命题与证明的技巧及练习题含答案.docx

命题与证明的技巧及练习题含答案.docx

《命题与证明的技巧及练习题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《命题与证明的技巧及练习题含答案.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

命题与证明的技巧及练习题含答案

命题与证明的技巧及练习题含答案

一、选择题

1．下列命题：

①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．

【详解】

①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；

②两点之间线段最短；真命题；

③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；

④平分弦的直径垂直于弦；假命题；

真命题的个数是1个；

故选：

A．

【点睛】

考查了命题与定理：

判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

2．下列命题是假命题的是（）

A．有一个角为

的等腰三角形是等边三角形

B．等角的余角相等

C．钝角三角形一定有一个角大于

D．同位角相等

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

解：

选项A、B、C都是真命题；

选项D，两直线平行，同位角相等，选项D错误，是假命题，

故选：

D．

3．现给出下列四个命题：

①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；

③菱形的面积等于两条对角线的积；④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°．

其中不正确的命题的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】①根据等边三角形的性质知，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；

②由相似三角形的性质知相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，错误；

③根据菱形的面积公式，错误；

④根据三角形内角和定理可知，三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°，正确．

综合以上分析，不正确的命题包括①②③．

故选C．

4．下列命题中是假命题的是（）

A．一个锐角的补角大于这个角

B．凡能被2整除的数，末位数字必是偶数

C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

D．相反数等于它本身的数是0

【答案】C

【解析】

试题分析：

利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．

A、一个锐角的补角大于这个角，正确，是真命题，不符合题意；

B、凡能被2整除的数，末尾数字必是偶数，正确，是真命题，不符合题意；

C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，是假命题，符合题意；

D、相反数等于他本身的数是0，正确，是真命题，不符合题意

考点：

命题与定理．

5．下列命题的逆命题不成立的是（）

A．两直线平行，同旁内角互补B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等

C．平行四边形的对角线互相平分D．全等三角形的对应边相等

【答案】B

【解析】

【分析】

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【详解】

选项A，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，成立；

选项B，如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个数相等，错误，不成立，如（﹣3）2＝32，但﹣3≠3；

选项C，平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，成立；

选项D，全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，正确，成立；

故选B．

【点睛】

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

6．下列说法中，正确的是（）

A．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.

B．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.

C．“相等的角是对顶角”是一个真命题

D．“直角都相等”是一个假命题

【答案】B

【解析】

图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B

7．下列命题正确的是（）

A．在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的.

B．两个全等的图形之间必有平移关系.

C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等.

D．将一个封闭图形旋转，旋转中心只能在图形内部.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平移的性质：

平移后图形的大小、方向、形状均不发生改变结合选项即可得出答案．

【详解】

解：

A、经过旋转后的图形两个图形的大小和形状也不变，半径相等的两个圆是等圆，圆还具有旋转不变性，故本选项正确；

B、两个全等的图形位置关系不明确，不能准确判定是否具有平移关系，错误；

C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，所以本选项错误；

D、旋转中心可能在图形内部，也可能在图形边上或者图形外面，所以本选项错误.

故选：

A.

【点睛】

本题考查平移、旋转的基本性质，注意掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

8．以下说法中：

（1）多边形的外角和是

；

（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（3）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角.其中真命题的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

利用多边形的外角和定理、平行线的性质及三角形的内角和定理分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：

（1）多边形的外角和是360°，正确，是真命题；

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故错误，是假命题；

（3）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角，正确，是真命题，

真命题有2个，

故选：

C．

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的外角和定理、平行线的性质及三角形的内角和定理，难度不大．

9．下列命题是真命题的是（　　）

A．中位数就是一组数据中最中间的一个数

B．一组数据的众数可以不唯一

C．一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根

D．已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，则a2+b2＝c2

【答案】B

【解析】

【分析】

正确的命题是真命题，根据定义判断即可.

【详解】

解：

A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数，故错误；

B、一组数据的众数可以不唯一，故正确；

C、一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，故此选项错误；

D、已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，当∠C＝90°时，则a2+b2＝c2，故此选项错误；

故选：

B．

【点睛】

此题考查真命题的定义，掌握定义，准确理解各事件的正确与否是解题的关键.

10．下列命题是真命题的是（）

A．若x＞y，则x2＞y2B．若|a|=|b|，则a=bC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＜1，则a＞

【答案】C

【解析】

【分析】根据实数的乘方，绝对值的性质和倒数的意义等，对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．

【详解】A.x＞y，如x=0，y=-1，02<（-1）2，此时x2

B.|a|=|b|，如a=2，b=-2，此时a≠b，故B选项错误；

C.若a＞|b|，则a2＞b2，正确；

D.a＜1，如a=-1，此时a=

，故D选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题主要利用了实数的性质．

11．在下列各原命题中，其逆命题为假命题的是（）

A．直角三角形的两个锐角互余

B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

C．等腰三角形两个底角相等

D．同角的余角相等

【答案】D

【解析】

【分析】

首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．

【详解】

A、逆命题是：

两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；

B、逆命题是：

如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；

C、逆命题是：

有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故此选项不符合题意；

D、逆命题是：

如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，是假命题，故此选项符合题意．

故选：

D．

【点睛】

本题考查了命题与定理：

判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．

12．下列命题的逆命题是真命题的是（）

A．若

，则

B．

中，若

，则

是

C．若

，则

D．四边相等的四边形是菱形

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据绝对值的意义和有理数的乘法、菱形的性质及勾股定理进行判断．

