届高三数学一轮复习人教版通用教师讲义第4章 三角函数与解三角形 全套打包下载含详细答案Word文档下载推荐.docx
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题组二 常错题
◆索引:
对角的范围把握不准;
不能据函数值的符号确定角所在的象限;
不熟悉角在不同象限时对应的三角函数值的符号;
求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.
5.在△ABC中,若sinA=,则A= .
6.已知P（-,y）为角β的终边上的一点,且sinβ=,则y= .
7.当α为第二象限角时,-的值是 .
8.若一扇形的圆心角为72°
半径为20cm,则扇形的面积为 cm2.
探究点一 角的集合表示及象限角的判定
例1
（1）[2018·
长春一模]若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的所有取值的集合是（ ）
A.
α
α=2kπ-,k∈Z
B.
C.
D.
（2）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A B C D
图3-17-2
[总结反思]
（1）角α（0≤α<
2π）与角2kπ+α（k∈Z）的终边相同;
（2）要求角β所在的象限,只需将角β表示成2kπ+α（k∈Z,0≤α<
2π）的形式,则角α所在的象限即为角β所在的象限.
变式题
（1）设集合M=,N=,那么（ ）
A.M=NB.M⊆N
C.N⊆MD.M∩N=⌀
（2）若角α的终边在x轴的上方,则是第 象限角.
探究点二 扇形的弧长、面积公式
例2
（1）若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是 .
（2）已知扇形的圆心角为60°
其弧长为π,则此扇形的面积为 .
[总结反思]应用弧度制解决问题的策略:
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;
（2）涉及求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
变式题
（1）将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（ ）
A.B.
C.-D.-
（2）若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是 .
探究点三 三角函数的定义
角度1 三角函数定义的应用
例3
（1）[2018·
济南二模]已知角α的终边经过点P（m,-2m）,其中m≠0,则sinα+cosα等于（ ）
A.-B.±
C.-D.±
（2）[2018·
北京通州区三模]在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边位于第四象限,且与单位圆交于点,则sinα= .
[总结反思]三角函数的定义主要应用于两方面:
（1）已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.
（2）已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.
角度2 三角函数值的符号判定
例4
（1）若sinθ·
cosθ<
0,>
0,则角θ是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
（2）若α为第二象限角,则cos2α,cos,,中,其值必为正的有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个
[总结反思]判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
角度3 三角函数线的应用
例5[2018·
嘉兴模拟]已知α∈,a=sinα,b=cosα,c=tanα,那么a,b,c的大小关系是（ ）
A.a>
b>
cB.b>
a>
c
C.a>
c>
bD.c>
b
[总结反思]利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sinx≥b,cosx≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.
变式题函数f（x）=+ln
sinx-
的定义域为 .
考试说明1.任意角、弧度制
（1）了解任意角的概念和弧度制的概念.
（2）能进行弧度与角度的互化.
2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.
（1）端点
（2）正角 负角 象限角 （3）{β|β=α+k·
360°
k∈Z}
2.
（1）半径长
（2）|α|r
3.
（1）y x
（2）余弦线 正弦线 正切线
对点演练
1.{α|α=k·
+45°
k∈Z} [解析]终边落在第一象限角平分线上的最小正角为45°
所以与其终边相同的角的集合为{α|α=k·
k∈Z}.
2.
（1）π
（2）15 [解析]
（1）67°
=67.5×
=（rad）;
（2）=×
=15°
.
3.1.2 [解析]根据圆心角弧度数的计算公式得,α==1.2.
4. [解析]r==,所以sinα==,cosα=-=-,tanα==-2,所以sinα-cosα+tanα=.
5.或π [解析]因为0<
A<
π且sinA=,所以A=或A=π.
6. [解析]因为r=,所以由三角函数的定义可得=,解得y=.
7.2 [解析]∵α为第二象限角,∴sinα>
0,cosα<
0,
∴-=1-（-1）=2.
