学生版2013周矶中学专题复习二次函数与等腰三角形Word格式.doc

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若不存在，说明理由．

1．（2012•嘉兴）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：

y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．

（1）如图1，当m=时，

①求线段OP的长和tan∠POM的值；

②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；

（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．

①用含m的代数式表示点Q的坐标；

②求证：

四边形ODME是矩形．

2．（12分）（2012•新疆）如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．

（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是　　，请说明理由；

（2）如图2，已知D（，0），过A，C，D的抛物线与

（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；

（3）在问题

（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：

当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？

3．（2012•德阳）在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．

（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；

（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交

（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？

请说明理由；

（3）过

（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交

（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标．

4．（2012山东潍坊本题满分12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（14,0）和C（0，－8），对称轴为x＝4．

（1）求该抛物线的解析式；

y

D

x

B

O

A

P

Q

C

（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？

若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；

若不存在，请说明理由；

（3）在

（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使

△MPQ为等腰三角形？

若存在，请求出所有点M的坐标，

若不存在，请说明理由．

5.（沈阳2012）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°

，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）求证：

∠BEF=∠AOE；

（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

6.（贵州毕节卷2012）如图，直线l1经过点A（－1，0），直线l2经过点B（3，0）,l1、l2均为与y轴交于点C（0，），抛物线经过A、B、C三点。

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴依次与轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。

求证：

DE=EF=FG;

（3）若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。

7．（2012年龙岩市本题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，一块含60°

角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：

B（，）、C（，）；

并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°

，∠DEF=60°

），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与

（1）中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：

抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；

备用图

8.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，并与轴交于另一点（点点的右侧），点是抛物线上一动点。

第28题图

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；

（2）若点P在第二象限内，过点P作轴于，交于点。

当点运动到什么位置时，线段最长？

此时等于多少？

（3）如果平行于轴的动直线与抛物线交于点，与直线交于点，点为的中点，那么是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？

若存在，请求出点的坐标；

若不存在，请说明理由。

9．（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

10．（2012临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°

至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求点P的坐标；

11.如图14，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，），

抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、

n（m＜n）分别是方程的两根.

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、

B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点

（点D在轴右侧），连结OD、BD.

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D

的坐标.

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