圆与二次函数难度题(含答案).doc
《圆与二次函数难度题(含答案).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆与二次函数难度题(含答案).doc（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
水尾中学中考专项训练（压轴题）答案
1．（四川模拟）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．以AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD，连接BD，交⊙O于点E，连接AE，求BD和AE的长．
A
B
D
C
E
O
解：
过D作DF⊥BC，交BC的延长线于F
A
B
D
C
E
O
F
∵△ACD是等边三角形
∴AD＝CD＝AC＝2，∠ACD＝60°
∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°
∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，CF＝DF＝3
∴BF＝BC＋CF＝1＋3＝4
∴BD＝＝＝
∵AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝
∵BE＋DE＝BD，∴＋＝BD
即＋＝
∴＝－
两边平方得：
13－AE2＝19＋12－AE2－2
整理得：
＝9，解得AE＝
2．（四川模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为△ABC外接圆⊙O上的中点．
（1）如图1，P为的中点，求证：
PA＋PC＝PD；
（2）如图2，P为上任意一点，
（1）中的结论还成立吗？
请说明理由．
D
A
P
O
C
B
图2
D
A
P
O
C
B
图1
（1）证明：
连接AD
∵D为的中点，P为的中点
∴PD为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°
D
A
P
O
C
B
∵∠B＝60°，∴∠APC＝60°
∵D为的中点，∴∠APD＝∠CPD＝30°
∴PA＝PD·cos30°＝PD
∵P为的中点，∴PA＝PC
∴PA＋PC＝PD
（2）成立
理由如下：
延长PA到E，使EA＝PC，连接DE、AD、DC
则∠EAD＋∠PAD＝180°
D
A
P
O
C
B
E
H
∵∠PCD＋∠PAD＝180°
∴∠EAD＝∠PCD
∵D为的中点，∴＝
∴AD＝CD
∴△EAD≌△PCD，∴ED＝PD
过D作DH⊥PE于H
由
（1）知，∠APD＝30°
∴PH＝PD·cos30°＝PD，PE＝2PH＝PD
∵PA＋EA＝PE，∴PA＋PC＝PD
3．（湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，PA、PC分别切⊙O于A、C，CD⊥AB于D，PB交CD于E．
C
A
B
D
O
P
E
（1）求证：
CE＝DE；
（2）若AB＝6，∠APC＝120°，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：
连接OP、OC、BC
∵PA、PC是⊙O的切线
C
A
B
D
O
P
E
∴PA＝PC，∠PAO＝∠PCO＝90°
又PO＝PO，∴Rt△PAO≌Rt△PCO
∴∠POA＝∠POC，∴∠AOC＝2∠POA
又∠AOC＝2∠ABC，∴∠POA＝∠ABC
又∠PAO＝∠CDB＝90°，∴△PAO≌△CDB
∴＝
∵∠PAB＝∠EDB＝90°，∠PBA＝∠EBD
∴△PAB≌△EDB，∴＝
∵AB＝2OA，∴＝＝
∴CD＝2ED，∴CE＝DE
（2）解：
∵∠APC＝120°，∠PAO＝∠PCO＝90°
∴∠AOC＝60°，∴∠DCO＝30°
∵AB＝6，∴OA＝OC＝3
∴OD＝OC·sin30°＝，CD＝OC·cos30°＝
∴S阴影＝S扇形AOC－S△DOC
＝－××
＝－
4．（上海模拟）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y．
A
B
D
C
E
O
（1）求BD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当CE⊥OD时，求AO的长．
解：
（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB
A
B
D
C
E
O
∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴＝
∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴＝，∴BD＝9
（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B
又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴＝
∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴＝
∴y＝x2－13
∵0＜y＜8，∴0＜x2－13＜12，解得2＜x＜10
∴定义域为2＜x＜10
（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A
∴∠AOD＝180º－∠A－∠ODC＝180º－∠COD－∠OCD＝∠ADO
∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴x2－13＋4＝x
∴x＝2±2（舍去负值）
∴AO＝2±2
5．（北京模拟）如图，抛物线y＝x2－2x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C．
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为（0，2），求抛物线的解析式；
（3）在
（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
A
B
C
O
y
x
备用图
A
B
C
D
O
y
x
E
解：
（1）∵y＝x2－2x＝（x－m）2－m
A
B
C
D
O
y
x
E
F
∴抛物线的顶点B的坐标为（m，－m）
（2）令x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝m
∵抛物线y＝x2－2x与x轴负半轴交于点A
∴A（m，0）且m＜0.
