湘教版初一下《分解因式》全章教案文档格式.docx
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说明：
以上有两种分类方法
法一，按行分类，第一行为纯数字，第二行含有字母.
法二，按列分类，第一列为乘法，第二列为分解.
将一个整数或整式进行分解，正是我们今天要研究的.（板书课题）
Ⅳ、讲授新知：
练习；
将下列正整数尽可能多地分解成几个非1的正整数的积的形式
24283537
讲解：
①以上练习，与整数乘法互逆，为分解因数.
②象2、3、5、7、11……37……等，不能再分解下去，称质数或素数
将下列整式尽可能多地分解成几个非±
1的整式的积的形式
2x－6x2＋2xxy－yy2－4
①以上练习，与整式乘法互逆，为分解因式.
②象2、x、y、x－3、y＋2、y－2……等，不能再分解下去，称质因式.
2、归纳新知
Ⅰ、引导归纳：
思考：
通过以上分析，能否用自己的语言解答以下几个问题？
①什么叫分解因数？
②什么叫分解因式？
③什么是质数和质因式？
Ⅱ、板书小结：
分解因数：
将一个整数分解成几个非1整数的积的形式叫分解因数；
不能再分解的正整数（除了1和本身以外）叫质数或素数.
分解因式：
将一个整式写成几个非1整式的积的形式叫分解因式；
不能再分解的整式（除了±
1和本身以外）叫质因式.
3、拓展延伸
①分解因式与整式乘法的区别是什么？
②你认为学习分解因式对解决哪些问题有意义？
三、知识运用
1、运用举例
典型示例：
例1：
约分
＝
分析：
∵12＝2×
330＝2×
4×
5
∴
＝
例2：
比较下列两个二次方程，试选取其中一个求解.
x2－3x＋2＝0（x－1）（x－2）＝0
2、反馈练习练习：
（略）
四、巩固提高
1、本堂小结：
本节课中，你学到了哪些知识？
还有哪些不明白的地方？
2、课堂练习：
p.4.中练习1、2.
3、回家作业：
P.4.中习题1.1（A组）
提取公因式法2
进一步学习提取公因式的方法，能熟练运用提取公因式法解题；
通过观察、类比、联想，得出一般整是提取公因式的方法；
培育学生类比联想、分析探究的习惯和能力.
对含有多项式型公因式提取公因式；
对含有相反量型多项式提取公因式；
突出“相反量型多项式的分辨”.
公因式、提取公因式
2、问题思考
①下列哪些是分解因式？
哪些是整式乘法？
x2－1＝（x＋1）（x－1）（x＋y）（x－y）＝x2－y2
x2－3x＋4＝x（x－3）＋4x2－4x＋4＝（x＋2）
2
②完成下列填空
3x2－6x＝（x－2）－x2＋x＝－x（）
ab－ac＝a（）－9x2－6x＝（3x＋2）
③分解因式
2ax－3x3ab2－12a2b－12x3y－28x39ay2－6ay＋3y
二、探索新知
分解因式ax＋bx＝a（m＋n）＋b（m＋n）＝
以学哪个式子的分解？
怎样分解？
Ⅱ、类比猜想：
比较两个式子的异同
能否通过类比，得出后一个式子的分解方法？
将（m＋n）看作x（图示，略）
通过以上分析，你学到了什么？
小结：
多项式中，公因式可以是数、字母，也可以是单项式、多项式、整式.
①2a（3b＋c）－b（3b＋c）
②6（x－2）2－3（x－2）3
分析解答：
①突出“找→拆→提”的过程；
②“拆”“提”注意括号及化简.
2、反馈练习
练习：
（略）
p.10.练习中1、2①②
P.11.习题中2④⑤、3
4
提取公因式法3
能熟练运用提取公因式法分解因式；
通过变形找公因式，提高学生灵活解题的能力；
体会数形转化思想.
