福州一中2016年高中招生(面向福州以外地区)数学试卷(含答案)Word格式.doc
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（D）某一彩票的中奖概率是，那么买1000张彩票就一定会中奖
（3）已知的三边长分别为、、，则其内切圆半径为（★★★）
（A） （B） （C） （D）
（4）符号表示不超过的最大整数，例如，，．若关于的方程在内有解，则的取值范围是（★★★）
（5）如图，、、、分别为四边形各边的中点，四边形和的面积分别记为和．则下列关系式不一定正确的是（★★★）
（A）
（B）
第（5）题图
（C）
（D）
（6）将正整数按如下规律排列：
第一列第二列第三列第四列第五列……
第一行1
第二行24
第三行357
第四行681012
第五行911131517
…………
设2016在第行第列，则等于（★★★）
（A）79 （B）80 （C）81 （D）82
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
（7）已知，给出下列四个不等式：
①；
②；
③；
④．
其中正确的不等式的序号为★★★（填上你认为正确的所有不等式的序号）．
（8）若方程组的解满足条件，则的取值范围是★★★．
（9）从长度分别为1、3、5、7、9的五条线段中任取三条，这三条线段可构成三角形的概率是★★★．
（10）数、学、好、玩这四个文字分别表示之间的不同数字，且满足算式
“数学×
好玩＝”，则四位数“玩好数学”为★★★．
（11）矩形中，，，矩形内动点满足，，则动点所在区域的面积为★★★．
（12）若函数的图像恒在轴上方，则实数的取值范围是★★★．
三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（13）（本小题满分12分）
如图，正方形的边长为，、、、分别
是、、、边上的动点（不含端点），且
、均过正方形的中心．
（Ⅰ）求证：
四边形是平行四边形；
（Ⅱ）试探究：
当线段与满足什么数量关系时，
第（13）题图
四边形为矩形．
（14）（本小题满分14分）
我们知道，若，是方程的两个实数根，则有．即，于是，．由此可得一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）：
，．
参考上述推理过程，解答下列问题：
若，，是关于的方程的三个实数根，且．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）试用只含的代数式表示，并求的最大值．
（15）（本小题满分14分）
已知抛物线过点，且关于的方程有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）过点作轴的垂线交抛物线于点和点（点在点的左侧）．
（i）若，试求的值；
（ii）设抛物线的顶点为，的外接圆与抛物线交于另一点，若直线与圆相切，试求的值．
综合素质测试数学试卷参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
D
B
A
（7）①④ （8） （9）
（10）或 （11） （12）
证明：
（Ⅰ）∵ 四边形是正方形，
∴，，
∴，………………………1分
在和中，
∴≌（ASA）．……………3分
∴．
同理可证．……………4分
∴四边形是平行四边形．…………5分
（注：
根据正方形的对称性直接得出，，只扣1分．）
（Ⅱ）设，，由（Ⅰ）知，．……………6分
当四边形为矩形时，，
又∵，
∴，
∵，
∴．……………………8分
∴，即．……………………9分
∴，即，
∴或．……………………11分
以上推理可逆，故当或时，四边形为矩形．…12分
解：
（Ⅰ）∵，，是方程的三个实数根，
∴．………………………2分
即．…………3分
∴，………………………4分
，………………………5分
．
∴………………………7分
．………………………8分
（Ⅱ）∵，
∴．………………………9分
∵，…………11分
∴．………………………12分
∴时，取最大值．（此时，，，．）
∴的最大值是．………………………14分
（Ⅰ）依题意得，………………………1分
由得，，…………………3分
所以，抛物线的解析式为．…………4分
（Ⅱ）令，得．
由直线与抛物线有两个不同的交点得，
∴，．
∴，．………………………6分
（i）由，得，………………………7分
∴或，
由，得，
由，得．
综上，或．………………………9分
（ii）∵点、关于抛物线的对称轴对称，
∴的外接圆圆心在直线上，设．……………………10分
由对称性知，圆与抛物线的的另一交点与关于直线对称．
∴．………………………11分
如图，设交对称轴于点，则．
由，知，，
由为圆的切线，知，△为等腰直角三角形．
∴，，………………………12分
由勾股定理得，
化简得．
解得或（舍去）．
∴的值是．………………………14分
数学试卷第6页共6页
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