【详解】

解：

A、该命题的逆命题为：

若|a|=|b|，则a=b，此命题为假命题；

B、该命题的逆命题为：

若△ABC是Rt△，则AC2+BC2=AB2，此命题为假命题；

C、该命题的逆命题为：

若ab=0，则a=0，此命题为假命题；

D、该命题的逆命题为：

菱形的四边相等，此命题为真命题；

故选：

D．

【点睛】

本题考查了命题与定理：

判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．

13．已知下列命题：

①若a＞b，则ac＞bc；

②若a=1，则

=a；

③内错角相等；

④90°的圆周角所对的弦是直径．

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【解析】

【分析】

先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．

【详解】

解:

①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；

②若a=1，则

=a是真命题，逆命题是假命题；

③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；

④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；

故选A．

点评：

主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

14．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）

A．a=3，b=2B．a=﹣3，b=2C．a=3，b=﹣1D．a=﹣1，b=3

【答案】B

【解析】

试题解析：

在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

在B中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；

在C中，a2=9，b2=1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

在D中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

故选B．

考点：

命题与定理．

15．下列命题的逆命题是真命题的是（）

A．直角都相等B．钝角都小于180°C．如果x2+y2=0，那么x=y=0D．对顶角相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据逆命题是否为真命题逐一进行判断即可.

【详解】

相等的角不都是直角，故A选项不符合题意，

小于180°的角不都是钝角，故B选项不符合题意，

如果x=y=0，那么x2+y2=0，正确，是真命题，符合题意，

相等的角不一定都是对顶角，故D选项不符合题意，

故选C

【点睛】

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

16．下列命题的逆命题成立的有（）

①勾股数是三个正整数②全等三角形的三条对应边分别相等

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等④平行四边形的两组对角分别相等

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】

【分析】

先写出每个命题的逆命题，再分别根据勾股数的定义、三角形全等的判定、平方根的定义、平行四边形的判定逐个判断即可．

【详解】

①逆命题：

如果三个数是正整数，那么它们是勾股数

反例：

正整数

，但

，即它们不是勾股数，则此逆命题不成立

②逆命题：

三条对应边分别相等的两个三角形全等

由

定理可知，此逆命题成立

③逆命题：

如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等

反例：

，但

，则此逆命题不成立

④逆命题：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

由平行四边形的判定可知，此逆命题成立

综上，逆命题成立的有2个

故选：

B．

【点睛】

本题考查了命题的相关概念、勾股数的定义、三角形全等的判定、平方根的定义、平行四边形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．

17．下列说法正确的是（　　）

①函数

中自变量

的取值范围是

．

②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．

③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．

④同旁内角互补是真命题．

⑤关于

的一元二次方程

有两个不相等的实数根．

A．①②③B．①④⑤C．②④D．③⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次根式定义，等腰三角形性质，正多边形内角和外角关系，平行线性质，根判别式定义进行分析即可.

【详解】

①函数

中自变量

的取值范围是

，故错误．

②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．

③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．

④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．

⑤关于

的一元二次方程

有两个不相等的实数根，正确，

故选D．

【点睛】

此类题的知识综合性非常强．要求对每一个知识点都要非常熟悉．注意：

二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，弄清等腰三角形的三线合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤;理解正多边形内角和外角关系；熟记根判别式．

18．下列四个命题中，其正确命题的个数是（　　）

①若ac＞bc，则a＞b；

②平分弦的直径垂直于弦；

③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；

④反比例函数y＝

．当k＜0时，y随x的增大而增大

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：

①若ac＞bc，如果c＞0，则a＞b，故原题说法错误；

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原题说法错误；

③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边，故原题说法正确；

④反比例函数y＝

．当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大，故原题说法错误；

正确命题有1个，

故选：

A．

【点睛】

本题考查了判断命题的真假，解题的关键是掌握不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质进行判断.

19．下面说法正确的个数有（）

①方程

的非负整数解只有

；②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；③如果

，那么

是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．

A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二元一次方程的解的定义可对①进行判断；根据三角形的定义对②进行判断；根据直角三角形的判定对③进行判断；根据正多边形的定义对④进行判断；根据钝角三角形的定义对⑤进行判断．

【详解】

解：

①二元一次方程

的非负整数解是x=3，y=0或x=1，y=3，原来的说法错误；

②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，原来的说法错误；

③如果

，那么

不是直角三角形，故错误；

④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故错误．

⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故错误，

故选A.

【点睛】

此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解二元一次方程的解的定义、三角形的定义、直角三角形的判定、正多边形的定义及钝角三角形的定义等知识，难度不大．

20．下列命题中是真命题的是（）

A．两个锐角的和是锐角B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

C．点

到

轴的距离是2D．若

，则

【答案】C

【解析】

【分析】

根据角的定义、平行线的性质、点的坐标及不等式的性质对各选项进行分析判断，即可得解．

【详解】

A.两个锐角的和是锐角是假命题，例如80°+80°=160°，是钝角，不是锐角，故本选项错误；

B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题，两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故本选项错误；

C.点

到

轴的距离是2是真命题，故本选项正确；

D.若

，则

是假命题，正确结果应为

，故本选项错误．

故选：

C．

【点睛】

本题考查真假命题的判断，解题关键是认真判断由条件是否能推出结论，如果能举出一个反例，或由条件推出的结论与题干结论不一致，则为假命题．