8.80π [解析]72°
=rad,∴S扇形=αr2=×
×
202=80π（cm2）.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨]
（1）先求出直线y=-x的倾斜角,再根据终边相同的角的要求得出角α的取值集合;
（2）对k分奇数和偶数两种情况分析角α所表示的范围.
（1）D
（2）C [解析]
（1）因为直线y=-x的倾斜角是,所以终边落在直线y=-x上的角α的取值集合为
α=kπ-,k∈Z
.故选D.
（2）当k=2n（n∈Z）时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;
当k=2n+1（n∈Z）时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样.故选C.
变式题
（1）B
（2）一或三 [解析]
（1）M中,x=·
180°
=k·
90°
=45°
·
（2k+1）,k∈Z,2k+1是奇数;
N中,x=·
45°
（k+1）,k∈Z,k+1是整数.综上可知,必有M⊆N.
（2）∵角α的终边在x轴的上方,
∴k·
<
α<
+k·
k∈Z,∴k·
k∈Z.
当k=2n（n∈Z）时,
有n·
+n·
可知为第一象限角;
当k=2n+1（n∈Z）时,
+180°
270°
可知为第三象限角.
例2 [思路点拨]
（1）找出弧长与半径,用弧度制公式求解;
（2）设扇形的半径为r,根据弧长公式可求出r的值,再由扇形的面积公式即可得出结论.
（1）2+2
（2） [解析]
（1）设圆的半径为r,则圆内接等腰直角三角形的斜边长为2r,一条直角边长为r,所以周长为2r+2r,所以圆弧所对圆心角的弧度数是=2+2.
（2）设扇形的半径为r,
∵扇形的圆心角为60°
它的弧长为π,
∴=π,解得r=3,
∴S扇形=×
π×
3=.
变式题
（1）C
（2）2 [解析]
（1）将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故选项A,B不正确;
又因为拨快10分钟,故应转过的角的绝对值大小为周角的,即为-×
2π=-.
（2）设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面积S=l·
r=（18-2r）·
r=-r2+9r,当r=时,S取得最大值,此时l=18-2r=9,所以圆心角的弧度数是==2.
例3 [思路点拨]利用任意角的三角函数的定义求解.
（1）B
（2）- [解析]
（1）∵角α的终边经过点P（m,-2m）,其中m≠0,∴r===·
|m|.
当m>
0时,sinα==-,cosα==,∴sinα+cosα=-;
当m<
0时,sinα==,cosα==-,∴sinα+cosα=.
∴sinα+cosα=±
（2）∵角α以Ox为始边,终边位于第四象限,且与单位圆交于点,∴y=-=-,
∴sinα===-.
例4 [思路点拨]
（1）根据条件确定sinθ,cosθ的符号,再确定θ所在的象限;
（2）根据α为第二象限角,分别确定2α,的终边所在的象限,再根据象限确定对应函数值的符号.
（1）D
（2）A [解析]
（1）由>
0,得>
0,所以cosθ>
0.又sinθ·
0,所以sinθ<
0,所以θ为第四象限角,故选D.
（2）由题意知,2kπ+<
2kπ+π（k∈Z）,则4kπ+π<
2α<
4kπ+2π（k∈Z）,
所以2α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上,所以sin2α<
0,cos2α可正可负也可为零.因为kπ+<
kπ+（k∈Z）,所以的终边在第一或第三象限,所以cos可正可负.故选A.
例5 [思路点拨]作出位于区间上的角α的三角函数线,利用三角函数线比较大小.
A [解析]方法一:
如图,作出位于区间上的角α的三角函数线,则角α的正弦线、余弦线、正切线分别为MP,OM,AT,显然有sinα>
cosα>
tanα,即a>
c.
方法二:
此题也可采用特值法.∵α∈,∴可取α=,此时a=sinα=,b=cosα=-,c=tanα=-,即a>
c,故选A.
变式题
x
2kπ+≤x<
2kπ+,k∈Z
[解析]由题意得,自变量x应满足即则如图中阴影部分所示,不等式组的解集为
【备选理由】例1考查判断弧度制下的角所在的象限问题;
例2考查弧长公式与等差数列的综合问题;
例3强化对三角函数定义的理解与应用,并给出了方法二,即利用同角三角函数的基本关系也可求解;
例4考查三角函数线的基本应用.