过点D作DF^x轴于F
由D为BO中点，DF∥BC，可得CF＝FO＝CO
∴D＝BC
由抛物线的对称性得AC＝OC，∴＝
A
C1
B
C
M
O
y
x
∵DF∥EO，∴△ADF∽△AEO，∴＝
由E（0，2），B（m，－m），得OE＝2，DF＝－m
∴＝，∴m＝－6
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x
（3）依题意，得A（－6，0），B（－3，3），C（－3，0）
可得直线OB的解析式为y＝－x，直线BC为x＝－3
作点C关于直线BO的对称点C1（0，3），连接AC1交BO于M，则M即为所求
由A（－6，0），C1（0，3），可得直线AC1的解析式为y＝x＋3
由解得
∴点M的坐标为（－2，2）
A
C1
B
C
H
M
O
P
G
y
x
Q
由点P在抛物线y＝－x2－2x上，设P（t，－t2－2t）
①当AM为平行四边形的一边时
如右图，过M作MG⊥x轴于G，过P作PH⊥BC于H
则xG＝xM＝－2，xH＝xB＝－3
可证△AMG≌△PQH，得PH＝AG＝4
∴t－（－3）＝4，∴t＝1
A
C1
B
C
H
M
O
P
G
y
x
Q
∴P1（1，－）
如右图，同理可得PH＝AG＝4
∴－3－t＝4，∴t＝－7
∴P2（－7，－）
②当AM为平行四边形的对角线时
如右图，过M作MH⊥BC于H，过P作PG⊥x轴于G
则xH＝xB＝－3，xG＝xP＝t
A
C1
B
C
H
M
O
P
G
y
x
Q
可证△APG≌△MQH，得AG＝MH＝1
∴t－（－6）＝1，∴t＝－5
∴P3（－5，）
综上，点P的坐标为P1（1，－），P2（－7，－），P3（－5，）
y
B
A
x
O
6．（上海模拟）已知：
如图，直线y＝x－15与x轴、y轴分别相交于点A和点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的顶点为点D，与x轴的另一个交点为点C，对称轴与x轴交于点H，求△DAC的面积；
（3）若点E是线段AD的中点，CE与DH交于点G，点P在y轴的正半轴上，△POH是否能够与△CGH相似？
如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．
解：
（1）由题意，得A（15，0），B（0，－15）
∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－15
（2）∵y＝－x2＋6x－15＝－（x－9）2＋12
∴顶点D的坐标为（9，12）
y
B
A
x
O
P1
P2
O
E
G
H
C
设y＝0，则－（x－9）2＋12＝0
∴（x－9）2＝36，∴x1＝3，x2＝15
∴C（3，0），∴AC＝15－3＝12
∴S△DAC＝AC·DH＝×12×12＝72
（3）∵点E是线段AD的中点，点H是线段AC的中点
∴点G是△DAC的重心.，∴GH＝DH＝4
①若＝，则△HPO∽△CGH
∴＝，∴PO＝6
∴P1（0，6）
②若＝，则△PHO∽△CGH
∴＝，∴PO＝
∴P2（0，）
∴△POH能够与△CGH相似，此时点P的坐标为P1（0，6）或P2（0，）
7．（四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋m（m为常数）的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点C．以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
O
A
B
x
y
C
x＝1
解：
（1）∵一次函数y＝x＋m的图象与x轴交于点A（－3，0）
∴×（－3）＋m＝0，解得m＝
∴点C的坐标是（0，）
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且对称轴为直线x＝1
∴解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋
（2）假设存在点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形
（ⅰ）当CE∥AF时，点E在x轴上方，yE＝yC＝
由－x2＋x＋＝，解得x1＝0（舍去），x2＝2
O
A
B
x
y
C
x＝1
F1
E1
E2
F2
H
∴E1（2，），此时S□ACE1F1＝2×＝
（ⅱ）当AE∥CF时，点E在x轴下方，yE＝－yC＝－
由－x2＋x＋＝－，解得x1＝1＋，x2＝1－（舍去）
∴E2（1＋，－）
过E2作E2H⊥x轴于H，则△E2HF2≌△COA
∴HF2＝AO＝3，AF2＝7＋
∴S□ACF2E2＝2S□ACF2＝AF2·CO＝
综上所述，存在符合条件的点E1（2，），E2（1＋，－），使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，相应的面积分别是，
（3）方法一：
∵A，B两点关于抛物线的对称轴x＝1对称
∴AP＋CP＝BP＋CP≥BC
O
A
B
x
y
C
x＝1
M1
N1
M2
N2
∴当C、P、B三点在一条直线上时，△ACP的周长取得最小值
此时点P的坐标为（1，3）
分别过点M1，M2作直线x＝1的垂线，垂足为N1，N2
在Rt△M1PN1中，由勾股定理得
M1P2＝M1N12＋PN12＝（x1－1）2＋（y1－3）2①
∵y1＝－x12＋x1＋＝－（x1－1）2＋4
即（x1－1）2＝4（4－y1），将其代入①，得M1P2＝（5－y1）2
