乘法公式的复习1.docx

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乘法公式的复习1

乘法公式的复习

一、复习:

（a+b）（a-b）=a2-b2（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3（a-b）（a2+ab+b2）=a3－b3

例1．已知

，

，求

的值。

例2．已知

，

，求

的值。

例3：

计算19992-2000×1998

例4：

已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和（a-b）2的值。

例5：

已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x2-z2的值。

例6：

判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

例7．运用公式简便计算

（1）1032

（2）1982

例8．计算

（1）a4b3ca4b3c

（2）3xy23xy2

例9．解下列各式

（1）已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。

（2）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。

（3）已知aa1a2b2，求

的值。

（4）已知

，求

的值。

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？

为什么？

例11．计算

（1）x2x12

（2）3mnp2

二、乘法公式的用法

（一）、套用:

这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1.计算：

（二）、连用:

连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2.计算：

例3.计算：

三、逆用:

学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4.计算：

四、变用:

题目变形后运用公式解题。

例5.计算：

五、活用:

把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6.已知

，求

的值。

例7.计算：

例8.已知实数x、y、z满足

，那么

（）

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．

　　例1计算（-2x2-5）（2x2-5）

　　分析：

本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．

例2计算（-a2+4b）2

（二）、注意为使用公式创造条件

　　例3计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）．

　　分析：

粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

例4计算（a-1）2（a2+a+1）2（a6+a3+1）2

　　分析：

若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．

　　例5计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．

　　分析：

此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推广得到：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

　　可叙述为：

多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．

　　例6计算（2x+y-3）2

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式

　　例7

（1）已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；

（2）已知：

x+2y=7，xy=6，求（x-2y）2的值．

　　分析：

粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：

x2+y2=（x+y）2-2xy，x3+y3=（x+y）3-3xy（x+y），（x+y）2-（x-y）2=4xy，问题则十分简单．

例8计算（a+b+c）2+（a+b-c）2+（a-b+c）+（b-a+c）2．

　　分析：

直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2），因而问题容易解决．

　　（五）、注意乘法公式的逆运用

　　例9计算（a-2b+3c）2-（a+2b-3c）2．

　　分析：

若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．

　　例10计算（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2

　　分析：

此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．

四、怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：

符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：

不变或不这样变，可以吗？

）

3、数字变化如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化如（4m+

）（2m－

）变为2（2m+

）（2m－

）后即可用平方差公式进行计算了．

5、项数变化如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－

）（1－

）（1－

）…（1－

）（1－

），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－

）（1+

）（1－

）（1+

）×…×（1－

）（1+

）=

×

×

×

×…×

×

=

×

=

．

有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：

a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．

如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．

面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，

m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？

！

1、若a+

=5，求

（1）a2+

，

（2）（a－

）2的值．

2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．

五、乘法公式应用的五个层次

乘法公式：

（a＋b）（a－b）=a2－b2，（a±b）=a2±2ab＋b2，

（a±b）（a2±ab＋b2）=a3±b3．

第一层次──正用

即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．

例1计算

（2）（－2x－y）（2x－y）．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．

例2计算

（1）19982－1998·3994＋19972；

第三层次──活用：

根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

例3化简：

（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1．

分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．

例4计算：

（2x－3y－1）（－2x－3y＋5）

分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：

－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．

第四层次──变用：

解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=（a＋b）2－2ab，a3＋b3=（a＋b）3－3ab（a＋b）等，则求解十分简单、明快．

例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．

第五层次──综合后用：

将（a＋b）2=a2＋2ab＋b2和（a－b）2=a2－2ab＋b2综合，

可得（a＋b）2＋（a－b）2=2（a2＋b2）；（a＋b）2－（a－b）2=4ab；

等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．

例6计算：

（2x＋y－z＋5）（2x－y＋z＋5）．

六、正确认识和使用乘法公式

1、数形结合的数学思想认识乘法公式：

对于学习的两种（三个）乘法公式：

平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2、完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。

假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为（a+b）（a-b），通过左右两图的对照，即可得到平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为（a+b）2与（a-b）2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2。

2、乘法公式的使用技巧：

①提出负号：

对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。

例1、运用乘法公式计算：

（1）（-1+3x）（-1-3x）；

（2）（-2m-1）2

②改变顺序：

运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.

例2、运用乘法公式计算：

（1）（

）（

）;

（2）（x-1/2）（x2+1/4）（x+1/2）

③逆用公式

将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=（a+b）（a-b），逆用积的乘方公式，得anbn=（ab）n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。

例3、计算：

（1）（x/2+5）2-（x/2-5）2;

（2）（a-1/2）2（a2+1/4）2（a+1/2）2

④合理分组：

对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：

（1）（x+y+1）（1-x-y）;

（2）（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）.

七、巧用公式做整式乘法

整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。

尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

一.先分组，再用公式

例1.计算：

二.先提公因式，再用公式

例2.计算：

三.先分项，再用公式

例3.计算：

四.先整体展开，再用公式

例4.计算：

五.先补项，再用公式

例5.计算：

六.先用公式，再展开

例6.计算：

七.乘法公式交替用

例7.计算：

简析：

利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。

八、中考与乘法公式1.结论开放例1.（02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

例2.（03年陕西中考）

如图2，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（

），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

2.条件开放

例3.（03年四川中考）多项式

加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）

3.找规律

例4.（01年武汉中考）观察下列各式：

由猜想到的规律可得

____________。

4.推导新公式

例5.在公式

中，当a分别取1，2，3，……，n时，可得下列n个等式

将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：

__________（用含n的代数式表示）

例6.（04年临汾中考）阅读材料并解答问题：

我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：

就可以用图4或图5等图表示。

（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。