（1）当x=
5时，求弦
PA、PB的长度；
2
（2）当x为何值时PD·CD的值最大？
最大值是多少？
10．（2013年苏州第27题8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：
BD=BF；
（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．
11．（2014•苏州第27题8分）如图，已知⊙O上依次有
A、B、C、D四个点，=，连接
AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧
（2）求证：
BF=BD；
（3）设G是BD的中点，探索：
在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？
并说明PB与AE的位置关系．江南汇教育网的长；
12．（2015年苏州第26题满分10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过
A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．
（1）求证：
ED∥AC；
（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12-16S2+4=0，求△ABC的面积．
13．（2016年苏州第26题10分）如图，AB是⊙O的直径，
D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接
AE、DE、DF．
（1）证明：
∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．14．（2017年苏州市第27题10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：
△DOE∽△ABC；
（2）求证：
∠ODF=∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若=，求sinA的值．模拟训练：
1．（2017年常熟市•本题满分10分）如图1,DE是⊙O的直径，点
A、C是直径DE上方半圆上的两点，且AO^CO.连接AE,CD相交于点F.点B是直径DE下方半圆上的任意一点，连接AB交CD于点G，连接CB交AE于点H.
（1）求ÐABC的度数;
（2）证明:
DCFHDCBG;
（3）若弧DB为半圆的三分之一，把ÐAOC绕着点O旋转，使点
C、O、B在一直线上时，如图
2.①证明FH:
BG=
1:
2;②若⊙O的半径为4，直接写出FH的长.
2．（2018年蔡老师预测•第26题10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点
D、E分别在
AC、BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与
AB、BC分别交于点
F、G．
（1）求证：
AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝．BEGCFAD
（第26题）3．（2017年张家港•26题10分）如图，已知⊙O是VABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC.延长AD到E，使得ÐEBD=ÐCAB.
（1）如图1，若BD=25，AC=6.①求证:
BE是⊙O的切线;
②求DE的长;
（2）如图2，连结CD，交AB于点F，若BD=25，CF=3，求⊙O的半径.
4．（2017年工业园区区•26题10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．以AB为直径的半⊙O分别与
AC、CD相交于点
E、F，连接
AF、EF．
（1）求证：
∠AFE=∠ACD；
（2）若CE=4，CB=4，tan∠CAB=，求FD的长．
5．（2017年吴江区••26题10分）如图，在DABC中，ÐC=90°,
D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG^BC于点G，其中ÐOFE=
（1）求证:
BC是⊙O的切线;
（2）若sinB=
1ÐA.2
3，⊙O的半径为r,求DEHG的面积5
（用含r的代数式表示）.
6．（2017年高新区•26题10分）如图，在⊙O的内接四边形ACDB中，AB为直径，AC：
BC＝1：
2，点D
AB的中点，BE⊥CD垂足为E．为»
DC
E
（1）求∠BCE的度数；
（2）求证：
D为CE的中点；
（3）连接OE交BC于点F，若AB＝10，求OE的长度．A
O
B
7．（2017年吴中区•26题10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE^BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使ÐODB=ÐAEC，AE与BC交于F。
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当⊙O的半径是5，BF=211，EF=
11时，求CE及BH的长。
3
8．（2017年相城区•27题10分）如图，在RtVABC中，ÐA=30°,AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C.
（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由;
（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明VFCD:
VACF;
（3）点E是AB边上任意一点，在
（2）的情况下，试求出EF+
1FA的最小值.2
9．（2017年立达26题10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点
E.过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接
DE.
（1）求证：
BD=CD；
（2）若ÐG=40°，求∠AED的度数.
（3）若BG=6，CF=2，求⊙O的半径.
10．（2017年太仓市•26题10分）如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC=∠
OFC.
（1）求证：
CF为⊙O的切线；
（2）若DE=1，ÐABC=30°．①求⊙O的半径；②求sin∠BAD的值．
（3）若四边形ACFD是平行四边形，求sin∠BAD的值．
F
CDAO
E
B
参考答案：
真题再现：
1．
【解答】解：
连接
AD、BE，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD，AE⊥BE，∵CD=BD，∴AC=AB，所以②对．∴∠C=∠ABC=70°，∴∠BAC=180°﹣∠C﹣∠ABC=40°≠45°，所以①错．∵∠ABE=90°﹣∠BAC=50°≠40°，∴，所以③错．∵∠C=∠ABC，∠CEB=∠ADB=90°，∴△CEB∽△BDA，∴，∴CE•AB=CB•BD=2BD2，所以④对，故选：
C．
【点评】本题考查直径所对的圆周角为直角，及等腰三角形的判定，相似三角形的判定．
2.
【考点】切割线定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】
（1）用角平分线的性质，圆的半径相等解题；
（2）根据图中相等角，找互余关系的角，从而推出垂直关系．
（3）连接PN，MK，根据已知证明△ABD≌△CMT再根据边之间的转化即可得到结论．
【解答】证明：
（1）∵BM平分∠ABC，∠BAC=90°，MT⊥BC，∴AM=MT．又∵AM=AK，∴AK=MT．
（2）∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM．∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM．又∵∠ANM=∠BND，∴∠AMN=∠BND．∵∠BAC=90°，∴∠ABM+∠AMB=90°．∴∠CBM+∠BND=90°．∴∠BDN=90°．∴AD⊥BC．
（3）连接
PN、KM。
∵BNM和BPK为⊙A的割线，∴BN•BM=BP•BK．∴∵AK=BD，AK=MT，∴BD=MT．∵AD⊥BC，MT⊥BC，∴∠ADB=∠MTC=90°．∴∠C+∠CMT=90°．∵∠BAC=90°，∴∠C+∠ABC=90°．∴∠ABC=∠CMT．在△ABD和△CMT中，，∴△ABD≌△CMT．∴AB=MC．．．
∵AK=AM，∴AB+AK=MC+AM．即BK=AC．∴
【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，圆的割线定理，全等三角形的判定，综合性强．
3.
【考点】切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．
【解答】解：
若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：
AD=2；∴S△ACD=AD•CD=；易证得△AOE∽△ADC，∴=（）2=（）2=，即S△AOE=S△ADC=；∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣
=2﹣；
另解：
利用相似三角形的对应边的比相等更简单！
故选：
C．
【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．
4.
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质；圆周角定理．
【专题】压轴题．
【分析】由于P点在第一象限，由勾股定理即可求得P点的坐标．
【解答】解：
∵OB=2，OA=2，∴AB==4，∵∠AOP=45°，P点横纵坐标相等，可设为a，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2．过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，∴∠CFP=90°，222∴PF=a﹣1，CF=a﹣，PC=2，∴（a﹣）+（a﹣1）=2，舍去不合适的根，可得a=1+，P（1+，1+
）．故答案为：
（+1，+1）．
【点评】此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．
5.
【考点】切线的性质；平行线的性质；勾股定理等腰梯形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题．
【分析】
（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB；
（2）连接OF，求出EH=OF=DC=AB．
（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答．
【解答】
（1）证明：
在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C，∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC，∴OE∥AB．
（2）证明：
连接OF．∵⊙O与AB切于点F，∴OF⊥AB，∵EH⊥AB，∴OF∥EH，又∵OE∥AB，∴四边形OEHF为平行四边形，∴EH=OF，∵OF=CD=AB，∴EH=AB．
（3）解：
连接DE．∵CD是直径，∴∠DEC=90°，则∠DEC=∠EHB，又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC，∴EH==k，∴CD=2EH=2=，∵k，∴==，设BH=k，则BE=4k，==．
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