掌握变形提取公因式分解因式；
因式的正确变形；
如何对因式正确变形
1、下列各式中，有公因式可提吗？
如果有，是什么？
①4x＋4yax2＋bx2ax＋by－2x2y＋4xy2
②3a（a－b）－2b（a－b）（x＋y）3－（x－y）2（x＋y）2
2、说出下列各冪的意义，并判定是否相等？
a4与（－a）4a5与（－a）5（x－y）6与（y－x）6（x－y）7与（y－x）
7
（－a）2n＝a2n（－a）2n＋1＝－a2n＋1
分解因式a（x－y）＋b（x－y）a（x－y）＋b（y－x）
Ⅱ、引导思考：
①两式的异同是什么？
你能用以学知识分解哪个式子？
②能否说出后一个式子的特征？
③如何将相反量统一成相同量来分解？
a（x－y）＋b（y－x）＝a（x－y）－b（x－y）＝（a－b）（x－y）
引导：
试归纳以上所学
对相反量提负号可统一成相同量
注意：
（a－b）2n＝（b－a）2n（a－b）2n＋1＝－（b－a）2z＋1
①x（x－2）－3x（x－2）
②x（x－2）－3x（2－x）
③（a－b）2（c－d）3＋（b－a）3（d－c）2
②指出，a＋b与b＋a是相同量，a－b与b－a是相反量；
③注意：
y（x－3）＋4y（x－3）y（x＋3）＋4y（x＋3）
y（x－3）＋4y（3－x）－6x3（a－b）2＋9x2（b－a）3
p.10.练习中2③④
P.11.习题中2⑥⑦、3
套用公式法（一、平方差公式1）
能说出平方差公式的特征，会用平方差公式分解因式；
通过对平方差公式特征的辨析，提高学生的观察能力；
培育学生逆向思维能力以及辩证统一的思想.
平方差公式的直接运用；
用平方差公式分解因式的条件；
辨析平方差公式的特征.
分解因式、平方差公式
①运用提取公因式法分解因式的步骤怎样？
②你能分解a2－b2吗？
a2－b2能分解吗?
观察式子a2－b2的特征
①回顾所学，什么向乘可得a2－b2？
②式子（a＋b）（a－b）＝a2－b2称什么公式？
在数学中的作用是什么？
③整式乘法与分解因式之间的关系怎样？
你能分解式子a2－b2吗？
指出：
以上所得结论仍称平方差公式，前者称整式乘法平方差公式，后者称分解因式平方
差公式.
试归纳分解因式平方差公式
分解因式平方差公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）
①上式左边有几个项？
各项是什么？
用什么连结？
②上式右边有几个因式？
两因式的异同是什么？
Ⅰ、引例分析
x2－169m2－4n2
①这些式子能用提取公因式法分解吗？
②可否用平方差公式？
③如何判定一个式子能否用平方差公式呢？
Ⅱ、知识小结
平方差公式的适用范围
①适用于两个项（或式）
②两项（或式）都能写成平方的形式
③两个平方项用差连结
分解因式x2y2－25a2
m2－0.9n4
p.14.练习中1、2①②
P.14..练习中2③④、3
6
套用公式法（一、平方差公式2）
能较熟练地运用平方差公式分解因式；
进一步提高学生的观察、类比、联想能力；
培育学生良好的观察习惯、学习习惯.
平方差公式的运用；
形如两平方项的整式的分解；
将式子写成平方差的形式.
幻灯片、小黑板
平方差公式
①具有什么特征的式子可用平方差公式分解？
②分解因式：
x2－436x2－9x2y2－x2y2＋9y2－121y2＋x4
Ⅰ、问题呈现
问题：
分解因式（x＋6）2－（x＋9）2
Ⅱ、类比猜想
回顾：
平方差公式a2－b2＝
比较：
两式的相同之处是什么？
两式的不同之处是什么？
联想：
通过比较，你能分解以上式子吗？
运用平方差公式时，各平方项可以是数、字母，也可以是一般整式.
①运用公式时，一定要观察式子是否适合公式特征；
②运用平方差公式时，最好是将式子先写成平方的差的形式.
分解因式16（a－b）2－9（a＋b）2x5－x3x4－y4
①突出公式的套用；
②注意括号内的化简；
③要分解到不能再分解为止，有时要进行二次分解.
p..
P..
7
套用公式法（二、完全平方公式1）
理解完全平方公式的特征，初步学会用完全平方公式分解因式；
培育学生的观察能力和套用公式的名能力；
培育学生的观察习惯和学习习惯.