例1 [配合例1使用]若角α=-4,则α的终边在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
[解析]B 因为-<
α=-4<
-π,所以依据负角的定义可知α的终边在第二象限.故选B.
例2 [配合例2使用]如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:
△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别是以A,B,C为圆心,以AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈,然后又以A为圆心,AA3为半径画弧……这样画到第n圈,则所得整条螺旋线的长度ln= .（用π表示即可）
[答案]n（3n+1）π
[解析]设第n段弧的弧长为an,由弧长公式可得a1=,a2=×
2,a3=×
3,…,
所以数列{an}是以为首项,为公差的等差数列.画到第n圈,有3n段弧,故所得整条螺旋线的长度ln=a1+a2+a3+…+a3n=×
（1+2+3+…+3n）=n（3n+1）π.
例3 [配合例3使用]若点P（3,y）是角α终边上的一点,且满足y<
0,cosα=,则tanα=（ ）
A.-B.
C.D.-
[解析]D 方法一:
由题意知,r=,所以cosα==,解得y=-4或y=4（舍）,所以tanα=-.
因为点P（3,y）是角α终边上的一点,且满足y<
0,cosα=,
所以sinα=-=-,
所以tanα==-,故选D.
例4 [配合例5使用][2018·
北京首师大附中月考]已知cosα≤-,则角α的取值范围为 .
[答案]
2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z
[解析]如图所示,作出直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围,故满足条件的角α的取值范围为
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系:
.
（2）商数关系:
.
2.诱导公式
公式一
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
角
α+2kπ
（k∈Z）
π+α
-α
π-α
+α
正弦
sinα
cosα
余弦
正切
tanα
-tanα
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变,符号看象限
1.sin（kπ+α）=（-1）ksinα.
2.在△ABC中:
（1）sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,tan（A+B）=-tanC;
（2）sin=cos,cos=sin.
1.[教材改编]已知cosα=,且α是第四象限角,则sinα的值为 .
2.[教材改编]已知=-5,那么tanα的值为 .
3.[教材改编]已知sinα=,则cos= .
4.[教材改编]求值:
sin（-1200°
）·
cos1290°
= .
平方关系没有考虑角的象限导致出错;
扩大角的范围导致出错;
不会运用消元的思想;
kπ±
α的形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.
5.已知△ABC中,=-,则cosA等于 .
6.已知cos
=-,且α是第四象限角,则cos（-3π+α）= .
7.已知=5,则sin2α-sinαcosα= .
8.已知A=+（k∈Z）,则A的值构成的集合是 .
探究点一 三角函数的诱导公式
遵义联考]若sin=-,则cos（2π-α）=（ ）
C.-D.
桂林模拟]已知f（α）=,则f的值为（ ）
[总结反思]
（1）已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.
（2）对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.
变式题
（1）[2018·
广东名校联考]若cos
α+
=,则sin=（ ）
江西六校联考]若点（a,32）在函数y=2x的图像上,则tan的值为（ ）
探究点二 同角三角函数的基本关系
微点1 切弦互化
例2
（1）[2018·
南充模拟]已知tanα=2,则的值为（ ）
A.-3B.3C.D.-
贵阳模拟]已知sin（π-α）=-,且α∈,则tan（2π-α）=（ ）
A.B.-
[总结反思]
（1）同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系=tanα和平方关系1=sin2α+cos2α;
（2）在弦切互化时,要注意判断角所在的象限,不要弄错切、弦的符号.
微点2 “1”的变换
广东六校三联]已知sin
+θ
+3cos（π-θ）=sin（-θ）,则sinθcosθ+cos2θ=（ ）
C.D.
武汉调研]已知sinαcosα=,则tanα= .
[总结反思]对于含有sin2x,cos2x,sinxcosx的三角函数求值问题,一般可以考虑添加分母1,再将1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tanα的式子,从而求解.
