动点路径长专题(含答案)Word下载.doc
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10.(2013•竹溪县模拟)如图:
已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=1;
P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB,连结EF,设EF的中点为G;
当点P从点C运动到点D时,则点G移动路径的长是 _________ .
11.如图,一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处,此时BC为1米,当A点下滑至A'
处并且A'
C=1米时,木棒AB的中点P运动的路径长为 _________ 米.
三.解答题(共1小题)
12.(2012•义乌市模拟)如图,边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.在点P的运动过程中,线段BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°
得PC.
(1)当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为 _________ ;
(2)在点P从点O到点A的运动过程中,用含t的代数式表示点C的坐标;
(3)在点P从点O到点A的运动过程中,求出点C所经过的路径长.
《动点路径长专题》参考答案与试题解析
考点:
二次函数综合题.719606
专题:
压轴题.
分析:
首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得A′B′即是所求的长度.
解答:
解:
如图
∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点,
∴x2﹣x﹣=x﹣2,
解得:
x=1或x=,
当x=1时,y=x﹣2=﹣1,
当x=时,y=x﹣2=﹣,
∴点A的坐标为(,﹣),点B的坐标为(1,﹣1),
∵抛物线对称轴方程为:
x=﹣=
作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,
连接A′B′,
则直线A′B′与对称轴(直线x=)的交点是E,与x轴的交点是F,
∴BF=B′F,AE=A′E,
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′,
延长BB′,AA′相交于C,
∴A′C=++(1﹣)=1,B′C=1+=,
∴A′B′==.
∴点P运动的总路径的长为.
故选A.
点评:
此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用.
圆的综合题.719606
连接AC,AO,由AB⊥CD,利用垂径定理得到G为AB的中点,由中点的定义确定出OG的长,在直角三角形AOG中,由AO与OG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而确定出AB的长,由CO+GO求出CG的长,在直角三角形AGC中,利用勾股定理求出AC的长,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半径,如图中红线所示,当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;
当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在直角三角形ACG中,利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数,进而确定出所对圆心角的度数,再由AC的长求出半径,利用弧长公式即可求出的长,即可求出点F所经过的路径长.
连接AC,AO,
∵AB⊥CD,
∴G为AB的中点,即AG=BG=AB,
∵⊙O的半径为4,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,
∴OG=2,
∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得:
AG==2,
∴AB=2AG=4,
又∵CG=CO+GO=4+2=6,
∴在Rt△AGC中,根据勾股定理得:
AC==4,
∵CF⊥AE,
∴△ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,
当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;
当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,
在Rt△ACG中,tan∠ACG==,
∴∠ACG=30°
,
∴所对圆心角的度数为60°
∵直径AC=4,
∴的长为=π,
则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为π.
故选C.
此题考查了圆的综合题,涉及的知识有:
坐标与图形性质,勾股定理,锐角三角函数定义,弧长公式,以及圆周角定理,其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,是解本题的关键.
3.(2013•鄂尔多斯)如图,直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点,点P为线段OA上的动点,连接BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点M运动路径的长为 .
一次函数综合题.719606
根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标,由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心,AB长的一半为半径的,求出的长度即可.
∵AM垂直于直线BP,
∴∠BMA=90°
∴点M的路径是以AB的中点N为圆心,AB长的一半为半径的,
连接ON,
∵直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点,
∴OA=OB=4,
∴ON⊥AB,
∴∠ONA=90°
∵AB==4,
∴ON=2,
∴=•2=.
故答案为:
π.
本题考查了二次函数的综合题,涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹,难点在于根据∠BMC=90°
,判断出点M的运动路径是解题的关键,同学们要注意培养自己解答综合题的能力.
的扇形OAB的上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为 .
弧长的计算;
全等三角形的判定与性质;
三角形的内切圆与内心.719606
计算题.
如图,连OI,PI,AI,由△OPH的内心为I,可得到∠PIO=180°
﹣∠IPO﹣∠IOP=180°
﹣(∠HOP+∠OPH)=135°
,并且易证△OPI≌△OAI,得到∠AIO=∠PIO=135°
,所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135°
的一段劣弧上;
过A、I、O三点作⊙O′,如图,连O′A,O′O,在优弧AO取点P,连PA,PO,可得∠APO=180°
﹣135°
=45°
,得∠AOO=90°
,O′O=OA=×
2=,然后利用弧长公式计算弧OA的长.