能直接运用完全平方公式分解因式；
理解完全平方公式的适用范围；
透彻研究完全平方公式的特征.
整式乘法公式
①题取公因式法的几个步骤是什么？
②什么情况下可用平方差公式分解因式？
分解因式x2－6x＋9
①此题能否用以前学的提取公因式法或平方差公式法？
为什么？
②此题几个项？
各项的特征是什么？
整式乘法的完全平方公式［（a±
b）2＝a2±
2ab＋b2］
由乘法与分解互逆，你想到了什么？
［a2±
2ab＋b2＝（a±
b）2］
上式几个项？
形如以上的式子称完全平方式
Ⅰ、引导归纳
①什么样的式子称完全平方式？
其特征是什么？
②完全平方式怎样分解？
Ⅱ、板书小结
①形如a2±
2ab＋b2的式子称完全平方式，
特征：
三个项；
其中两项可写成平方冪；
另一项是两冪的底数的2倍或.
［此特征即为完全平方公式的适用范围］
②分解因式之完全平方公式：
a2±
b）2
练习：
①下列各项是完全平方式吗？
x2－6x－9x2＋6x＋9x2＋6x－9x2－6x＋9
x2＋4x＋3x2＋4x＋4x2＋4x＋5x2＋4
②将下列各式补全成完全平方式
a2＋＋1x2－10x＋y2＋8y＋x2＋＋36
a2－14a＋4925x2＋10x＋1a2b2－8abc＋16c2
①突出写成公式的形式，以利套用公式；
②讲清由中间项的符号来确定选用公式的符号.
本节课中，主要讲了用完全平方公式来分解因式，你学到了哪些知识？
还有哪些
不明白的地方？
P.
8
套用公式法（二、完全平方公式2）
能较熟练的运用完全平方公式来分解因式；
进一步培育学生类比、联想能力和运用公式的能力；
进一步培育学生的观察习惯、学习习惯.
熟练运用完全平方公式分解因式；
用完全平方公式分解各“项”为多项式型的完全平方式；
教会学生将一个多项式看作一个“项”或一个“字母”.
完全平方式、完全平方公式
①完全平方式的特征是什么？
a2－6a＋9121x2y2－44xy＋4a2＋ab＋
b2
x2＋xy＋4y2
（x＋y）2－20（x＋y）＋100－x2－y2＋4xy
Ⅱ、分析探究
观察分析：
①以上所给式子与前面学的用完全平方公式分解因式的式子有何不同？
②后一个式子有两项为负，能直接用完全平方式吗？
解答探究：
①通过怎样的处理，能使以上式子变成前面学过的式子？
②你能对以上式子分解因式吗？
通过以上题的解答，你学到了什么？
①运用完全平方公式分解因式时，平方冪的底数可以是数、字母、式子.
②分解因式要先提后套.
分解因式－x5＋4x3－4x（x＋y）2－2（x＋y）（x－y）＋（x－y）2
①第一个要先提后套，分解要彻底；
②第二个突出：
平方冪的底是式子时如何套用公式，以及双层括号的化简.
9
十字相乘法
（1）
理解十字相乘法的原理，能分解二次项系数为“1”二次三项式；
进一步培养学生的分析、观察能力和解题能力；
培育学生的观察习惯
分解二次项系数为“1”二次三项式；
理解十字相乘法的原理；
引导探索，自主得出二次三项式的分解方法
1、至今为止，以学哪些分解因式的方法？
2、什么情况下，用完全平方公式分解因式？
3、分解因式：
x2＋6x＋9x2－4x＋4
x2＋6x＋8x2－4x－5
以上两式与复习回顾中3题有何异同？
以上能用完全平方公式分解吗？
①两式不能用提取公因式法，因为各项找不到公因式；
②也不能用完全平方公式，因为不是完全平方式.
Ⅱ、引导探索
依据整式乘法填空（x＋2）（x＋4）＝（展开）＝（整理）
由于分解因式与整式乘法互逆，
可知x2＋6x＋8＝（x＋2）（x＋4）
①联系整式乘法，x2是怎样来的？
②联系整式乘法，6x是怎样来的？
③联系整式乘法，8是怎样来的？
④观察分解因式结果，怎样得来（x＋2）和（x＋4）？
⑤试用以上方法处理x2－4x－5
以上方法称十字相乘法
十字相乘法是怎样分解因式的？
十字相乘法分解因式的方法（适用于形如二次三项式的式子）
①将二次项分解写在第一列；
②将常数项分解写在第二列.
