圆与二次函数难度题(含答案)Word格式文档下载.doc
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∴PD为⊙O的直径,∴∠PAD=90°
∵∠B=60°
,∴∠APC=60°
∵D为的中点,∴∠APD=∠CPD=30°
∴PA=PD·
cos30°
=PD
∵P为的中点,∴PA=PC
∴PA+PC=PD
(2)成立
理由如下:
延长PA到E,使EA=PC,连接DE、AD、DC
则∠EAD+∠PAD=180°
H
∵∠PCD+∠PAD=180°
∴∠EAD=∠PCD
∵D为的中点,∴=
∴AD=CD
∴△EAD≌△PCD,∴ED=PD
过D作DH⊥PE于H
由
(1)知,∠APD=30°
∴PH=PD·
=PD,PE=2PH=PD
∵PA+EA=PE,∴PA+PC=PD
3.(湖北模拟)如图,AB是⊙O的直径,PA、PC分别切⊙O于A、C,CD⊥AB于D,PB交CD于E.
(1)求证:
CE=DE;
(2)若AB=6,∠APC=120°
,求图中阴影部分的面积.
连接OP、OC、BC
∵PA、PC是⊙O的切线
∴PA=PC,∠PAO=∠PCO=90°
又PO=PO,∴Rt△PAO≌Rt△PCO
∴∠POA=∠POC,∴∠AOC=2∠POA
又∠AOC=2∠ABC,∴∠POA=∠ABC
又∠PAO=∠CDB=90°
,∴△PAO≌△CDB
∴=
∵∠PAB=∠EDB=90°
,∠PBA=∠EBD
∴△PAB≌△EDB,∴=
∵AB=2OA,∴==
∴CD=2ED,∴CE=DE
(2)解:
∵∠APC=120°
,∠PAO=∠PCO=90°
∴∠AOC=60°
,∴∠DCO=30°
∵AB=6,∴OA=OC=3
∴OD=OC·
sin30°
=,CD=OC·
=
∴S阴影=S扇形AOC-S△DOC
=-×
×
=-
4.(上海模拟)如图,⊙O的半径为6,线段AB与⊙O相交于点C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB与⊙O相交于点E,设OA=x,CD=y.
(1)求BD的长;
(2)求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当CE⊥OD时,求AO的长.
(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OCA=∠ODB
∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC,∴=
∵OC=OD=6,AC=4,∴=,∴BD=9
(2)∵△OBD∽△AOC,∴∠AOC=∠B
又∵∠A=∠A,∴△ACO∽△AOB,∴=
∵AB=AC+CD+BD=y+13,∴=
∴y=x2-13
∵0<y<8,∴0<x2-13<12,解得2<x<10
∴定义域为2<x<10
(3)∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A
∴∠AOD=180º
-∠A-∠ODC=180º
-∠COD-∠OCD=∠ADO
∴AD=AO,∴y+4=x,∴x2-13+4=x
∴x=2±
2(舍去负值)
∴AO=2±
2
5.(北京模拟)如图,抛物线y=x2-2x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C.
(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示);
(2)D为BO中点,直线AD交y轴于E,若点E的坐标为(0,2),求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,点M在直线BO上,且使得△AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直线BC上,若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.
y
x
备用图
(1)∵y=x2-2x=(x-m)2-m
∴抛物线的顶点B的坐标为(m,-m)
(2)令x2-2x=0,解得x1=0,x2=m
∵抛物线y=x2-2x与x轴负半轴交于点A
∴A(m,0)且m<0.