如图,连OI,PI,AI,
∵△OPH的内心为I,
∴∠IOP=∠IOA,∠IPO=∠IPH,
∴∠PIO=180°
﹣(∠HOP+∠OPH),
而PH⊥OA,即∠PHO=90°
﹣(∠HOP+∠OPH)=180°
﹣(180°
﹣90°
)=135°
又∵OP=OA,OI公共,
而∠IOP=∠IOA,
∴△OPI≌△OAI,
∴∠AIO=∠PIO=135°
所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135°
过A、I、O三点作⊙O′,如图,连O′A,O′O,
在优弧AO取点P,连PA,PO,
∵∠AIO=135°
∴∠APO=180°
∴∠AOO=90°
,而OA=2cm,
∴O′O=OA=×
2=,
∴弧OA的长==(cm),
所以内心I所经过的路径长为cm.
cm.
本题考查了弧长的计算公式:
l=,其中l表示弧长,n表示弧所对的圆心角的度数.同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质.
④点O到O′的所经过的路径长为.以上命题正确的是 .
旋转的性质;
弧长的计算.719606
圆心O由O到O1的路径是以A为圆心,以OA为半径的圆弧;
由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2;
由O2到O′,圆心经过的路径是:
以B′为圆心,以O′B′为半径的圆弧.据此即可判断.
以B′为圆心,以O′B′为半径的圆弧.
故正确的是:
③④.
本题主要考查了图形的旋转,正确确定圆心O经过的路线是解决本题的关键.
,AC=BC=4,点P在AC上运动,将纸片沿PB折叠,得到点C的对应点D(P在C点时,点C的对应点是本身),则折叠过程对应点D的路径长是 .
翻折变换(折叠问题);
根据翻折变换的性质以及△ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心,以BC的长为半径的扇形,然后利用弧长公式列式计算即可得解.
∵∠C=90°
,AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
如图,点D的路径是以点B为圆心,以BC的长为半径的扇形,
路径长==2π.
2π.
本题考查了翻折变换的性质,弧长的计算,判断出点D的路径是扇形是解题的关键.
7.如图,已知AB=10,P是线段AB上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是 .
三角形中位线定理;
等边三角形的性质;
平行四边形的判定与性质.719606
分别延长AC、BD交于点H,易证四边形CPDH为平行四边形,得出G为PH中点,则G的运行轨迹△HAB的中位线MN,运用中位线的性质求出MN的长度即可.
如图,分别延长AC、BD交于点H,
∵∠A=∠DPB=60°
∴AH∥PD,
∵∠B=∠CPA=60°
∴BH∥PC,
∴四边形CPDH为平行四边形,
∴CD与HP互相平分.
∵G为CD的中点,
∴G正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN.
∴MN=AB=5,即G的移动路径长为5.
5.
本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质,解答本题的关键是作出辅助线,找到点G移动的规律,判断出其运动路径,综合性较强.
8.(2013•湖州)如图,已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°
,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是 .
(1)首先,需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹),如答图②所示.利用相似三角形可以证明;
(2)其次,如答图①所示,利用相似三角形△AB0Bn∽△AON,求出线段B0Bn的长度,即点B运动的路径长.
由题意可知,OM=,点N在直线y=﹣x上,AC⊥x轴于点M,则△OMN为等腰直角三角形,ON=OM=×
=.
如答图①所示,设动点P在O点(起点)时,点B的位置为B0,动点P在N点(终点)时,点B的位置为Bn,连接B0Bn.
∵AO⊥AB0,AN⊥ABn,∴∠OAC=∠B0ABn,
又∵AB0=AO•tan30°
,ABn=AN•tan30°
,∴AB0:
AO=ABn:
AN=tan30°
∴△AB0Bn∽△AON,且相似比为tan30°
∴B0Bn=ON•tan30°
=×
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).
如答图②所示,当点P运动至ON上的任一点时,设其对应的点B为Bi,连接AP,ABi,B0Bi.
∵AO⊥AB0,AP⊥ABi,∴∠OAP=∠B0ABi,
,ABi=AP•tan30°
AO=ABi:
AP,
∴△AB0Bi∽△AOP,∴∠AB0Bi=∠AOP.
又∵△AB0Bn∽△AON,∴∠AB0Bn=∠AOP,
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn,
∴点Bi在线段B0Bn上,即线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).
综上所述,点B运动的路径(或轨迹)是线段B0Bn,其长度为.
.