微点3 和积转换
例4[2018·
潍坊模拟]若α∈（0,π）,sin（π-α）+cosα=,则sinα-cosα的值为（ ）
[总结反思]对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,利用（sinα±
cosα）2=1±
2sinαcosα可以达到转换、知一求二的目的.
应用演练
1.【微点1】[2018·
南昌模拟]已知sinθ=,θ∈,则tanθ=（ ）
A.-2B.-
2.【微点1】已知tanx=-,x∈,则cos
-x+
=（ ）
A.B.-
3.【微点2】[2018·
遵义模拟]若点（2,tanθ）在直线y=2x-1上,则=（ ）
A.2B.3
C.4D.6
4.【微点3】若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为 .
考试说明1.理解同角三角函数的基本关系式:
sin2x+cos2x=1,=tanx.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±
α,π±
α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.
（1）sin2α+cos2α=1
（2）=tanα,α≠kπ+（k∈Z）
2.-sinα -sinα -cosα -cosα -sinα tanα -tanα
1.- [解析]由于α是第四象限角,故sinα=-=-.
2.- [解析]由=-5,知cosα≠0,等式左边分子分母同时除以cosα,可得=-5,得tanα=-.
3. [解析]cos=cos=-cos=sinα=.
4. [解析]原式=-sin（120°
+3×
）cos（210°
）=-sin120°
cos210°
=-sin（180°
-60°
cos（180°
+30°
）=sin60°
cos30°
=×
=.
5.- [解析]∵=-,∴sinA=-cosA,∵A为△ABC的内角,∴sinA>
0,∴cosA<
0.又sin2A+cos2A=1,∴cosA=-.
6.- [解析]cos
=sinα=-,且α是第四象限角,所以cosα=,所以cos（-3π+α）=-cosα=-.
7. [解析]由=5,知cosα≠0,等式左边分子分母同时除以cosα,得=5,得tanα=2,所以sin2α-sinαcosα===.
8.{2,-2} [解析]当k为偶数时,A=+=2;
当k为奇数时,A=-=-2.
例1 [思路点拨]
（1）利用诱导公式进行计算;
（2）根据诱导公式整理函数f（α）,再将α=-代入求值.
（1）A
（2）B [解析]
（1）∵sin=cosα=-,∴cos（2π-α）=cosα=-.故选A.
（2）由题可知,f（α）==-sinα,
则f=-sin=sin=sin=sin=sin=.
变式题
（1）D
（2）C [解析]
（1）∵cos=,
∴sin=sin=-cos=-,故选D.
（2）∵点（a,32）在函数y=2x的图像上,∴32=2a,∴a=5,
则tan=tan=tan=-tan=-,
故选C.
例2 [思路点拨]
（1）利用=tanα直接将待求式转化成只含tanα的式子,再求值;
（2）由题设条件可得sinα,再根据同角三角函数基本关系式可得cosα,tanα,然后根据诱导公式化简即可得解.
（1）A
（2）A [解析]
（1）∵tanα=2,∴cosα≠0,∴===-3.故选A.
（2）∵sin（π-α）=-,∴sinα=-,
又∵α∈,∴cosα==,则tanα==-.
∵tan（2π-α）=-tanα,∴tan（2π-α）=.故选A.
例3 [思路点拨]
（1）根据诱导公式及已知等式得出tanθ,将待求式添加分母1（利用1=sin2α+cos2α）,转化为含tanθ的式子,代入求值;
（2）sinαcosα可变形为,利用1=sin2α+cos2α,从而把已知等式化为关于tanα的等式,解出tanα即可.
（1）C
（2）3或 [解析]
（1）由sin+3cos（π-θ）=sin（-θ）,得cosθ-3cosθ=-sinθ,所以tanθ=2,
所以sinθcosθ+cos2θ===.故选C.
（2）由题可知,sinαcosα===,解得tanα=3或tanα=.
例4 [思路点拨]根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式,得2sinαcosα=-<
0,进而求得（sinα-cosα）2=,从而得解.
C [解析]由诱导公式得
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