过点D作DF^x轴于F
由D为BO中点,DF∥BC,可得CF=FO=CO
∴D=BC
由抛物线的对称性得AC=OC,∴=
C1
M
∵DF∥EO,∴△ADF∽△AEO,∴=
由E(0,2),B(m,-m),得OE=2,DF=-m
∴=,∴m=-6
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x
(3)依题意,得A(-6,0),B(-3,3),C(-3,0)
可得直线OB的解析式为y=-x,直线BC为x=-3
作点C关于直线BO的对称点C1(0,3),连接AC1交BO于M,则M即为所求
由A(-6,0),C1(0,3),可得直线AC1的解析式为y=x+3
由解得
∴点M的坐标为(-2,2)
G
Q
由点P在抛物线y=-x2-2x上,设P(t,-t2-2t)
①当AM为平行四边形的一边时
如右图,过M作MG⊥x轴于G,过P作PH⊥BC于H
则xG=xM=-2,xH=xB=-3
可证△AMG≌△PQH,得PH=AG=4
∴t-(-3)=4,∴t=1
∴P1(1,-)
如右图,同理可得PH=AG=4
∴-3-t=4,∴t=-7
∴P2(-7,-)
②当AM为平行四边形的对角线时
如右图,过M作MH⊥BC于H,过P作PG⊥x轴于G
则xH=xB=-3,xG=xP=t
可证△APG≌△MQH,得AG=MH=1
∴t-(-6)=1,∴t=-5
∴P3(-5,)
综上,点P的坐标为P1(1,-),P2(-7,-),P3(-5,)
6.(上海模拟)已知:
如图,直线y=x-15与x轴、y轴分别相交于点A和点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线的顶点为点D,与x轴的另一个交点为点C,对称轴与x轴交于点H,求△DAC的面积;
(3)若点E是线段AD的中点,CE与DH交于点G,点P在y轴的正半轴上,△POH是否能够与△CGH相似?
如果能,请求出点P的坐标;
如果不能,请说明理由.
(1)由题意,得A(15,0),B(0,-15)
∵抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点
∴解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-15
(2)∵y=-x2+6x-15=-(x-9)2+12
∴顶点D的坐标为(9,12)
P1
P2
设y=0,则-(x-9)2+12=0
∴(x-9)2=36,∴x1=3,x2=15
∴C(3,0),∴AC=15-3=12
∴S△DAC=AC·
DH=×
12×
12=72
(3)∵点E是线段AD的中点,点H是线段AC的中点
∴点G是△DAC的重心.,∴GH=DH=4
①若=,则△HPO∽△CGH
∴=,∴PO=6
∴P1(0,6)
②若=,则△PHO∽△CGH
∴=,∴PO=
∴P2(0,)
∴△POH能够与△CGH相似,此时点P的坐标为P1(0,6)或P2(0,)
7.(四川成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+m(m为常数)的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过A,C两点,并与x轴的正半轴交于点B.
(1)求m的值及抛物线的函数表达式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;
若不存在,请说明理由;
(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试探究是否为定值,并写出探究过程.
x=1
(1)∵一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(-3,0)
∴×
(-3)+m=0,解得m=
∴点C的坐标是(0,)
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A,C两点,且对称轴为直线x=1
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x+
(2)假设存在点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形
(ⅰ)当CE∥AF时,点E在x轴上方,yE=yC=
由-x2+x+=,解得x1=0(舍去),x2=2
F1
E1
E2
F2
∴E1(2,),此时S□ACE1F1=2×
=
(ⅱ)当AE∥CF时,点E在x轴下方,yE=-yC=-
由-x2+x+=-,解得x1=1+,x2=1-(舍去)
∴E2(1+,-)
过E2作E2H⊥x轴于H,则△E2HF2≌△COA
∴HF2=AO=3,AF2=7+
∴S□ACF2E2=2S□ACF2=AF2·
CO=
综上所述,存在符合条件的点E1(2,),E2(1+,-),使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形,相应的面积分别是,
(3)方法一:
∵A,B两点关于抛物线的对称轴x=1对称
∴AP+CP=BP+CP≥BC
M1
N1
M2
N2
∴当C、P、B三点在一条直线上时,△ACP的周长取得最小值
此时点P的坐标为(1,3)
分别过点M1,M2作直线x=1的垂线,垂足为N1,N2
在Rt△M1PN1中,由勾股定理得
M1P2=M1N12+PN12=(x1-1)2+(y1-3)2①
∵y1=-x12+x1+=-(x1-1)2+4
即(x1-1)2=4(4-y1),将其代入①,得M1P2=(5-y1)2
∴M1P=5-y1(y1<5)
同理M2P=5-y2
由M1N1∥M2N2,得△M1PN1∽△M2PN2
∴=,即=
整理得y1y2=4(y1+y2)-15
∴===1
故是定值,其值为1
方法二:
同方法一得点P的坐标为(1,3)
设过点P的直线表达式为y=kx+3-k
联立消去y,整理得x2+(4k-2)x-(4k+3)=0
∴x1+x2=2-4k,x1x2=-(4k+3)
由y1=kx1+3-k,y2=kx2+3-k,得y1-y2=k(x1-x2)
∴M1P2·
M2P2=[(x1-1)2+(y1-3)2][(x2-1)2+(y2-3)2]
=[(x1-1)2+k2(x1-1)2][(x2-1)2+k2(x2-1)2]
=(k2+1)2(x1-1)2(x2-1)2
=(k2+1)2(x1x2-x1-x2+1)2
=16(k2+1)2
M1M22=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=(k2+1)(x1-x2)2
=(k2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]
M2P2=M1M22,即M1P·
M2P=M1M2
8(四川雅安)在直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,顶点为P.