∴M1P＝5－y1（y1＜5）
同理M2P＝5－y2
由M1N1∥M2N2，得△M1PN1∽△M2PN2
∴＝，即＝
整理得y1y2＝4（y1＋y2）－15
∴＝＝＝1
故是定值，其值为1
方法二：
同方法一得点P的坐标为（1，3）
设过点P的直线表达式为y＝kx＋3－k
联立消去y，整理得x2＋（4k－2）x－（4k＋3）＝0
∴x1＋x2＝2－4k，x1x2＝－（4k＋3）
由y1＝kx1＋3－k，y2＝kx2＋3－k，得y1－y2＝k（x1－x2）
∴M1P2·M2P2＝[（x1－1）2＋（y1－3）2][（x2－1）2＋（y2－3）2]
＝[（x1－1）2＋k2（x1－1）2][（x2－1）2＋k2（x2－1）2]
＝（k2＋1）2（x1－1）2（x2－1）2
＝（k2＋1）2（x1x2－x1－x2＋1）2
＝16（k2＋1）2
M1M22＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2
＝（k2＋1）（x1－x2）2
＝（k2＋1）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝16（k2＋1）2
∴M1P2·M2P2＝M1M22，即M1P·M2P＝M1M2
故是定值，其值为1
8（四川雅安）在直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．
（1）若点P的坐标为（－1，4），求此时抛物线的解析式；
（2）若点P的坐标为（－1，k），k＜0，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，QB＋QP取得最小值5；
（3）试求满足
（2）时动点Q的坐标．
解：
（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）2＋4
将A（1，0）代入上式，得a＝－1
B
y
Q
A
P′
O
x
x＝－1
P
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）2＋4
（2）作点P（－1，k）关于y轴的对称点P′（1，k）
∴QP＝QP′
∵抛物线顶点为P（－1，k），∴抛物线的对称轴为x＝－1
∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，∴B（－3，0）
若QB＋QP最小，即QB＋QP′最小
则B、Q、P′三点共线，即P′B＝5
又AB＝1＋3＝4，连接P′A，则P′A⊥AB
∴△P′AB是直角三角形，∴P′A＝＝3
∴k＝3
（3）由
（2）知，△BOQ∽△BAP′
∴＝，即＝，∴OQ＝
∴动点Q的坐标为（0，－）
10．（四川乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，－n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2－2x－3＝0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
O
E
x
y
A
B
D
P
C
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
解：
（1）解方程x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3
∵m＜n，∴m＝－1，n＝3
∴A（－1，－1），B（3，－3）
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx
∴解得a＝－，b＝
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx＋b
∴解得k＝－，b＝－
∴直线AB的解析式为y＝－x－
∴C点坐标为（0，－）
∵直线OB过点O（0，0），B（3，－3）
∴直线OB的解析式为y＝－x
∵△OPC为等腰三角形，∴OC＝OP或OP＝PC或OC＝PC
设P（x，－x）
（i）当OC＝OP时，x2＋（－x）2＝
O
E
x
y
A
B
D
P
C
Q
G
H
解得x1＝，x2＝－（舍去），∴P1（，－）
（ii）当OP＝PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，－）
（iii）当OC＝PC时，x2＋（－x＋）2＝
解得x1＝，x2＝0（舍去），∴P3（，－）
∴P点坐标为P1（，－）或P2（，－）或P3（，－）
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H
设Q（x，－x），则D（x，－x2＋x）
∴DQ＝－x2＋x＋x＝－x2＋x
∴S△BOD＝S△ODQ＋S△BDQ＝DQ·OG＋DQ·GH＝DQ（OG＋GH）
＝（－x2＋x）×3＝－（x－）2＋
∵0＜x＜3
∴当x＝时，S取得最大值为，此时D（，－）
11．（四川模拟）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．已知A（－2，0），tan∠ABC＝，S△ABC＝9．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一点，且以B、D、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在
（2）的条件下，请你选择一个P点求出△BDP外接圆圆心的坐标．
