…+2n=n（n+1）

⑦12+22+32….+n2=n（n+1）（2n+1）⑧13+23+33….+n3=n2（n+1）

数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：

1.观察法

例1.观察下列等式：

①1×

=1-②2×

=2-③3×

=3-

④4×

=4-……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）

分析：

将等式竖排：

=1-观察相应位置上变化的数字与序列号

②2×

=2-的对应关系（注意分清正整数的奇偶）

③3×

=3-易观察出结果为：

=4-n×

=n-

例2.探索规律：

31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么

32009的个位数字是。

这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：

3

2.函数法

例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：

所剪次数

1

2

4

…

n

正三角形个数

7

10

13

an

则an=（用含n的代数式表示）

对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）

正三角形个数：

4、7、10、13第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b

第一次求差：

333代入（1、4）（2、7）解之得：

y=3x+1

∴an=3n+1

例4.有一组数：

1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。

对这组数据做求差处理：

原数125101726

第一次求差：

13579

第二次求差：

2222

第二次求差结果相等，同二次函数y=ax2+bx+c代入（1、1）（2、2）（3、5）

解之得y=x2-2x+2=（x-1）2+1∴当=8时，y=50

尝试练习：

1.观察下列等式：

1×

3=12+2×

1；

2×

4=22+2×

2；

3×

5=32+2×

3……请将

你猜想到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来：

。

2.观察下列各式：

×

2=+2；

3=+3；

4=+4；

5=+5……

设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为。

3.观察下列各式：

=2；

=3；

=4……请你将猜想到的规律用含正整数n（n≥1）的代数式表示出来为。

4.已知：

2+=22×

；

3+=32×

4+=42×

5+=52×

…，若

10+=102×

符合前面式子的规律，则a+b=。

5.已知下列等式：

①13=12；

②13+23=32；

③13+23+33=62；

④13+23+33+43=102…由此规律可推出第n等式：

二、图形规律探究

由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。

这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：

一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；

另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。

拆图法

例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用根火柴棒，摆第n个图时，要用根火柴棒。

（1）

（2）

（3）

本例①可拆为即1+3=4（根）第②拆为即

1+32=7（根）；

第③图可拆为即1+33=10（根）由此可知，

第⑩图为1+310=31（根），第n个图为：

（3n+1）根。

例6．按如下规律摆放三角形：

则第④堆三角形的个数为；

第（n）堆三角形的个数为。

△△△

△△△

△△△△△

△△△△△△

△△△△△△△

①②③

本例中需要进行比较的因素较多，于是把图拆为横向和纵向两部分，就横向而言，把三角形个数抽出来，就是3，5，7…这是奇数从小到大的排列，其表达式为：

2n+1；

就纵向而言，发现三角形个数依次增加一个：

第①堆有2个，第②堆有3个，第③堆有4个，所以第（n）堆的个数就为（n+1）个。

所以第n堆三角形的总个数为：

（n+1）+（2n+1）即（3n+2）个。

1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________

2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．

……

n=1

n=2

n=3

3．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝．（用n的代数式表示）

4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．

5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是．

通过对此专题的复习和指导，我想你会有所感悟，有所收获，有所进步.别忘记课后注意巩固训练，展示你的能力，体验成功的快乐！

三、课外拓展：

1.探索规律：

31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……那么32008的个位数字是。

2.观察下列等式：

71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是。

3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是。

4.已知a1=+=，a2=+=，a3=+=……按此规律，则a99=。

5.已知=1-，=-，=-……，则+++

…+=；

用相同思路探究：

++…+=。

6．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．

第1幅

第2幅

第3幅

第n幅

图5

7．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由_______个圆组成．

8．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：

第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有个小圆．

第1个图形

第2个图形

第3个图形

第4个图形

第1次第2次第3次第4次·

·

9．用边长为1cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是_______________cm（用含n的代数式表示）。

图10

10.如图10，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，，…，则CA1=，

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