(1)若点P的坐标为(-1,4),求此时抛物线的解析式;
(2)若点P的坐标为(-1,k),k<0,点Q是y轴上一个动点,当k为何值时,QB+QP取得最小值5;
(3)试求满足
(2)时动点Q的坐标.
(1)由题意,设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4
将A(1,0)代入上式,得a=-1
P′
x=-1
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4
(2)作点P(-1,k)关于y轴的对称点P′(1,k)
∴QP=QP′
∵抛物线顶点为P(-1,k),∴抛物线的对称轴为x=-1
∵抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B,∴B(-3,0)
若QB+QP最小,即QB+QP′最小
则B、Q、P′三点共线,即P′B=5
又AB=1+3=4,连接P′A,则P′A⊥AB
∴△P′AB是直角三角形,∴P′A==3
∴k=3
(3)由
(2)知,△BOQ∽△BAP′
∴=,即=,∴OQ=
∴动点Q的坐标为(0,-)
10.(四川乐山)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,-n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2-2x-3=0的两根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.
①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;
②求△BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标.
(1)解方程x2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3
∵m<n,∴m=-1,n=3
∴A(-1,-1),B(3,-3)
∵抛物线过原点,设抛物线的解析式为y=ax2+bx
∴解得a=-,b=
∴抛物线的解析式为y=-x2+x
(2)①设直线AB的解析式为y=kx+b
∴解得k=-,b=-
∴直线AB的解析式为y=-x-
∴C点坐标为(0,-)
∵直线OB过点O(0,0),B(3,-3)
∴直线OB的解析式为y=-x
∵△OPC为等腰三角形,∴OC=OP或OP=PC或OC=PC
设P(x,-x)
(i)当OC=OP时,x2+(-x)2=
解得x1=,x2=-(舍去),∴P1(,-)
(ii)当OP=PC时,点P在线段OC的中垂线上,∴P2(,-)
(iii)当OC=PC时,x2+(-x+)2=
解得x1=,x2=0(舍去),∴P3(,-)
∴P点坐标为P1(,-)或P2(,-)或P3(,-)
②过点D作DG⊥x轴,垂足为G,交OB于Q,过B作BH⊥x轴,垂足为H
设Q(x,-x),则D(x,-x2+x)
∴DQ=-x2+x+x=-x2+x
∴S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ·
OG+DQ·
GH=DQ(OG+GH)
=(-x2+x)×
3=-(x-)2+
∵0<x<3
∴当x=时,S取得最大值为,此时D(,-)
11.(四川模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B,与y轴正半轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.已知A(-2,0),tan∠ABC=,S△ABC=9.
(2)若点P是线段BC上一点,且以B、D、P为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,请你选择一个P点求出△BDP外接圆圆心的坐标.