y
O
A
x
C
D
B
备用图
y
O
A
x
C
D
B
解：
（1）由题意得：
解得：
（舍去负值）
∴B（4，0），C（0，3）
∴设抛物线为y＝a（x＋2）（x－4），把C（0，3）代入，得
3＝a（0＋2）（0－4），解得：
a＝－
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋2）（x－4）
即y＝－x2＋x＋3
（2）存在
∵y＝－x2＋x＋3＝－（x－1）2＋
∴抛物线的对称轴是直线x＝1
∴D（1，0），∴OD＝1
∵OA＝2，OB＝4，OC＝3，∴AB＝6，BC＝5，BD＝3
当△BDP∽△BAC时，则∠BDP＝∠BAC
∴DP∥AC
∵D为AB中点，∴P为CB中点
∵B（4，0），C（0，3），∴P1（2，）
y
O
P1
A
x
C
D
B
P2
当△BPD∽△BAC时，则＝
∴＝，∴BP＝
过点P作PH⊥OB于H，则△BPH∽△BCO
∴＝＝，∴＝＝
∴BH＝，PH＝，∴P2（，）
∴满足条件的P点有两个，P1（2，），P2（，）
y
O
A
x
C
D
B
P
E
（3）选择P（2，），设E为△BDP外接圆的圆心
则点E是线段BD的中垂线和线段BP的中垂线的交点
易知线段BD的中垂线为x＝，设点E坐标为（，m）
由ED＝EP，得（－1）2＋m2＝（－2）2＋（m－）2
解得m＝，即E（，）
∴当点P坐标为（2，）时，△BDP外接圆圆心的坐标为（，）
12．（四川模拟）已知圆⊙A的半径为，圆心A（t，0）是抛物线y＝－x2＋bx与x轴的交点，点P是x轴上方抛物线上任意一点，点Q是线段OP的中点．
（1）如图1，当t＝4时，点P在抛物线上运动，点Q跟随点P运动，其运动路径也是一段抛物线，直接写出点Q运动路径的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
（2）如图2，当∠POA＝45°且t＞0时，过点Q作OP的垂线l，证明直线l与⊙A相切；
A
O
P
Q
x
y
图1
A
O
P
Q
x
y
图2
l
（3）当∠POA＝45°时，使得直线l与⊙A相切于点M，且四边形PAMQ为矩形．此时，在抛物线上是否存在点B，使由A、B、P、Q四点构成以AP为对角线的梯形？
若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）y＝－x2＋2x（0＜x＜2）
提示：
当t＝4时，A（4，0），代入y＝－x2＋bx，得b＝2
∴抛物线为y＝－x2＋2x
A
O
P
Q
x
y
图1
设P（m，－m2＋2m），则Q（m，－m2＋m）
设Q（x，y），则x＝m，y＝－m2＋m
∴m＝2x，∴y＝－（2x）2＋2x＝－x2＋2x
∵0＜m＜4，∴0＜x＜2
∴点Q运动路径的函数解析式为y＝－x2＋2x（0＜x＜2）
（2）∵y＝－x2＋bx，∴A（2b，0）
∵∠POA＝45°，∴直线OP的解析式为y＝x
A
O
P
Q
x
y
图2
l
D
M
联立解得（舍去）
∴P（2b－2，2b－2）
设l与x轴交于点D，连接PD
由题意，l是线段OP的垂直平分线
∴OD＝PD，∴∠OPD＝∠POD＝45°
∴∠ODP＝90°，∴△OPD是等腰直角三角形
∴∠ODQ＝45°，OD＝2b－2
∴AD＝2b－（2b－2）＝2
过点A作AM⊥l于M，则∠ADM＝45°
∴△ADM是等腰直角三角形
∴AM＝AD＝＝⊙A的半径
∴直线l与⊙A相切
A
O
P
Q
x
y
图3
l
M
B
（3）∵四边形PAMQ为矩形，∴PQ＝AM＝
∴OP＝2，∴P（2，2），∴Q（1，1）
∴2b－2＝2，∴b＝2
∴A（4，0），抛物线为y＝－x2＋2x
易得直线AQ的解析式为y＝－x＋
∵四边形ABPQ是以AP为对角线的梯形
∴BP∥AQ，∴设直线BP的解析式为y＝－x＋n
把P（2，2）代入，得n＝，∴y＝－x＋
联立解得（舍去）
∴B（，）
∴存在点B（，），使由A、B、P、Q四点构成以AP为对角线的梯形
13．（四川模拟）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线l：
y＝x－1交于点A（4，2）、B（0，－1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在直线l下方的抛物线上，过点D作DE∥y轴交l于E、作DF⊥l于F，设点D的横坐标为t，△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求p的最大值及此时点D的坐标；
A
B
D
O
y
x
E
F
（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，若△BMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，求点M的坐标．
解：
（1）由题意知：
∴
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－1
A
B
O
y
x
M
N
G
（2）∵点D在抛物线y＝x2－x－1上
∴设D（t，t2－t－1），则E（t，t－1）
∴DE＝t－1－（t2－t－1）＝－t2＋2t
在y＝x－1中，令y＝0，得x＝
∴直线AB与x轴交于点C（，0）
A
B
O
y
x
M
N
A
B
O
y
x
M
N
∴BC＝＝
∴△OBC的周长为为1＋＋＝4
∵DE∥y轴，DF⊥l，∴△DEF∽△CBO
∴＝
∴p＝－t2＋t＝－（t－2）2＋
∴当t
升级会员 