若交叉积的和正好是一次项，则此二次项可分解为
①第一列为一个因式；
②第二列为一个因式.
分解因式x2－5x＋6x2＋10x－39
①突出分解过程；
②讲清因式构成.
本节课补充了十字相乘法的方法，你学到了哪些知识？
另加（略）
10
十字相乘法
（2）
掌握十字相乘法的运用，能分解二次项系数非“1”的二次三项式
进一步培养学生观察分析能力和预知能力；
培育学生的学习习惯和学习兴趣.
能用十字相乘法分解二次项系数非“1”的二次三项式
明白常数项分解的符号予一次项符号的关系；
突出十字相乘法中，交叉积的和等于一次项.
十字相乘法中，列、斜、横的意义
x2＋8x＋7x2－7x＋10x2＋5x－14x2－5x－14
1、引导探
索
在复习题中，常数项有“正”有“负”
当二次项系数为正时，常数项分解因数的符号与本身及一次项系数的符号的关系
怎样？
Ⅱ、引导思考（这里，二次项系数为“1”）
①若常数项为正，有哪两种分解方法？
此时若一次项系数为正（或负）呢？
②若常数项为负，有哪两种分解方法？
又以上分析可知，若二次项系数为正时，常数项的分解可分三种情况
若二次项系数为正时，常数项的分解有哪三种情况？
二次三项式ax2＋bx＋c（a＞0）中c的分解
①若c＞0，b＞0，c的分解全正
②若c＞0，b＜0，c的分解全负
③若c＜0，c的分解一正一负
6x2＋11x＋36x2＋x－35
6x2－11x－356x2－23x－35
6x2＋5x＋13x2－7x＋2
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分组分解法（一、分组先提）
能对多项式正确分组，会分组提公因式分解因式；
通过分组，培育学生的观察能力、判断能力、预知能力；
进一步是学生养成良好的观察习惯、学习习惯.
会正确分组来提取公因式分解因式；
正确分组
如何通过预知来正确分组.
1、至今为止，以学那些分解因式的方法？
2、哪些方法是和分解两各项（或式）？
3、哪些方法适合分解三个项（或式）？
4、分解因式：
5ax－5ay5a（x－y）－3b（x－y）4x2－9y24x2＋12xy＋9y2
ax＋ay＋bx＋by
能否用以学的方法分解因式？
使用不同的方法表示图中的面积
s＝ax＋ay＋bx＋bys＝（a＋b）（x＋y）
得出：
ax＋ay＋bx＋by＝（a＋b）（x＋y）
推导：
ax＋ay＋bx＋by
＝（ax＋ay）＋（bx＋by）分组
＝a（x＋y）＋b（x＋y）分租分解提公因式
＝（a＋b）（x＋y）合项分解提公因式
以上分解方法称分组分解法
①分组分解法的一般步骤是什么？
②分组分解法的关键步骤是什么？
分组分解法的一般步骤：
分组→分租分解→合项分解
分组分解法的关键是分组
a2－ab＋ac－bc3ax＋5by－3bx－5aym2＋5m－mn－5n
①突出分组，讲清步骤；
②分组分解时，注意符号的变化.
2、反馈练习：
另加，见幻灯片3、回家作业：
另加，见幻灯片
12
分组分解法（二、分组套公式）
能对多项式正确分组，并能分组套公式分解；
培育学生灵活运用公式解决问题的能力；
进一步培育学生的观察习惯.
分组套公式分解；
对多项式正确分组；
1、分组分解因式的一般步骤是什么？
2、分解因式：
ax＋ay＋3x＋3ya2＋2ab－ac－2bc
x2＋x＋y－y2
Ⅱ、引导分析
①看到以上问题，你会想到什么方法？
②如前面所学，分组提公因式，你会如何分组？
行吗？
③分组提公因式行不通，你能想到别的方法吗？
④若分组套公式，该如何分组？
分组分解有两种方法，你认为是哪两种方法？
分组分解的过程
分组
1、运用举
升级会员 