(1)由题意得:
解得:
(舍去负值)
∴B(4,0),C(0,3)
∴设抛物线为y=a(x+2)(x-4),把C(0,3)代入,得
3=a(0+2)(0-4),解得:
a=-
∴抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-4)
即y=-x2+x+3
(2)存在
∵y=-x2+x+3=-(x-1)2+
∴抛物线的对称轴是直线x=1
∴D(1,0),∴OD=1
∵OA=2,OB=4,OC=3,∴AB=6,BC=5,BD=3
当△BDP∽△BAC时,则∠BDP=∠BAC
∴DP∥AC
∵D为AB中点,∴P为CB中点
∵B(4,0),C(0,3),∴P1(2,)
当△BPD∽△BAC时,则=
∴=,∴BP=
过点P作PH⊥OB于H,则△BPH∽△BCO
∴==,∴==
∴BH=,PH=,∴P2(,)
∴满足条件的P点有两个,P1(2,),P2(,)
(3)选择P(2,),设E为△BDP外接圆的圆心
则点E是线段BD的中垂线和线段BP的中垂线的交点
易知线段BD的中垂线为x=,设点E坐标为(,m)
由ED=EP,得(-1)2+m2=(-2)2+(m-)2
解得m=,即E(,)
∴当点P坐标为(2,)时,△BDP外接圆圆心的坐标为(,)
12.(四川模拟)已知圆⊙A的半径为,圆心A(t,0)是抛物线y=-x2+bx与x轴的交点,点P是x轴上方抛物线上任意一点,点Q是线段OP的中点.
(1)如图1,当t=4时,点P在抛物线上运动,点Q跟随点P运动,其运动路径也是一段抛物线,直接写出点Q运动路径的函数解析式,并指出自变量的取值范围;
(2)如图2,当∠POA=45°
且t>0时,过点Q作OP的垂线l,证明直线l与⊙A相切;
l
(3)当∠POA=45°
时,使得直线l与⊙A相切于点M,且四边形PAMQ为矩形.此时,在抛物线上是否存在点B,使由A、B、P、Q四点构成以AP为对角线的梯形?
若存在,求出B点坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)y=-x2+2x(0<x<2)
提示:
当t=4时,A(4,0),代入y=-x2+bx,得b=2
∴抛物线为y=-x2+2x
设P(m,-m2+2m),则Q(m,-m2+m)
设Q(x,y),则x=m,y=-m2+m
∴m=2x,∴y=-(2x)2+2x=-x2+2x
∵0<m<4,∴0<x<2
∴点Q运动路径的函数解析式为y=-x2+2x(0<x<2)
(2)∵y=-x2+bx,∴A(2b,0)
∵∠POA=45°
,∴直线OP的解析式为y=x
联立解得(舍去)
∴P(2b-2,2b-2)
设l与x轴交于点D,连接PD
由题意,l是线段OP的垂直平分线
∴OD=PD,∴∠OPD=∠POD=45°
∴∠ODP=90°
,∴△OPD是等腰直角三角形
∴∠ODQ=45°
,OD=2b-2
∴AD=2b-(2b-2)=2
过点A作AM⊥l于M,则∠ADM=45°
∴△ADM是等腰直角三角形
∴AM=AD==⊙A的半径
∴直线l与⊙A相切
图3
(3)∵四边形PAMQ为矩形,∴PQ=AM=
∴OP=2,∴P(2,2),∴Q(1,1)
∴2b-2=2,∴b=2
∴A(4,0),抛物线为y=-x2+2x
易得直线AQ的解析式为y=-x+
∵四边形ABPQ是以AP为对角线的梯形
∴BP∥AQ,∴设直线BP的解析式为y=-x+n
把P(2,2)代入,得n=,∴y=-x+
∴B(,)
∴存在点B(,),使由A、B、P、Q四点构成以AP为对角线的梯形
13.(四川模拟)如图,抛物线y=x2+bx+c与直线l:
y=x-1交于点A(4,2)、B(0,-1).
(2)点D在直线l下方的抛物线上,过点D作DE∥y轴交l于E、作DF⊥l于F,设点D的横坐标为t,△DEF的周长为p,求p与t的函数关系式,并求p的最大值及此时点D的坐标;
(3)点M在抛物线上,点N在x轴上,若△BMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形,求点M的坐标.
(1)由题意知:
∴
∴抛物线的解析式为y=x2-x-1
N
(2)∵点D在抛物线y=x2-x-1上
∴设D(t,t2-t-1),则E(t,t-1)
∴DE=t-1-(t2-t-1)=-t2+2t
在y=x-1中,令y=0,得x=
∴直线AB与x轴交于点C(,0)
∴BC==
∴△OBC的周长为为1++=4
∵DE∥y轴,DF⊥l,∴△DEF∽△CBO
∴p=-t2+t=-(t-2)2+
∴当t