本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹,难度很大.本题的要点有两个:
首先,确定点B的运动路径是本题的核心,这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力;
其次,由相似关系求出点B运动路径的长度,可以大幅简化计算,避免陷入坐标关系的复杂运算之中.
9.(2013•桂林)如图,已知线段AB=10,AC=BD=2,点P是CD上一动点,分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB,设正方形对角线的交点分别为O1、O2,当点P从点C运动到点D时,线段O1O2中点G的运动路径的长是 .
正方形的性质;
轨迹.719606
根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长,进而得出线段O1O2中点G的运动路径的长.
如图所示:
当P移动到C点以及D点时,得出G点移动路线是直线,
利用正方形的性质即线段O1O2中点G的运动路径的长就是O2O″的长,
∵线段AB=10,AC=BD=2,当P与C重合时,
以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB,
∴AP=2,BP=8,
则O1P=,O2P=4,
∴O2P=O2B=4,
当P′与D重合,则P′B=2,则AP′=8,
∴O′P′=4,O″P′=,
∴H′O″=BO″=,
∴O2O″=4﹣=3.
3.
此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识,根据已知得出G点移动的路线是解题关键.
当点P从点C运动到点D时,则点G移动路径的长是 .
分别延长AE、BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形,得出G为PH中点,则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.再求出CD的长,运用中位线的性质求出MN的长度即可.
如图,分别延长AE、BF交于点H,
∵∠A=∠FPB=60°
∴AH∥PF,
∵∠B=∠EPA=60°
∴BH∥PE,
∴四边形EPFH为平行四边形,
∴EF与HP互相平分.
∵G为EF的中点,
∴G正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.
∵CD=10﹣1﹣1=8,
∴MN=4,即G的移动路径长为4.
4.
C=1米时,木棒AB的中点P运动的路径长为 米.
勾股定理的应用;
先根据三角函数求出∠BAC的度数,再根据直角三角形的性质得到∠ACP的度数,同理求出∠B′CP′的度数,可得∠PCP′的度数,再根据弧长的计算公式求解即可.
连接CP,CP′.
∵∠ACB=90°
,BC=1米,A′B=2米,
∴∠BA′C=30°
∵P是木棒AB的中点,
∴PC=PA=1米,
∴∠PCA=30°
同理求出∠B′CP′=30°
则∠PCP′=30°
∴木棒AB的中点P运动的路径长为:
×
2π×
1=米.
米.
考查了三角函数,直角三角形的性质和弧长的计算公式,木棒AB的中点P运动的路径为半径为1的扇形的弧长.
(1)当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为 ;
相似形综合题.719606
(1)过点作CD⊥x轴于点D,先由等边三角形的性质求出P点坐标及BP的长,故可得出PE的长,由图形旋转的性质求出PC=PE及∠CPD的度数,再由锐角三角函数的定义即可求出PD及CD的长,进而可得出结论;
(2)过P作PD⊥OB于点D,过C作CF⊥PA于点F,在Rt△OPD中PD=OP•sin60°
=,由相似三角形的判定定理得出△BPD∽△PCF,故可得出CF及PF的长,进而可得出C点坐标;
(3)取OA的中点M,连接MC,由
(2)得,,由锐角三角函数的定义得出∠CMF=30°
,可知点C在直线MC上运动.故当点P在点O时,点C与点M重合.
当点P运动到点A时,点C的坐标为(5,),由两点间的距离公式即可得出结论.
(1)如图1,过点作CD⊥x轴于点D,
∵△AOB是等边三角形,P是OA的中点,
∴P(2,0),BP=OB•sin60°
=4×
=2,
∵E是BP的中点,
∴PE=,
∴PE=PC=,
∵∠BPC=60°
∴∠CPA=30°
∴PD=PC•cos30°
=,CD=PC•sin30°
=,
∴OD=OP+PD=2+=,
∴C(,);
(2)如图2,过P作PD⊥OB于点D,过C作CF⊥PA于点F
在Rt△OPD中PD=OP•sin60°
∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°
∴∠DBP=∠FPC,
∵∠PDB=∠CFP=90°
∴△BPD∽△PCF,
∴CF=,
∴点C的坐标是();
(3)取OA的中点M,连接MC,由
(2)得,.
∴
∴∠CMF=30°
∴点C在直线MC上运动.
当点P在点O时,点C与点M重合.
当点P运动到点A时,点C的坐标为
∴点C所经过的路径长为.
本题考查的是相似形综合题及旋转的性质、等边三角形的性质,根据题意作