人教课标版高中数学选修23第一章 计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理习题文档格式.docx

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3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（　　）．

A．6种B．12种C．24种D．30种

4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（　　）．

A．10B．11C．12D．15

5．某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．

考向一　分类加法计数原理

【例1】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有（　　）．

A．4种B．10种C．18种D．20种

【变式1】如图所示，在连接正八边形的

三个顶点而成的三角形中，与正八边形有

公共边的三角形有________个．

考向二　分步乘法计数原理

【例2】用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个（用数字作答）．

【变式2】由数字1,2,3,4，

（1）可组成多少个3位数；

（2）可组成多少个没有重复数字的3位数；

（3）可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．

考向三　涂色问题

【例3】►如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？

【变式3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．

【变式4】►用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

（难）（2011·

湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种．（结果用数值表示）

二：

排列与组合

复习指导：

复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想，掌握一些排列组合的基本模式题的解决方法，如指标分配问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等．

（一）基础梳理

1．排列

（1）排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

（2）排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A

表示．

（3）排列数公式

A

＝．

（4）全排列数公式

＝n（n－1）（n－2）…2·

1＝n！

（叫做n的阶乘）．

2．组合

（1）组合的定义：

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

（2）组合数的定义：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C

（3）组合数公式

C

＝

（n，m∈N*，且m≤n）．特别地C

＝1.

（4）组合数的性质：

①C

＝C

；

②C

＋C

.

一个区别

排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．

1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：

4,5,6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（　　）．

A．360种B．4320种

C．720种D．2160种

2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（　　）．

A．200个B．190个C．185个D．180个

3．（2010·

山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：

节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（　　）．

A．36种B．42种C．48种D．54种

1

2

3

4.如图，将1,2,3填入3×

3的方格中，

要求每行、每列都没有重复数字，右

面是一种填法，则不同的填写方法共有（　　）．

A．6种B．12种

C．24种D．48种

5．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________（用数字作答）．

考向一　排列问题

【例1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？

（1）甲不站在两端；

（2）甲、乙必须相邻；

（3）甲、乙不相邻；

（4）甲、乙之间恰有两人；

（5）甲不站在左端，乙不站在右端；

【变式1】用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？

（1）0不在个位；

（2）1与2相邻；

（3）1与2不相邻；

（4）0与1之间恰有两个数；

（5）1不在个位；

（6）偶数数字从左向右从小到大排列．

考向二　组合问题

【例2】►某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中

（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？

（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？

（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？

（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

【变式2】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，

（1）甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？

（2）甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？

考向三　排列、组合的综合应用

【例3】►

（1）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：

每个盒子都不空的放法共有多少种？

（2）计算x＋y＋z＝6的正整数解有多少组；

（3）计算x＋y＋z＝6的非负整数解有多少组．

【变式3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？

（1）分成1本、2本、3本三组；

（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；

（3）分成每组都是2本的三组；

（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本．

【例题4】►有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？

【变式4】在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？

三：

二项式定理

二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意

二项式定理在解决有关组合数问题中的应用

1．二项式定理

（a＋b）n＝C

an＋C

an－1b＋…＋C

an－rbr＋…＋C

bn（n∈N*）这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫（a＋b）n的二项展开式．

其中的系数C

（r＝0,1，…，n）叫二项式系数．式中的C

an－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝C

an－rbr.

（2）各二项式系数和：

＋…＋C

＝2n；

＋…＝C

＋…＝2n-1.

考向一　二项展开式中的特定项或特定项的系数

【例1】

（1＋3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=_______

考向二　二项式定理中的赋值

【例2】二项式（2x－3y）9的展开式中，求：

（1）二项式系数之和；

（2）各项系数之和；

（3）所有奇数项系数之和．

【变式3】已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.

求：

（1）a1＋a2＋…＋a7；

（2）a1＋a3＋a5＋a7；

（3）a0＋a2＋a4＋a6；

（4）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

考向三　二项式的和与积

【例3】

（1＋2x）3（1－x）4展开式中x项的系数为________．